第01讲：机械振动【九大考点+九大题型】-2024-2025学年高二下学期物理期末《考点•题型•密卷》精讲精练高效复习讲义（人教版2019）

第01讲：机械振动 【考点归纳】 · 考点01：简谐运动的定义和描述 · 考点02：简谐运动图像问题 · 考点03：简谐运动的弹簧振子模型 · 考点04：简谐运动的单摆模型 · 考点05：简谐运动的单摆周期问题 · 考点06：阻尼振动 · 考点07：受迫振动与共振 · 考点08：单摆的探究实验 · 考点09：机械振动的综合问题 【知识梳理】 知识点一：对简谐运动的理解 受力 特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动 特点 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′ (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反 知识点二、简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝. 知识点三、简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线． 知识点四、从振动图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)． (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移． (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定． (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同． (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况． 知识点五、单摆 定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆．(如图) 2．简谐运动的条件：θ<5°. 3．回复力：F＝mgsin θ. 4．周期公式：T＝2π. (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离． (2)g为当地重力加速度． 5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关． 知识点六．受迫振动 (1)概念：系统在驱动力作用下的振动． (2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关． 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象． (2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率． (3)共振的特征：共振时振幅最大． (4)共振曲线(如图所示)． f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小． 知识点七：简谐运动、受迫振动和共振的比较 振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【题型过关】 题型01：简谐运动的定义和描述 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动，BC相距，小球经过点时开始计时，经过首次到达C点。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．小球由C点到B点加速度不断减小 C．小球的位移-时间关系为 D．末小球位移为 2．（24-25高二上·湖南常德·期末）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧中心轴线与细杆平行，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小球振动的振幅等于A、B间的距离 B．小球在A、B位置时，动能和加速度都为零 C．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的机械能保持不变 D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）物体A做简谐运动的振动方程是，物体B做简谐运动的振动方程是。比较A、B的运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA大于B振动的频率fB D．B的相位滞后A的相位 题型02：简谐运动图像问题 4．（24-25高二上·宁夏银川·期末）如图甲所示，一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，弹簧振子的振动图像如图乙所示，则弹簧振子（　　） A．振动周期为2.0s，振幅为0.4m B．弹簧弹力提供振子所需回复力 C．0.5s~1.0s内，动能和弹性势能均逐渐增大 D．系统势能和动能相互转化的周期为1.0s 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．到内，弹簧振子的动能不断增加 B．该弹簧振子的振动方程为 C．时，弹簧振子的加速度沿轴负方向 D．到内，弹簧振子运动的位移为 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）如图甲所示，鱼漂是垂钓的工具。当鱼漂静止时，P点恰好在水面处。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（    ） A．鱼漂振动周期为0.8s，振幅为4cm B．时，鱼漂的速度和加速度方向相反 C．时，鱼漂的位移为1.73cm D．0.6s~0.8s时间内，速度和加速度都减小 题型03：简谐运动的弹簧振子模型 7．（24-25高二上·河南濮阳·期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端与小球相连构成弹簧振子，小球做简谐运动的位移—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．在任意1s的时间内，小球经过的路程都是2cm B．时，弹簧处于原长状态 C．和两个时刻，小球的速度相同 D．和两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反 8．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的滑块B相连。B在水平面M、N两点间做振幅为A，周期为T的简谐运动，O点为平衡位置，B通过O点时速度大小为v。当B运动到N点时，在B上轻放一个质量也为m的滑块C，B、C一起做简谐运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．BC之间的动摩擦因数至少为 B．BC一起做简谐运动时，振动周期为T C．BC一起做简谐运动时，经过O点的速度大小为v D．若B运动到O点时，在B上轻放C，B、C立即粘合一起做简谐运动，其振幅会小于A 9．（24-25高二上·山东德州·期中）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平面上的、两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6s，振幅为30cm B．该弹簧振子在时和时的速度不同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 题型04：简谐运动的单摆模型 10．（24-25高二上·宁夏银川·期末）如图所示，轻绳的一端系一质量为m的金属球，另一端悬挂于点，点到球上端的绳长为L，球的直径为d。将球拉到A点后由静止释放（摆角小于5°），经过最低点C后，摆到B点速度减为零。在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球摆动时的回复力大小为 B．球摆动的周期为 C．球摆动时绳子拉力的大小为 D．增大球的摆角（不超过5°），球摆动的周期也变大 11．（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10。下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．时摆球所受合外力为零 C．从至的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 12．（23-24高二下·天津西青·期末）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 题型05：简谐运动的单摆周期问题 13．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图甲，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，在竖直平面内将质量为m的小球拉到A点，由静止释放小球（摆角很小），OA为不可伸长的细绳长为1.6m。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙。已知θ很小时用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，重力加速度g取10m/s2，小球可视为质点，忽略一切阻力。下列说法正确的是（　　） A． B．AB的弧长与BC的弧长相等 C． D．OP之间的距离为0.8m 14．（23-24高二下·河南南阳·期末）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，可测出细线对摆球的拉力大小F。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示拉力大小F随时间t变化的曲线，时摆球从A点由静止开始运动，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．摆球的质量为 B．单摆的摆长为0.1m C．摆球在时和时速度相同 D．摆球运动过程中的最大速度为0.2m/s 15．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图甲所示，在倾角α＝30°光滑的斜面上固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上以θ＜5°的角度来回摆动。某实验小组通过力传感器得到了摆线的拉力大小F随时间t变化的图线，如图乙所示（图中所标字母均为已知量）。