探索规律题必考考点押题练-2025年中考数学三轮复习备考

探索规律题

[项目式学习]探索凸透镜成像的奥秘

[项目背景]某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律．

[项目素材]

素材一：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折

射后光线经过焦点．

素材二：设物距为，像距为和焦距为，小明在研究的过程中发现了物距，像距和焦距之间在成实像时存在着一定的数量关系．

【项目任务】根据项目素材解决问题：

(1)小明取物距，然后画出光路图（如图①，其中为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴（即图中的点斜线），折射光线经过焦点为所成的像．根据光路图①可知，当时，物体经凸透镜折射后成_______（填“放大”或“缩小”或“等大”）的倒立实像；

(2)小明取物距．当时，，物体经凸透镜折射后成倒立，等大的实像，请在图②中用三角形全等的知识解释；

(3)小明取物距，探究一般情况下物距，像距和焦距之间在成实像时存在的数量关系．如图③，为物体，为凸透镜的光心，入射光线主光轴，折射光线经过焦点为所成的像，主光轴，主光轴．焦距，物距，像距．求证：；

2．在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律；

(1)若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒；

(2)若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示）

(3)若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？

3．数学兴趣小组开展深究活动，研究“能被3整除的数”．指导老师首先提出一个猜想：如果该数的各数位上的数的和能被3整除，那么这个数就一定能被3整除．例：∵，21能被3整除，∴615 432能被3整除．

对于此规律：兴趣小组的两位成员分别针对三位数、四位数进行了证明：

（i）星星同学对三位数进行了证明：

设某个三位数上的百位、十位和个位上的数分别是a，b，c．

∵，

∴若能被3整除，则该三位数能被3整除．

（ii）宁宁同学对四位数进行了证明：

设某个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别是a，b，c，d．

∵

，

∴若能被3整除，则该四位数能被3整除．

(1)请写出横线上所缺内容．

(2)该兴趣小组继续探索一个四位数能被11整除的条件，证明过程如下：

……

请补充省略部分的推理过程，并写出四位数能被11整除的条件．

4．在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式：

第1个等式：；

第2个等式：；

第3个等式：；

……

(1)根据上述等式规律，

（ⅰ）第4个等式为：（____________）；

（ⅱ）第n个等式为：______．

(2)小组成员小明和小华进一步探索上述规律：

小明同学猜想，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明： （__①__________）， ∴不一定等于．

请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系．

5．《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题．

（规律探索）

(1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____；

同种操作，如图3，_____；

如图4，________；