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的周期为 B．若把此单摆移至地球两极，单摆的周期变大 C．摆球的质量 D．摆球在最低点时的速度大小 题型06：阻尼振动 16．（24-25高二下·河南·期中）如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 17．（23-24高二下·浙江杭州·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻处于超重状态 B．在时刻向下运动 C．在时刻合力不为零 D．运动过程中，机械能一直减小 18．（23-24高二下·河北张家口）如图所示为一个水平的弹簧振子做阻尼振动的图像，曲线上A、B 两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是（　　） A．振子在时刻的动能等于时刻的动能 B．振子在时刻的速度大于时刻的速度 C．振子在时刻的弹性势能小于时刻的弹性势能 D．振子在时刻的机械能等于时刻的机械能 题型07：受迫振动与共振 19．（24-25高二下·浙江·期中）飞力士棒（Flexi-bar）是一种能加强躯干肌肉功能的训练器材。标准型飞力士棒由握柄、负重头和PVC软杆连接而成，可以使用双手进行驱动，棒的固有频率为4.5Hz，如图所示。则（　　） A．使用者用力越大，飞力士棒振动越快 B．无论手振动的频率如何，飞力士棒振动的频率始终为4.5Hz C．随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变大 D．驱动该飞力士棒每分钟振动270次与每分钟振动400次相比，棒子的振幅更大。 20．（24-25高二下·河南·期中）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动频率为0.5Hz。圆盘以某一转速匀速转动时，小球振动的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的固有周期是4s B．此时圆盘的转速为 C．若圆盘的转速变为，小球振动的振幅会变大 D．若圆盘的转速变为，小球振动的固有频率会变大 21．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。现在某电压下偏心轮的转速是，下列说法正确的是（　　） A．筛子现在振动的频率为0.8Hz B．提高偏心轮的转速，筛子的振动频率减小 C．仅增大偏心轮的电压，可以使筛子振幅增大 D．仅减小筛子的质量，可以使筛子振幅增大 题型08：单摆的探究实验 22．（23-24高二下·山东济南·期末）小明同学看到苹果树上结的果子在风的扰动下摆动，决定研究一下它摆动的周期。如图所示，他找到两个质量均为的苹果，穿在一根长为较细的轻杆上，苹果M固定在中点处，苹果N固定在端点处，将轻杆另一端悬挂起来，并让它做微小角度的自由摆动，做成一个“苹果摆”。已知当地重力加速度。 (1)小明猜想，轻杆很轻，两苹果和轻杆组成系统的重心位于两苹果的连线中点处，可以将“苹果摆”看做一个摆长为的单摆，若忽略空气阻力和一切摩擦，则其周期表达式为T= （用题中所给的字母表示）； (2)小明用秒表测得“苹果摆”完成50次全振动的时间为91.5s，已知约等于9.8。由此可判断“苹果摆”的等效摆长 （选填“大于”、“小于”或“等于”）； (3)为了精确研究“苹果摆”的摆动情况，小明多次改变轻杆的长度L，但仍然保持苹果N固定在端点，苹果M始终固定在轻杆的中点，测出对应的周期T，画出图像如图乙所示，计算得出此图线的斜率，若忽略空气阻力和一切摩擦，则“苹果摆”的等效摆长 L。 23．（22-23高二上·四川绵阳·期中）南山中学某物理课外活动小组准备测量南山公园处的重力加速度，其中一小组同学将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下半部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁.本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离，并通过改变而测出对应的摆动周期，再以为纵轴、为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度和当地的重力加速度。 （1）实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径 mm。 （2）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间，则该单摆的周期为 。 A．    B．    C．    D． （3）如果实验中所得到的关系图线如图乙中的 所示（选填，，），当地的重力加速度 （取，结果取小数点后两位） 24．（21-22高二下·宁夏银川·期中）在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中： （1）摆线要选择细些的、伸缩性 的，摆球要选择质量大些的、体积 的； （2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出n次全振动的时间为t，则单摆的周期为 ；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的线长为l，用游标卡尺测出摆球直径为d，则单摆的摆长为 ； （3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了T—l、T—l2、等图像，其中 图像最能直观反应周期与摆长的关系，由该图像可得到单摆的周期与摆长的关系是 ；（用数学式表达） （4）某同学根据实验数据作出的图像如图所示。 ①图像斜率表示的物理意义是 （用字母表示），由图像求出的重力加速度g = 。（小数点后保留两位） ②造成图像不过坐标点的原因可能是 。 A．摆长测量偏大      B．摆长测量偏小 C．周期测量偏大      D．周期测量偏小 题型09：机械振动的综合问题 25．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）如图所示为一弹簧振子的振动图像，从t=0开始计时，求：（，） (1)振子做简谐运动位移的表达式； (2)在时间内振子运动的路程s（以cm为单位）。 26．（23-24高二下·北京西城·期末）如图所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几根铁丝，竖直浮在盛水的盆中。筷子与铁丝的总质量为m，筷子的直径远小于盆的直径。把木筷向上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动，振幅为A。不考虑水对筷子的阻力，忽略铁丝体积的影响，木筷始终有一部分露在水面上。 （1）证明：木筷在水中做简谐运动。 （2）某同学发现木筷与铁丝在最高点的机械能大于它们在最低点的机械能。他分析之后认为，木筷与铁丝损失的机械能应转化为了水的重力势能，请判断他的结论是否正确，并说明理由。 （3）证明木筷与铁丝的最大动能。 27．（23-24高二下·广东江门·期末）惠更斯在1657年时利用自己对单摆的研究发明了摆钟。下面是某学校研究小组做的单摆研究，如图1所示，质量为的甲球和质量为的乙球用轻绳悬挂，悬点到球心的距离都为L，两球静止在最低点位置B刚好接触且没有相互挤压。如图2所示，将甲球拉到与竖直方向夹角为（小于5°）的A位置由静止释放，甲球到达最低点位置B时与乙球发生对心碰撞，碰撞时间极短，研究小组在图2的A、B位置固定了光电门（图中没画出），记录了甲球从A位置到B位置的时间，并得到碰撞前瞬间甲球的速度，碰撞后瞬间甲球的速度的大小为0.1m/s，重力加速度，，不计空气阻力，求： （1）悬点到球心的距离L； （2）甲球从A位置到B位置的过程中所受重力的冲量和合外力的冲量； （3）通过计算，判断甲球与乙球的碰撞可能是哪类碰撞（弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞）。 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在A、B两点之间做简谐运动。小球从B点向O点的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球所受回复力越来越大 B．小球加速度越来越大 C．小球速度越来越小 D．小球加速度方向跟速度方向相同 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。若从点到达水面至点N到达水面所经历的时间为，不计阻力的影响，以下正确的是（　　） A．鱼漂做简谐运动的周期为 B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 C．点过水面时，鱼漂的加速度最大 D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大 3．（24-25高二下·河南开封·开学考试）如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，倒些清水在盆中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花。下列关于“洗”的说法正确的是（　　） A．“洗”发出的声音在空气中传播时，介质振动方向与声音传播方向始终垂直 B．手掌摩擦越快发出的声音越大，水花溅得越高 C．盆内水花及盆体的振动频率可能大于手掌的摩擦频率 D．当双手以某一特定频率摩擦时，盆耳发出的嗡嗡声特别响，水花溅得特别高，这是共振现象 4．（24-25高二上·辽宁·期末）一单摆如图1所示，M、N为单摆偏移的最大位置，O点为最低点，该单摆的振动图像如图2所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，重力加速度g取，，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长为1m B．时刻，摆球位于M点或N点 C．从到时间内单摆的回复力先减小后增大 D．摆球运动到N点时加速度为0 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）如图所示，光滑固定圆弧槽半径为R，O为圆弧最低点，圆弧OM的长度远小于R，两个可看作质点的小球A和B，A球初始位置在M点，B球在O点正上方h高度处。现同时释放两球，要使A 球在第二次通过O点时恰好与B球相碰，则h应为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是 B．甲与乙的频率之比是 C．在、两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 7.（24-25高二上·山东德州·期末）长江上的航道灯浮标可以在夜间发光，对夜行的船舶进行指引。它的主要结构为圆柱形的浮标体和上方的航道灯，如图所示。某航道灯浮标静止在水面上时，水面恰好在O点，若在O点上方一定距离处安装一水位传感器，当水面没过水位传感器时，报警器会持续报警。某时刻由于外力扰动，该浮标突然获得一竖直向下的初速度开始做简谐运动，经过2s后报警器开始报警，再经1s后报警停止，则距离下一次开始报警还要经过的时间是（　　） A．12s B．9s C．6s D．3s 8．（24-25高二上·湖南郴州·期末）一弹簧振子如图甲所示，以O为平衡位置，在水平方向a、b间做简谐运动，取向右为正，其振动图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．t=0.3s时，振子的速度最大且方向向右 B．t=0.2s时，振子的加速度最大且方向向右 C．t=0.15s时，振子的速度方向与加速度方向相反 D．t=0.1s和t=0.3s时，振子的速度相同 二、多选题 9．（24-25高二上·四川达州·期末）手机是现代社会的高科技产物，其内置的加速度传感器可以测量手机运动时的加速度，小明学习了简谐振动的相关知识后，用质量为的手机和轻弹簧制作了一个如图甲所示的振动装置。并记录了手机在竖直方向振动过程中加速度a随时间t变化的关系图像，如图乙所示，若取竖直向下为正方向（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，弹簧的弹性势能最大 C．至，手机的动能不断增大 D．时，弹簧对手机的弹力大小为，方向竖直向上 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形轨道的内壁来回滑行，若人和滑板的运动可视为简谐运动，设该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，则（　　） A．站在滑板上运动时周期比较大 B．站在滑板上运动时周期比较小 C．站着运动到最低点时的速度比较小 D．站着运动到最低点时的速度比较大 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。当振子位于A点时弹簧处于原长状态。取竖直向上为正方向，重力加速度大小为g。振子的位移x随时间t变化的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子位移的表达式为 B．时，振子的速度方向竖直向下 C．振子在B点的加速度大小为g D．振子的动能和弹簧的弹性势能之和保持不变 12．（23-24高二下·吉林白山·期末）如图甲所示，一水平弹簧子以O点为平衡位置，在M，N两点间做简谐运动，以向右为x轴正方向，振子的振动图像如图乙所示，已知弹簧的劲度系数为，下列说法正确的是（    ） A．时振子的速度与时的速度相同 B．振子在内的平均速度与在内的平均速度相同 C．时振子的回复力指向x轴正方向，大小为 D．振子在内通过的路程为 13．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）如图所示，质量为M的框架放在水平面上，框架上悬挂一轻质弹簧，弹簧下端栓接一小球A， A下端再用细绳连接小球B， B未与框架接触，系统处于静止状态。现剪断细绳使 A球在竖直面内上下做简谐运动，当A球运动至最高点时，框架对地面的压力恰好为0。已知A球质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计。则（　　） A．弹簧原长时，小球A的速度有最大值 B．小球B的质量为 C．小球A从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹性势能先减小再增大 D．小球A从最低点运动到最高点过程中，小球的机械能先增大后减小 14．（23-24高二下·福建南平·期末）如图，一轻质弹簧左端与墙固定，右端与铁块连接，铁块在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，点为平衡位置。现有一橡皮泥从点正上方某处竖直下落，恰好以速率击中速率也为的铁块，并与之粘连。橡皮泥与铁块质量相同且均可视为质点。弹簧振子简谐振动的振动周期（其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量）。则（　　） A．橡皮泥与铁块粘连时，橡皮泥和铁块组成的系统动量守恒 B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 C．橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变大 D．橡皮泥击中铁块后，系统的周期变大 三、实验题 15．（2024·云南昆明·一模）某实验小组用以下方法探究木板沿水平方向运动的规律。在运动的木板正上方用细线悬挂一个除去了柱塞的小注射器，注射器内装上墨汁，做成秒摆（周期为），如图甲所示。注射器的平衡位置在木板中线的正上方，当注射器在竖直平面内摆动时，在木板上留下了墨汁图样，图样与中线各交点的距离关系如图乙所示。 （1）由图乙可知，木板向右做 （选填“加速”或“减速”）直线运动； （2）若木板的运动可视为匀变速直线运动，墨汁滴到木板A点时，木板的速度大小为 ，木板的加速度大小为 。（计算结果均保留2位有效数字） 16．（23-24高三上·江西）某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。    （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 。 A．该探究方法为控制变量法 B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C．实验时细线的最大摆角约为45° D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期T和摆长l的关系为T= （用a、b、l表示）。 17．（22-23高二下·山西朔州·期末）某同学在实验室探究影响单摆周期的因素。 （1）该同学组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示，这样做的目的是 ；（填字母代号） A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．便于调节摆长 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 （2）该同学组装好单摆后，在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得悬点到摆球的最低端的长度，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为 ，单摆摆长为 ；    （3）如图所示的振动图像真实地描述了摆长约为的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中坐标原点表示计时开始，A、B、C图反映了30次全振动的图像．已知，，这四种操作过程符合实验要求且误差最小的是 。（填字母代号） 四、解答题 18．（23-24高二下·广东肇庆·期末）地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则： （1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。 （2）该地震波的横波波长是多少千米？ （3）震源距离地震仪多少千米？ 19．（23-24高二下·北京海淀·期末）如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距20cm，弹簧劲度系数，小球质量，取重力加速度。 （1）请写出小球位移x随时间t变化的关系式。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球位移的大小。 （3）求小球运动至B点时，其所受回复力和弹簧弹力的大小。 20．（23-24高二下·四川乐山·期末）战绳运动是一项超燃脂的运动。某次健身时，有两位健身者甲、乙分别抓住相同的战绳上下舞动形成向右传播的简谐波，如图1所示。某时刻开始计时，时两列波的图像如图2所示，P、Q曲线分别为甲、乙的一个绳波，O点为手握的绳子一段，向右为x轴正方向。已知绳波的速度为，求： （1）甲、乙的绳端振动频率和之比； （2）以图2所示为时刻，写出乙运动员的绳中，平衡位置为4m处质点的振动方程。 21．（23-24高二下·安徽黄山·期末）如图所示，一根劲度系数k=200N/m的轻弹簧一端固定在墙壁上，另一端在O点上方且处于自由状态。水平地面在O点左边光滑，右边粗糙。地面M点有一块质量M=1kg小木块，其上放置一个质量m=1kg的小铁块。现给小木块与小铁块相同的初速度，发现经过O点之后再经过0.05π s在N点速度减为0。设运动过程小铁块与小木块一直相对静止。已知小木块与OM段地面的动摩擦因数为，M点与O点相距0.22m，N点与O点相距0.1m，，则： （1）求小木块第一次来到O点的速度多大？ （2）求小木块来到ON段的中点时铁块受到的摩擦力多大？ （3）从第一次经过O点开始计时，规定水平向左为正，分析并得出小木块与弹簧接触的过程中，小木块相对O点的位移与时间的关系。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：机械振动 【考点归纳】 · 考点01：简谐运动的定义和描述 · 考点02：简谐运动图像问题 · 考点03：简谐运动的弹簧振子模型 · 考点04：简谐运动的单摆模型 · 考点05：简谐运动的单摆周期问题 · 考点06：阻尼振动 · 考点07：受迫振动与共振 · 考点08：单摆的探究实验 · 考点09：机械振动的综合问题 【知识梳理】 知识点一：对简谐运动的理解 受力 特点 回复力F＝－kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反 运动 特点 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性 (1)如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P′(OP＝OP′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′ (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP＝tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反 知识点二、简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0为相位，φ0为初相位，ω为圆频率，ω＝. 知识点三、简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线． 知识点四、从振动图像可获取的信息 (1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ0(如图所示)． (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移． (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定． (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同． (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况． 知识点五、单摆 定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆．(如图) 2．简谐运动的条件：θ<5°. 3．回复力：F＝mgsin θ. 4．周期公式：T＝2π. (1)l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离． (2)g为当地重力加速度． 5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球质量无关． 知识点六．受迫振动 (1)概念：系统在驱动力作用下的振动． (2)振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关． 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象． (2)共振的条件：驱动力的频率等于固有频率． (3)共振的特征：共振时振幅最大． (4)共振曲线(如图所示)． f＝f0时，A＝Am，f与f0差别越大，物体做受迫振动的振幅越小． 知识点七：简谐运动、受迫振动和共振的比较 振动 项目 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动系统的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等 【题型过关】 题型01：简谐运动的定义和描述 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在BC两点之间做简谐运动，BC相距，小球经过点时开始计时，经过首次到达C点。下列说法正确的是（　　） A．小球振动的周期为 B．小球由C点到B点加速度不断减小 C．小球的位移-时间关系为 D．末小球位移为 【答案】C 【详解】A．小球经过点时开始计时，经过首次到达C点，可知小球振动的周期为，选项A错误； B．小球由C点到B点加速度先减小后增加，选项B错误； C．振幅A=0.1m， 小球经过点时开始计时，小球的位移-时间关系为 选项C正确； D．末，即经过了5个周期，小球回到B点，则小球位移为，选项D错误。 故选C。 2．（24-25高二上·湖南常德·期末）如图所示，把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧相连组成弹簧振子，弹簧中心轴线与细杆平行，弹簧与细杆间无接触，小球沿杆在水平方向做简谐运动，小球在A、B间振动，O为平衡位置，如图所示，下列说法正确的是（    ） A．小球振动的振幅等于A、B间的距离 B．小球在A、B位置时，动能和加速度都为零 C．小球从B到O的过程中，弹簧振子振动的机械能保持不变 D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能减小 【答案】C 【详解】A．小球振动的振幅等于A、O间的距离，故A错误； B．在A、B位置时，速度为零，动能最小，位移最大，回复力最大，加速度最大，故B错误； C．振子的动能和弹簧的势能相互转化，且总量保持不变，即弹簧振子振动的机械能保持不变，故C正确； D．小球从O到B的过程中，回复力做负功，弹簧弹性势能增加，故D错误。 故选C。 3．（24-25高二上·江苏连云港·期中）物体A做简谐运动的振动方程是，物体B做简谐运动的振动方程是。比较A、B的运动，下列说法正确的是（　　） A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m B．周期是标量，A、B周期相等，都为100 s C．A振动的频率fA大于B振动的频率fB D．B的相位滞后A的相位 【答案】D 【详解】A．振幅是标量，A、B的振幅分别为3m、5m，故A错误； B．周期是标量，A、B的周期均为 故B错误； C．因为 故 故C错误； D．A的相位始终超前B的相位 故D正确。 故选D。 题型02：简谐运动图像问题 4．（24-25高二上·宁夏银川·期末）如图甲所示，一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，弹簧振子的振动图像如图乙所示，则弹簧振子（　　） A．振动周期为2.0s，振幅为0.4m B．弹簧弹力提供振子所需回复力 C．0.5s~1.0s内，动能和弹性势能均逐渐增大 D．系统势能和动能相互转化的周期为1.0s 【答案】D 【详解】A．由图像可知，振动周期为2.0s，振幅为0.2m，选项A错误； B．弹簧弹力与重力的合力提供振子所需回复力，选项B错误； C．0.5s~1.0s内，动能逐渐增大，弹性势能逐渐减小，选项C错误； D．系统势能和动能相互转化的周期为1.0s，选项D正确。 故选D。 5．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．到内，弹簧振子的动能不断增加 B．该弹簧振子的振动方程为 C．时，弹簧振子的加速度沿轴负方向 D．到内，弹簧振子运动的位移为 【答案】B 【详解】A．由题图可知，到内，弹簧振子从平衡位置振动到最大位移，则弹簧振子的动能不断减小，故A错误； B．由题图可知，弹簧振子的振幅为，周期为，则该弹簧振子的振动方程为 故B正确； C．由题图可知，时，弹簧振子处于平衡位置，弹簧振子的加速度为0，故C错误； D．由题图可知，到内，弹簧振子运动的位移为 故D错误。 故选B。 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）如图甲所示，鱼漂是垂钓的工具。当鱼漂静止时，P点恰好在水面处。将鱼漂缓慢向下压，松手后，鱼漂在竖直方向上做简谐运动，其振动图像如图乙，取竖直向上为位移的正方向，则（    ） A．鱼漂振动周期为0.8s，振幅为4cm B．时，鱼漂的速度和加速度方向相反 C．时，鱼漂的位移为1.73cm D．0.6s~0.8s时间内，速度和加速度都减小 【答案】B 【详解】AB．由图乙可知，鱼漂振动周期为，振幅为，在时刻，鱼漂正在远离平衡位置向正向位移最大处运动，其速度方向为竖直向上。因回复力和加速度的方向总是指向平衡位置，故此时鱼漂的加速度方向竖直向下，鱼漂的速度和加速度方向相反，故A错误，B正确； C．由图乙可知，时，鱼漂简谐运动的相位 根据简谐运动位移 结合振幅为，可得时，鱼漂的位移为，故C错误； D．由回复力 可知该鱼漂在振动的过程中，靠近平衡位置的过程，回复力总是减小，加速度总是减小，而靠近平衡位置的过程，速度总是增大的。反之，远离平衡位置的过程，加速度总是增大的，速度总是减小的，故不可能存在速度和加速度均减小的时间段，故D错误。 故选B 。 题型03：简谐运动的弹簧振子模型 7．（24-25高二上·河南濮阳·期末）如图1所示，轻弹簧上端固定，下端与小球相连构成弹簧振子，小球做简谐运动的位移—时间图像如图2所示。下列说法正确的是（　　） A．在任意1s的时间内，小球经过的路程都是2cm B．时，弹簧处于原长状态 C．和两个时刻，小球的速度相同 D．和两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相反 【答案】C 【详解】A．1s等于四分之一周期，由于靠近平衡位置的速度大于远离平衡位置的速度，则0~0.5s内的平均速度大于0.5~1s内的平均速度，则0~0.5s内的路程大于0.5~1s内的路程，即0~0.5s内的路程大于正负的一半，即大于1cm，0.5~1s内的路程小于正负的一半，即小于1cm，可知，0.5~1.5s内的路程小于2cm，故A错误； B．时，小球处于平衡位置，则弹簧处于拉伸状态，故B错误； C．图像的斜率表示速度，根据图像的对称性可知，和两个时刻斜率相同，则小球的速度相同，故C正确； D．和两个时刻，根据图像的对称性可知，小球的位移相同，根据 可知，在这两个时刻，小球的加速度大小相等，方向相同，故D错误。 故选C。 8．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m的滑块B相连。B在水平面M、N两点间做振幅为A，周期为T的简谐运动，O点为平衡位置，B通过O点时速度大小为v。当B运动到N点时，在B上轻放一个质量也为m的滑块C，B、C一起做简谐运动，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．BC之间的动摩擦因数至少为 B．BC一起做简谐运动时，振动周期为T C．BC一起做简谐运动时，经过O点的速度大小为v D．若B运动到O点时，在B上轻放C，B、C立即粘合一起做简谐运动，其振幅会小于A 【答案】D 【详解】A．BC恰好不发生相对滑动时有 对C有 所以 故A错误； B．根据简谐运动的周期公式可得，BC一起做简谐运动时，振动周期为 故B错误； C．根据能量守恒定律可得，在N点时弹簧的弹性势能不变，但总质量增大，所以BC组成的系统到达平衡位置时动能不变，速度减小，故C错误； D．若B运动到O点时，在B上轻放C，BC发生弹性碰撞，系统机械能损失，系统总动能减小，BC到达最大的位移也减小，则振幅小于A，故D正确。 故选D。 9．（24-25高二上·山东德州·期中）如图甲所示，弹簧振子以点为平衡位置，在光滑水平面上的、两点之间做简谐运动。取水平向右为正方向，振子的位移随时间的变化如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该弹簧振子的周期为1.6s，振幅为30cm B．该弹簧振子在时和时的速度不同 C．在时，该弹簧振子的加速度大小为零 D．在到的时间内，该弹簧振子的加速度和速度都逐渐减小 【答案】C 【详解】A．由题图乙可知，该振动的振幅、周期为 ， 故A错误； B．由振动图像可知，斜率代表速度，弹簧振子在时和时的速度相同，故B错误； C．因为周期为1.6s，根据简谐运动的周期性可知在时，该弹簧振子处于平衡位置，合力为零，加速度大小为零，故C正确； D．在到的时间内，该弹簧振子从平衡位置右侧运动到平衡位置左侧，所以加速度先减小后增大，速度先增大后减小，故D错误。 故选C。 题型04：简谐运动的单摆模型 10．（24-25高二上·宁夏银川·期末）如图所示，轻绳的一端系一质量为m的金属球，另一端悬挂于点，点到球上端的绳长为L，球的直径为d。将球拉到A点后由静止释放（摆角小于5°），经过最低点C后，摆到B点速度减为零。在摆动过程中，设绳子与竖直方向夹角为，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）    A．球摆动时的回复力大小为 B．球摆动的周期为 C．球摆动时绳子拉力的大小为 D．增大球的摆角（不超过5°），球摆动的周期也变大 【答案】A 【详解】A．金属球受重力和拉力，球摆动时的回复力大小为 故A正确； B．球摆动的周期为 故B错误； C．球摆动时，根据牛顿第二定律，有 可得绳子拉力的大小为 由此可知绳子的拉力随着速度的变化而变化，故C错误； D．由单摆周期公式可得，周期与摆动角度无关，故D错误。 故选A。 11．（24-25高二上·山东潍坊·期末）如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10。下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．时摆球所受合外力为零 C．从至的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 【答案】D 【详解】A．单摆周期T=2s，则根据 可得摆长约为L=1m，选项A错误； B．时摆球到达最高点，此时摆球加速度不为零，即所受合外力不为零，选项B错误； C．从至的过程中，摆球从左侧最高点向平衡位置摆动，此时所受回复力逐渐减小，选项C错误； D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 选项D正确。 故选D。 12．（23-24高二下·天津西青·期末）如图甲所示，一单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（　　） A．若仅将摆球质量变大，单摆周期变大 B．单摆的位移x随时间t变化的关系式为 C．从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式 可知仅将摆球质量变大，单摆周期不变，故A错误； B．由图乙可知单摆的位移x随时间t变化的关系式为 故B正确； C．由图乙可知，从t=0.5s到t=1.0s的过程中，摆球从最高点摆动最低点，摆球的重力势能逐渐减小，故C错误； D．由图乙可知，从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球的位移大小逐渐增大，摆球所受回复力逐渐增大，故D错误。 故选B。 题型05：简谐运动的单摆周期问题 13．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图甲，O点为单摆的固定悬点，在其正下方的P点有一个钉子，在竖直平面内将质量为m的小球拉到A点，由静止释放小球（摆角很小），OA为不可伸长的细绳长为1.6m。从某时刻开始计时，绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙。已知θ很小时用弧度表示的θ与它的正弦sinθ近似相等，重力加速度g取10m/s2，小球可视为质点，忽略一切阻力。下列说法正确的是（　　） A． B．AB的弧长与BC的弧长相等 C． D．OP之间的距离为0.8m 【答案】A 【详解】C．线圈在B点受到的拉力与重力的合力提供向心力，设小球经过B点的速度为v1，则有 可得： BC段摆长小，所以经过B点向C运动时绳子的拉力较大，可知0～t0内应该对应着摆球在CB之间的摆动；t0～3t0内应该对应着摆球在BA之间的摆动。 当摆球在BA之间摆动时 解得 选项C错误； A．当摆球在BA之间摆动时，设摆角为α，则，， 解得 选项A正确； D．在BC间摆动时 可得 选项D错误； B．设右侧最大摆角为α，左侧最大摆角β，由于 可得 因 带入解得 因α、β较小，则可认为 可得 根据弧长 AB的弧长与BC的弧长之比为2:1，选项B错误。 故选A。 14．（23-24高二下·河南南阳·期末）如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间，可测出细线对摆球的拉力大小F。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示拉力大小F随时间t变化的曲线，时摆球从A点由静止开始运动，重力加速度g取。下列说法正确的是（　　） A．摆球的质量为 B．单摆的摆长为0.1m C．摆球在时和时速度相同 D．摆球运动过程中的最大速度为0.2m/s 【答案】A 【详解】B．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得单摆的摆长为 故B错误； AD．在最高点 在最低点，根据牛顿第二定律 从最高点到最低点，由动能定理得 联立解得 ， 故A正确，D错误； C．摆球在时和时速度大小相同，方向不同，故C错误。 故选A。 15．（23-24高二下·福建龙岩·期末）如图甲所示，在倾角α＝30°光滑的斜面上固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上以θ＜5°的角度来回摆动。某实验小组通过力传感器得到了摆线的拉力大小F随时间t变化的图线，如图乙所示（图中所标字母均为已知量）。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的周期为 B．若把此单摆移至地球两极，单摆的周期变大 C．摆球的质量 D．摆球在最低点时的速度大小 【答案】D 【详解】A．由题图乙可知，时刻是摆球自开始摆动后第一次所受拉力最小的时刻，对应于到达最高点的时刻，而2时刻才是摆球第一次回到释放点的时刻，故该单摆的周期为2，故A错误； B．根据单摆周期公式 可知若把此单摆移至地球两极，重力加速度变大，则单摆的周期变小，故B错误； CD．设摆球质量为m，在最低点时的速度大小为v。小球在最高点时沿摆线方向受力平衡，有 小球在最低点时，根据牛顿第二定律有 小球从最高点运动到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有 联立可得 ， 故D正确，C错误； 故选D。 题型06：阻尼振动 16．（24-25高二下·河南·期中）如图所示为某同学研究单摆做阻尼振动的位移一时间图像，、、是图像上的三个点，其中、两点在同一条水平线上，、两点到平衡位置的距离相等，下列说法正确的是（　　） A．摆球在时刻的机械能等于在时刻的机械能 B．摆球在时刻的势能大于在时刻的势能 C．摆球在时刻做减速运动 D．摆球在时刻高度正在降低 【答案】D 【详解】A．由于振幅逐渐减小，故摆球的机械能逐渐减小，摆球在时刻的机械能大于在时刻的机械能，故A错误； B．摆球在与时刻位移相等，即单摆所处高度相同，则重力势能相同，故B错误； C．由图可知摆球在点时正在靠近平衡位置，速度在增大，即摆球在点时做加速运动，故C错误； D．摆球在点时也正在靠近平衡位置，高度在降低，故D正确。 故选D。 17．（23-24高二下·浙江杭州·期末）如图甲所示，粗细均匀的一根木筷，下端绕有铁丝，可使其竖直漂浮于装水的杯中。以竖直向上为正方向，把木筷提起一段距离后放手，木筷的振动图像如图乙所示。关于木筷（含铁丝）下列说法正确的是（　　） A．在时刻处于超重状态 B．在时刻向下运动 C．在时刻合力不为零 D．运动过程中，机械能一直减小 【答案】D 【详解】A．在时刻，振动物体处于正的最大位移处，加速度方向竖直向下，物体处于失重状态，故A错误； BC．在时刻，物体处于平衡位置，加速度为零，合力为零，且向上运动，故BC错误； D．由于物体做减幅振动，所以运动过程中，机械能一直减小，故D正确。 故选D。 18．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）如图所示为一个水平的弹簧振子做阻尼振动的图像，曲线上A、B 两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是（　　） A．振子在时刻的动能等于时刻的动能 B．振子在时刻的速度大于时刻的速度 C．振子在时刻的弹性势能小于时刻的弹性势能 D．振子在时刻的机械能等于时刻的机械能 【答案】B 【详解】D．由于弹簧振子做阻尼振动，所以时刻的机械能大于时刻的机械能，故D错误； C．由于弹簧的弹性势能仅与弹簧的形变量（即振子的位移）有关，、时刻弹簧的形变量相等，故弹性势能相等，故C错误； AB．时刻的机械能大于时刻的机械能，而、时刻弹性势能相等，可知振子在时刻的动能大于时刻的动能，振子在时刻的速度大于时刻的速度，故A错误，B正确。 故选B。 题型07：受迫振动与共振 19．（24-25高二下·浙江·期中）飞力士棒（Flexi-bar）是一种能加强躯干肌肉功能的训练器材。标准型飞力士棒由握柄、负重头和PVC软杆连接而成，可以使用双手进行驱动，棒的固有频率为4.5Hz，如图所示。则（　　） A．使用者用力越大，飞力士棒振动越快 B．无论手振动的频率如何，飞力士棒振动的频率始终为4.5Hz C．随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变大 D．驱动该飞力士棒每分钟振动270次与每分钟振动400次相比，棒子的振幅更大。 【答案】D 【详解】A．使用者用力越大，飞力士棒振动不一定越快，只有当使用者振动越快，则棒振动的才越快，选项A错误； B．飞力士棒在手的作用下做受迫振动，则棒振动的频率应该等于手振动的频率，不是始终为4.5Hz，选项B错误； CD．当手振动的频率等于棒的固有频率时，会产生共振，此时棒的振幅最大，即随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度不一定变大，驱动该飞力士棒每分钟振动270次，即频率为4.5Hz，每分钟振动400次即频率约为6.7Hz，可知棒每分钟振动270次棒子的振幅更大，选项C错误,D正确。 故选D。 20．（24-25高二下·河南·期中）一个有固定转动轴的竖直圆盘如图甲所示，圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动一个T形支架在竖直方向振动，T形支架的下面系着一个由弹簧和小球组成的振动系统。圆盘静止时，让小球做简谐运动，其振动频率为0.5Hz。圆盘以某一转速匀速转动时，小球振动的图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．小球振动的固有周期是4s B．此时圆盘的转速为 C．若圆盘的转速变为，小球振动的振幅会变大 D．若圆盘的转速变为，小球振动的固有频率会变大 【答案】C 【详解】A．小球振动的固有频率，则小球振动的固有周期，故A错误； B．小球做受迫振动时，小球的周期等于驱动力的周期，即等于圆盘转动周期，根据图乙可知，圆盘转动的周期为4s，则圆盘的转速 故B错误； C．当圆盘的转速变为时，小球振动的频率，刚好等于小球的固有频率，小球发生共振，振幅最大，故C正确； D．小球的固有频率与圆盘的转速无关，不会随着转速改变而改变，故D错误。 故选C。 21．（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高；增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。现在某电压下偏心轮的转速是，下列说法正确的是（　　） A．筛子现在振动的频率为0.8Hz B．提高偏心轮的转速，筛子的振动频率减小 C．仅增大偏心轮的电压，可以使筛子振幅增大 D．仅减小筛子的质量，可以使筛子振幅增大 【答案】D 【详解】AB．筛子做受迫振动，则筛子现在振动的频率等于偏心轮转动的频率，大小为 提高偏心轮的转速，偏心轮转动的频率增大，筛子的振动频率增大，故AB错误； C．由图乙可知，筛子固有频率为，仅增大偏心轮的电压，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故C错误； D．仅减小筛子的质量，筛子的固有周期随之减小，固有频率增大，则固有频率和驱动力频率的差值变小，可以使筛子振幅增大，故D正确。 故选D。 题型08：单摆的探究实验 22．（23-24高二下·山东济南·期末）小明同学看到苹果树上结的果子在风的扰动下摆动，决定研究一下它摆动的周期。如图所示，他找到两个质量均为的苹果，穿在一根长为较细的轻杆上，苹果M固定在中点处，苹果N固定在端点处，将轻杆另一端悬挂起来，并让它做微小角度的自由摆动，做成一个“苹果摆”。已知当地重力加速度。 (1)小明猜想，轻杆很轻，两苹果和轻杆组成系统的重心位于两苹果的连线中点处，可以将“苹果摆”看做一个摆长为的单摆，若忽略空气阻力和一切摩擦，则其周期表达式为T= （用题中所给的字母表示）； (2)小明用秒表测得“苹果摆”完成50次全振动的时间为91.5s，已知约等于9.8。由此可判断“苹果摆”的等效摆长 （选填“大于”、“小于”或“等于”）； (3)为了精确研究“苹果摆”的摆动情况，小明多次改变轻杆的长度L，但仍然保持苹果N固定在端点，苹果M始终固定在轻杆的中点，测出对应的周期T，画出图像如图乙所示，计算得出此图线的斜率，若忽略空气阻力和一切摩擦，则“苹果摆”的等效摆长 L。 【答案】(1) (2)大于 (3) 【详解】（1）将“苹果摆”看做一个摆长为的单摆，若忽略空气阻力和一切摩擦，由周期公式可得，其周期表达式为 （2）用秒表测得“苹果摆”完成50次全振动的时间为91.5s，可知周期为 由周期公式可得      又有 可知“苹果摆”的等效摆长大于。 （3）由图乙可得 可得 由周期公式可得等效摆长 23．（22-23高二上·四川绵阳·期中）南山中学某物理课外活动小组准备测量南山公园处的重力加速度，其中一小组同学将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下半部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁.本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离，并通过改变而测出对应的摆动周期，再以为纵轴、为横轴作出函数关系图像，那么就可以通过此图像得出小筒的深度和当地的重力加速度。 （1）实验时用10分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图所示，该摆球的直径 mm。 （2）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时按下停表开始计时，同时数0，当摆球第二次通过最低点时数1，依此法往下数，当他数到60时，按下停表停止计时，读出这段时间，则该单摆的周期为 。 A．    B．    C．    D． （3）如果实验中所得到的关系图线如图乙中的 所示（选填，，），当地的重力加速度 （取，结果取小数点后两位） 【答案】 12.0 C a 9.86 【详解】（1）[1]游标卡尺读数为 （2）[2]从“0”数到“60”时有经历了30个周期，该单摆的周期为。故选C。 （3）[3][4]摆线在筒内部分的长度为h，由 可得 可知其关系图线应为a，再将 代入 可得 将 代入 可求得 24．（21-22高二下·宁夏银川·期中）在“探究单摆周期与摆长的关系”的实验中： （1）摆线要选择细些的、伸缩性 的，摆球要选择质量大些的、体积 的； （2）从摆球经过平衡位置开始计时，测出n次全振动的时间为t，则单摆的周期为 ；用毫米刻度尺量出悬点到摆球的线长为l，用游标卡尺测出摆球直径为d，则单摆的摆长为 ； （3）实验测出不同摆长对应的多组数据，利用实验数据作出了T—l、T—l2、等图像，其中 图像最能直观反应周期与摆长的关系，由该图像可得到单摆的周期与摆长的关系是 ；（用数学式表达） （4）某同学根据实验数据作出的图像如图所示。 ①图像斜率表示的物理意义是 （用字母表示），由图像求出的重力加速度g = 。（小数点后保留两位） ②造成图像不过坐标点的原因可能是 。 A．摆长测量偏大      B．摆长测量偏小 C．周期测量偏大      D．周期测量偏小 【答案】 小些 小些 （k为比例系数） 9.86 BC/CB 【详解】（1）[1]摆线要选择细些的、伸缩性小些的。 [2]摆球要选择质量大些的、体积小些的。 （2）[3]单摆的振动周期为 [4]由于摆长为悬点到球心的距离，故摆长为 （3）[5]根据单摆的周期公式 可知图像为直线，而T—l、T—l2均为曲线，因此图像能直观反应周期与摆长的关系。 [6]由于与成正比，因此单摆的周期与摆长的关系是 （k为比例系数） （4）①[7]由单摆振动周期公式可得 可知图像的斜率意义为 [8]根据图像的斜率可知 解得 ②[9]AB．若周期测量准确，与过坐标原点的图像比较，摆长测量值偏小，B正确，A错误； CD．若摆长测量值准确，与过坐标原点的图像比较，周期的测量值偏大，C正确，D错误。 故选BC。 题型09：机械振动的综合问题 25．（24-25高二上·甘肃临夏·期末）如图所示为一弹簧振子的振动图像，从t=0开始计时，求：（，） (1)振子做简谐运动位移的表达式； (2)在时间内振子运动的路程s（以cm为单位）。 【答案】(1)（cm） (2)503.535 cm 【详解】（1）由题图可得振子的振幅A=5cm，周期T=4s，则 图像可知初相 该振子做简谐运动位移的表达式为 （cm） （2）由于 则该时刻振子位移 cm= 故振子运动的路程 26．（23-24高二下·北京西城·期末）如图所示，一根粗细均匀的木筷，下端绕几根铁丝，竖直浮在盛水的盆中。筷子与铁丝的总质量为m，筷子的直径远小于盆的直径。把木筷向上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动，振幅为A。不考虑水对筷子的阻力，忽略铁丝体积的影响，木筷始终有一部分露在水面上。 （1）证明：木筷在水中做简谐运动。 （2）某同学发现木筷与铁丝在最高点的机械能大于它们在最低点的机械能。他分析之后认为，木筷与铁丝损失的机械能应转化为了水的重力势能，请判断他的结论是否正确，并说明理由。 （3）证明木筷与铁丝的最大动能。 【答案】（1）见解析；（2）结论正确，理由见解析；（3）见解析 【详解】（1）设木筷的截面积为S，质量为m，水的密度为ρ，静止时水下长度为x0，根据平衡条件有 把木筷向上提起一段距离后放手，以向上为正方向，设木筷在水下长度相对于平衡位置的长度为，则木筷受到的合力为 解得 可知木筷在水中做简谐运动。 （2）某同学发现木筷与铁丝在最高点的机械能大于它们在最低点的机械能。他分析之后认为，木筷与铁丝损失的机械能应转化为了水的重力势能，他的结论是正确的；当木筷与铁丝在最高点时，木筷在水下长度最小，排开水的体积最小，盆中水面高度最低，水的重力势能较小；当木筷与铁丝在最低点时，木筷在水下长度最大，排开水的体积最大，盆中水面高度最高，水的重力势能较大，故木筷与铁丝从最高点到最低点过程，水的重力势能增大，木筷与铁丝的机械能减小，则木筷与铁丝在最高点的机械能大于它们在最低点的机械能。 （3）由于木筷在水中做简谐运动，则有 木筷与铁丝在最高点时速度为0，平衡位置时速度最大，动能最大，从最高点到平衡位置，合力做的功为 根据动能定理可得 则有 27．（23-24高二下·广东江门·期末）惠更斯在1657年时利用自己对单摆的研究发明了摆钟。下面是某学校研究小组做的单摆研究，如图1所示，质量为的甲球和质量为的乙球用轻绳悬挂，悬点到球心的距离都为L，两球静止在最低点位置B刚好接触且没有相互挤压。如图2所示，将甲球拉到与竖直方向夹角为（小于5°）的A位置由静止释放，甲球到达最低点位置B时与乙球发生对心碰撞，碰撞时间极短，研究小组在图2的A、B位置固定了光电门（图中没画出），记录了甲球从A位置到B位置的时间，并得到碰撞前瞬间甲球的速度，碰撞后瞬间甲球的速度的大小为0.1m/s，重力加速度，，不计空气阻力，求： （1）悬点到球心的距离L； （2）甲球从A位置到B位置的过程中所受重力的冲量和合外力的冲量； （3）通过计算，判断甲球与乙球的碰撞可能是哪类碰撞（弹性碰撞、非弹性碰撞、完全非弹性碰撞）。 【答案】（1）1m；（2）2.5；0.15；（3）完全非弹性碰撞 【详解】（1）甲球从A位置到B位置的时间，根据单摆周期公式有 解得 m （2）根据冲量的计算公式有 根据动量定理有 （3）根据动量守恒定律有 解得 碰后两球速度相等，则甲球与乙球的碰撞是完全非弹性碰撞。 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高二上·贵州遵义·期末）如图所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在A、B两点之间做简谐运动。小球从B点向O点的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球所受回复力越来越大 B．小球加速度越来越大 C．小球速度越来越小 D．小球加速度方向跟速度方向相同 【答案】D 【详解】AB．由B点向O点运动的过程中，振子的位移减小，回复力减小，加速度减小，故AB错误； CD．由B点向O点运动的过程中，加速度方向与速度方向相同，均向左，小球速度越来越大，故C错误，D正确。 故选D。 2．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时，水面恰好过点。用手将鱼漂向下压，使点到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点N到达水面。若从点到达水面至点N到达水面所经历的时间为，不计阻力的影响，以下正确的是（　　） A．鱼漂做简谐运动的周期为 B．点N到达水面时，鱼漂具有向下的加速度 C．点过水面时，鱼漂的加速度最大 D．鱼漂由下往上运动时，速度越来越大 【答案】B 【详解】A．鱼漂在水中受到了浮力的作用，由阿基米德浮力定律可知，浮力的大小与鱼漂进入水面的深度成正比，鱼漂所受的重力为恒力，以静止时O点所处位置为坐标原点，则合力的大小与鱼漂的位移大小成正比，方向总是与位移方向相反，所以鱼漂做简谐运动，点M到达水面时鱼漂在最低点，点N到达水面时鱼漂在最高点，鱼漂从最低点到最高点历时0.5s，简谐运动的周期为s=1s 故A错误； B．点N到达水面时，鱼漂达到了向上的最大位移，所受合力方向向下，所以具有向下的加速度，故B正确； C．点O过水面时，鱼漂到达了平衡位置，所受合力为零，加速度最小，故C错误； D．简谐运动的特点可知，鱼漂由下往上运动时，速度先增大后减小，故D错误。 故选B。 3．（24-25高二下·河南开封·开学考试）如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，倒些清水在盆中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花。下列关于“洗”的说法正确的是（　　） A．“洗”发出的声音在空气中传播时，介质振动方向与声音传播方向始终垂直 B．手掌摩擦越快发出的声音越大，水花溅得越高 C．盆内水花及盆体的振动频率可能大于手掌的摩擦频率 D．当双手以某一特定频率摩擦时，盆耳发出的嗡嗡声特别响，水花溅得特别高，这是共振现象 【答案】D 【详解】A．声波是纵波，介质振动方向与声音传播方向共线，故A错误； BD．只有双手摩擦的频率越接近盆体和水花固有振动频率时，盆耳发出的嗡嗡声才会特别响，水花才会溅得特别高，这是共振现象的体现，故B错误，D正确； C．盆内水花和盆体均做受迫振动，频率与驱动力的频率相等，故C错误。 故选D。 4．（24-25高二上·辽宁·期末）一单摆如图1所示，M、N为单摆偏移的最大位置，O点为最低点，该单摆的振动图像如图2所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，重力加速度g取，，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的摆长为1m B．时刻，摆球位于M点或N点 C．从到时间内单摆的回复力先减小后增大 D．摆球运动到N点时加速度为0 【答案】C 【详解】A．由图2可知单摆的周期为T=2s，根据单摆周期公式 解得 故A错误； B．由图2可知，时刻，摆球位于O点，故B错误； C．由图2可知从到的过程中，摆球靠近平衡位置，受到的回复力减小，从到的过程中，摆球远离平衡位置，受到的回复力增大，故C正确； D．摆球运动到N点时，处于最大位移处，根据 可知在切线方向上加速度取最大值，故D错误。 故选C。 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）如图所示，光滑固定圆弧槽半径为R，O为圆弧最低点，圆弧OM的长度远小于R，两个可看作质点的小球A和B，A球初始位置在M点，B球在O点正上方h高度处。现同时释放两球，要使A 球在第二次通过O点时恰好与B球相碰，则h应为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题分析知，可将A球运动看作摆长为R的单摆，其周期 A第二次通过位置O，即用时 B做自由落体运动，用时与A相同，故 解得 故选D。 6．（24-25高二上·贵州贵阳·期末）甲、乙两个单摆的振动图像如图所示。以向右的方向作为摆球偏离平衡位置位移的正方向。下列关于甲、乙这两个单摆的说法正确的是（　　） A．甲与乙的摆长之比是 B．甲与乙的频率之比是 C．在、两点对应的时刻，甲摆球的速度相同 D．从时刻起，乙第一次到达左侧最大位移时，甲摆动到了平衡位置 【答案】D 【详解】B．由图像可知甲与乙的周期分别为和，故频率之比 ，故B错误； A．由单摆周期公式，得摆长 ，故摆长之比 ，故A错误； C．在、两点对应的时刻，甲摆球的速度大小相同，方向不同，故C错误； D．由图像可知，从时刻起，时乙第一次到达左侧最大位移，此时甲的位移，甲摆动到了平衡位置，故D正确。 故选D。 7.（24-25高二上·山东德州·期末）长江上的航道灯浮标可以在夜间发光，对夜行的船舶进行指引。它的主要结构为圆柱形的浮标体和上方的航道灯，如图所示。某航道灯浮标静止在水面上时，水面恰好在O点，若在O点上方一定距离处安装一水位传感器，当水面没过水位传感器时，报警器会持续报警。某时刻由于外力扰动，该浮标突然获得一竖直向下的初速度开始做简谐运动，经过2s后报警器开始报警，再经1s后报警停止，则距离下一次开始报警还要经过的时间是（　　） A．12s B．9s C．6s D．3s 【答案】B 【详解】题意可知，浮标体做简谐运动，t=0时刻，浮标体处于平衡位置，若浮标获得一竖直方向向下的初速度时，经过2s后报警器开始报警，再经1s后报警停止，则浮标体从水位传感器运动到最高点所用时间为0.5s，设周期为T，则有 解得T=10s 则距离下一次开始报警还要经过的时间为t=T-1s=9s 故选B。 8．（24-25高二上·湖南郴州·期末）一弹簧振子如图甲所示，以O为平衡位置，在水平方向a、b间做简谐运动，取向右为正，其振动图像如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．t=0.3s时，振子的速度最大且方向向右 B．t=0.2s时，振子的加速度最大且方向向右 C．t=0.15s时，振子的速度方向与加速度方向相反 D．t=0.1s和t=0.3s时，振子的速度相同 【答案】C 【详解】A．t=0.3s时，振子位于平衡位置，振子的速度最大且方向向左，故A错误； B．t=0.2s时，振子位于正向位移最大处，根据 可知t=0.2s时，振子的加速度最大且方向向左，故B错误； C．由图可知，t=0.15s时，振子的速度方向向右，加速度方向向左，故t=0.15s时，振子的速度方向与加速度方向相反，故C正确； D．在t=0.1s与t=0.3s两个时刻，振子的速度大小相同，方向相反，则速度不相同，故D错误。 故选C。 二、多选题 9．（24-25高二上·四川达州·期末）手机是现代社会的高科技产物，其内置的加速度传感器可以测量手机运动时的加速度，小明学习了简谐振动的相关知识后，用质量为的手机和轻弹簧制作了一个如图甲所示的振动装置。并记录了手机在竖直方向振动过程中加速度a随时间t变化的关系图像，如图乙所示，若取竖直向下为正方向（　　） A．时，弹簧弹力为0 B．时，弹簧的弹性势能最大 C．至，手机的动能不断增大 D．时，弹簧对手机的弹力大小为，方向竖直向上 【答案】BC 【详解】A．时手机的加速度为零，弹簧弹力大小等于手机的重力，故A错误； B．时，加速度大小为，方向竖直向上，由牛顿第二定律得 可知弹簧的弹力最大，又由，可知弹簧的形变量最大，弹簧的弹性势能最大，故B正确； C．至，加速度逐渐减小，位移逐渐减小，手机的动能增大，平衡位置动能最大，故C正确； D．时，手机的加速度大小为，方向竖直向下，由牛顿第二定律得 解得 方向竖直向上，故D错误。 故选BC。 10．（23-24高二下·福建泉州·期末）滑板运动非常有趣。如图所示，某同学踩着滑板在弧形轨道的内壁来回滑行，若人和滑板的运动可视为简谐运动，设该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，则（　　） A．站在滑板上运动时周期比较大 B．站在滑板上运动时周期比较小 C．站着运动到最低点时的速度比较小 D．站着运动到最低点时的速度比较大 【答案】BD 【详解】AB．根据题意，人和滑板的运动可视为简谐运动，该同学站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，由 可知当人站起来，重心向上移，相当于摆长L变短，则周期T变小，故A错误，B正确； CD．因为站在滑板上与蹲在滑板上滑行时，滑板到达了相同的最高点，而当人站起来时周期变小，通过相等的弧长时，周期越小，速度越大，故C错误，D正确。 故选BD。 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。当振子位于A点时弹簧处于原长状态。取竖直向上为正方向，重力加速度大小为g。振子的位移x随时间t变化的关系如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．振子位移的表达式为 B．时，振子的速度方向竖直向下 C．振子在B点的加速度大小为g D．振子的动能和弹簧的弹性势能之和保持不变 【答案】BC 【详解】A．由图可知简谐运动的周期为，则振子振动的圆频率为 振子的振动方程为 故A错误； B．由图乙可知，时，振子由最高点A向下运动至A、O两点之间某一位置，即振子的速度方向竖直向下，故B正确； C．由简谐运动的对称性可知A、B两点加速度大小相等，方向相反，由于振子位于A点时弹簧处于原长状态，即A点时的即速度大小为g，所以振子在B点的加速度大小也为g，故C正确； D．振子的重力做功转化为振子的动能和弹簧的弹性势能，即 以A点为初始位置，在振子向下运动过程中，重力做功逐渐变大，重力势能减少，转化为振子的动能和弹簧的弹性势能，所以振子的动能和弹簧的弹性势能之和也逐渐变大，反之在振子向上运动过程中，振子的动能和弹簧的弹性势能之和逐渐变小，故D错误。 故选BC。 12．（23-24高二下·吉林白山·期末）如图甲所示，一水平弹簧子以O点为平衡位置，在M，N两点间做简谐运动，以向右为x轴正方向，振子的振动图像如图乙所示，已知弹簧的劲度系数为，下列说法正确的是（    ） A．时振子的速度与时的速度相同 B．振子在内的平均速度与在内的平均速度相同 C．时振子的回复力指向x轴正方向，大小为 D．振子在内通过的路程为 【答案】CD 【详解】A．由图可知时相比时，振子更靠近平衡位置，则时振子的速度大于时的速度，故A错误； B．振子在内的位移与内的位移大小相等、方向相反，则振子在内的平均速度与在内的平均速度不同，选项B错误； C．时振子的位移为 此时振子的回复力大小 方向沿x轴正方向，故C正确； D．时振子的位移与时振子的位移对称，则时振子的位移是 则振子在内通过的路程为，故D正确。 故选CD。 13．（23-24高二下·安徽马鞍山·期末）如图所示，质量为M的框架放在水平面上，框架上悬挂一轻质弹簧，弹簧下端栓接一小球A， A下端再用细绳连接小球B， B未与框架接触，系统处于静止状态。现剪断细绳使 A球在竖直面内上下做简谐运动，当A球运动至最高点时，框架对地面的压力恰好为0。已知A球质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，空气阻力不计。则（　　） A．弹簧原长时，小球A的速度有最大值 B．小球B的质量为 C．小球A从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹性势能先减小再增大 D．小球A从最低点运动到最高点过程中，小球的机械能先增大后减小 【答案】BD 【详解】A．当小球在竖直方向做简谐运动时，小球受到的合力为零的位置是小球的速度最大的位置，故A错误； B．当A球运动至最高点时，框架对地面的压力恰好为0。对框架受力分析，得出此时的弹簧弹力大小为 且弹簧处于压缩状态，小球做简谐振动最高点的合力为 根据简谐运动的对称性得出，小球A在最低点的合力大小与最高点大小相同，小球A在最低点的合力大小为小球B的重力，因此 故B正确； C．小球A从最低点向平衡位置运动过程中，弹簧弹性势能一直减小，故C错误； D．小球A从最低点运动到最高点过程中，弹簧的弹性势能先减小后增大，因为系统机械能守恒，故小球的机械能先增大后减小，故D正确。 故选BD。 14．（23-24高二下·福建南平·期末）如图，一轻质弹簧左端与墙固定，右端与铁块连接，铁块在光滑水平面上的B、C两点间做简谐运动，点为平衡位置。现有一橡皮泥从点正上方某处竖直下落，恰好以速率击中速率也为的铁块，并与之粘连。橡皮泥与铁块质量相同且均可视为质点。弹簧振子简谐振动的振动周期（其中为弹簧的劲度系数，为振子的质量）。则（　　） A．橡皮泥与铁块粘连时，橡皮泥和铁块组成的系统动量守恒 B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 C．橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变大 D．橡皮泥击中铁块后，系统的周期变大 【答案】BD 【详解】A．橡皮泥与铁块粘连过程中，竖直方向上系统所受合外力不为零，即小球和小车在竖直方向上动量不守恒，水平方向上动量守恒。故A错误； B．橡皮泥与铁块粘连的过程中，水平方向动量守恒，可得 橡皮泥和铁块组成的系统机械能损失了 联立，解得 故B正确； C．橡皮泥击中铁块前，在光滑水平面做简谐运动时，设其振幅为A，由系统机械能守恒定律得 橡皮泥击中铁块后，二者一起在光滑水平面做简谐运动时，设其振幅为，由系统机械能守恒定律得 联立，解得 即橡皮泥击中铁块后，系统的振幅变小。故C错误； D．橡皮泥击中铁块后，根据弹簧振子的周期公式 可知弹簧振子的质量增加，弹簧劲度系数未变，所以整个弹簧振子的周期变大。故D正确。 故选BD。 三、实验题 15．（2024·云南昆明·一模）某实验小组用以下方法探究木板沿水平方向运动的规律。在运动的木板正上方用细线悬挂一个除去了柱塞的小注射器，注射器内装上墨汁，做成秒摆（周期为），如图甲所示。注射器的平衡位置在木板中线的正上方，当注射器在竖直平面内摆动时，在木板上留下了墨汁图样，图样与中线各交点的距离关系如图乙所示。 （1）由图乙可知，木板向右做 （选填“加速”或“减速”）直线运动； （2）若木板的运动可视为匀变速直线运动，墨汁滴到木板A点时，木板的速度大小为 ，木板的加速度大小为 。（计算结果均保留2位有效数字） 【答案】 加速 0.23 0.078 【详解】（1）[1]木板上的墨汁图样是由注射器摆动形成的，根据单摆的特点，虚线上相邻两个平衡位置的时间相同；越向左，相邻两个平衡位置间的距离越来越远，即木板运动的越快，因此木板向右做“加速”直线运动。 （2）[2]木板匀加速直线运动，相邻两平衡位置时间 中间时刻的速度等于平均速度 [3]木板匀变速直线运动，加速度 16．（23-24高三上·江西）某实验小组探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量、单摆摆长的关系。    （1）小组内的两位同学各自组装了一套实验装置，分别如图甲、乙所示。为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图 （选填“甲”或“乙”）所示的实验装置。 （2）关于该实验，下列说法正确的是 。 A．该探究方法为控制变量法 B．实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小 C．实验时细线的最大摆角约为45° D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最高点时开始计时 （3）当小球的质量一定，探究单摆做简谐运动的周期和摆长的关系时，该小组同学利用正确装置通过改变摆长进行了多次实验，画出的T2﹣l图像如图丙所示，由图丙可得小球的质量一定时，周期T和摆长l的关系为T= （用a、b、l表示）。 【答案】 乙 AB/BA 【详解】（1）[1]为了保证小球在确定的竖直面内摆动，应选用图乙所示的实验装置； （2）[2] A．探究单摆做简谐运动的周期和小球的质量关系时，应控制单摆摆长相同；探究单摆做简谐运动的周期单摆摆长的关系，应控制小球的质量相同，故该探究方法为控制变量法，故A正确； B．为减小空气阻力的影响，实验所用小球的质量要尽量大，体积要尽量小，故B正确； C．小球做单摆运动，实验时细线的最大摆角约为5°，故C错误； D．测量小球的摆动周期时，应该从小球处于最低点时开始计时，故D错误。 故选AB。 （3）[3]根据图象可得 可得周期T和摆长l的关系为 17．（22-23高二下·山西朔州·期末）某同学在实验室探究影响单摆周期的因素。 （1）该同学组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示，这样做的目的是 ；（填字母代号） A．保证摆动过程中摆长不变 B．可使周期测量得更加准确 C．便于调节摆长 D．保证摆球在同一竖直平面内摆动 （2）该同学组装好单摆后，在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得悬点到摆球的最低端的长度，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图乙所示，则该摆球的直径为 ，单摆摆长为 ；    （3）如图所示的振动图像真实地描述了摆长约为的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中坐标原点表示计时开始，A、B、C图反映了30次全振动的图像．已知，，这四种操作过程符合实验要求且误差最小的是 。（填字母代号） 【答案】 AC/CA 10.00 0.9850 A 【详解】（1）[1]在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，这是为了防止运动过程中摆长发生变化；如果需要改变摆长来探究摆长与周期关系时，这样做方便调节摆长，故AC正确。 （2）[2][3]游标卡尺示数 单摆摆长 （3）[4]当摆角小于等于时，我们认为小球做单摆运动，所以振幅约为 当小球摆到最低点时开始计时，误差较小，测量周期时要让小球做30~50次全振动，求其平均值，所以A图符合实验要求且误差最小。 四、解答题 18．（23-24高二下·广东肇庆·期末）地震波既有纵波也有横波，是由同一震源同时产生的，两者均可简化为频率不变的简谐波。纵波是推进波，又称P波，在地壳中的传播速度；横波是剪切波，又称S波，在地壳中的传播速度。某研究性学习小组研制了一种简易地震仪，由竖直弹簧振子M和水平弹簧振子Q组成，如图甲所示。在一次地震中，震源位于此地震仪的正下方，观察到两组弹簧振子先后振动起来，起振时间相差为3s，同时装置记录下水平弹簧振子Q的振动图像如图乙所示。则： （1）弹簧振子M和Q哪个先开始简谐振动？请简述理由。 （2）该地震波的横波波长是多少千米？ （3）震源距离地震仪多少千米？ 【答案】（1）见解析；（2）2km；（3）36km 【详解】（1）弹簧振子M先开始简谐振动。理由是纵波波速大，故先传到地震仪处。 （2）横波波长 （3）设震源距离地震仪s千米 ，由 由题意可知    解得 19．（23-24高二下·北京海淀·期末）如图所示，弹簧振子在竖直方向的B、C两点之间做简谐运动。小球位于B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。若以小球的平衡位置为坐标原点O，以竖直向下为正方向建立坐标轴，用x表示小球相对于平衡位置的位移。已知B、C两点相距20cm，弹簧劲度系数，小球质量，取重力加速度。 （1）请写出小球位移x随时间t变化的关系式。 （2）求5s内小球通过的路程及5s末小球位移的大小。 （3）求小球运动至B点时，其所受回复力和弹簧弹力的大小。 【答案】（1）或；（2），；（3）2N， 【详解】（1）根据已知条件，可知小球做简谐运动的振幅为 振动周期 根据，可得 小求经过B点始计时，故当时，，当时，，故 或 （2）从小球经过B处开始计时，则 一个周期内小球通过的路程为 所以5s内通过的路程 小球在5s内运动5个周期，故5s末仍位于B点，所以 （3）小球在竖直面内做简谐运动，其在平衡位置的受力分析如答图所示 设此时弹簧的形变量为，则有 当小球位于B点时，小球的受力如答图所示 此时小球的位移为 弹簧的形变量 根据，可得 回复力的大小为2N；根据，可得 20．（23-24高二下·四川乐山·期末）战绳运动是一项超燃脂的运动。某次健身时，有两位健身者甲、乙分别抓住相同的战绳上下舞动形成向右传播的简谐波，如图1所示。某时刻开始计时，时两列波的图像如图2所示，P、Q曲线分别为甲、乙的一个绳波，O点为手握的绳子一段，向右为x轴正方向。已知绳波的速度为，求： （1）甲、乙的绳端振动频率和之比； （2）以图2所示为时刻，写出乙运动员的绳中，平衡位置为4m处质点的振动方程。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由波形图可知 ， 由可得 （2）振动方程为，由波形图可知绳波乙的振幅 绳波乙的周期 平衡位置为4m位置处的质点，再过会运动到负向最大位移处可得 解得 所以平衡位置为4m位置处的质点的振动方程为 21．（23-24高二下·安徽黄山·期末）如图所示，一根劲度系数k=200N/m的轻弹簧一端固定在墙壁上，另一端在O点上方且处于自由状态。水平地面在O点左边光滑，右边粗糙。地面M点有一块质量M=1kg小木块，其上放置一个质量m=1kg的小铁块。现给小木块与小铁块相同的初速度，发现经过O点之后再经过0.05π s在N点速度减为0。设运动过程小铁块与小木块一直相对静止。已知小木块与OM段地面的动摩擦因数为，M点与O点相距0.22m，N点与O点相距0.1m，，则： （1）求小木块第一次来到O点的速度多大？ （2）求小木块来到ON段的中点时铁块受到的摩擦力多大？ （3）从第一次经过O点开始计时，规定水平向左为正，分析并得出小木块与弹簧接触的过程中，小木块相对O点的位移与时间的关系。 【答案】（1）1m/s；（2）5N；（3） 【详解】（1）M到O过程中，根据动能定理有 解得 （2）小木块来到ON段的中点时，对整体进行分析，根据牛顿第二定律有 对小铁块进行分析根据牛顿第二定律有 解得 （3）小木块与弹簧接触的过程中，整体做简谐运动，根据题意有 振幅为 位移与时间的关系为 代入，有 解得 可知，位移与时间的关系 2 学科网（北京）股份有限公司 $$