第十章 二元一次方程组 重点知识点强化练-2024-2025学年人教版数学七年级下册

第十章 二元一次方程组 一、单选题 1．已知关于，的方程是二元一次方程，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．下列4组数中，不是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 3．以下解方程组的步骤正确的是（    ） A．代入法消去b，由①得 B．代入法消去a，由②得 C．加减法消去b，①+②得 D．加减法消去a，①-②得 4．若与的和是单项式，则m、n的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．已知关于、的方程组和有相同的解，那么值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若关于的方程组中的，相等，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 8．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示，如果长方体盒子的长比宽多4 cm，则这种药品包装盒的体积为(　　) A．10 cm3 B．60 cm3 C．80 cm3 D．90 cm3 9．为落实市委市政府提出“当好东道主”的重要提示，某酒店在两处地方准备有大箱和小箱两种包装的矿泉水，其中一处为4大箱、2小箱共120瓶，另一处为5大箱、3小箱共156瓶，设1大箱有x瓶水，1小箱有y瓶水，则可得到方程组（   ） A． B． C． D． 10．为筑牢拒毒防线，提升青少年识毒能力，2022年秋季学期花溪区某校举行“珍爱生命，远离毒品”知识竞赛活动，评分标准是：答对一题加10分，答错一题扣5分，不回答扣2分；一共10个题，每个队的基本分均为0分，A、B两个参赛队前8题的答题情况如下表，则a与b的值分别为（　　） 参赛队 题目数量（题） 答对（题） 答错（题） 不回答（题） 得分（分） A 8 6 0 2 56 B 8 a b 0 35 A．， B．， C．， D．， 二、填空题 11．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y为 12．写出一个二元一次方程，使这个方程与所组成的方程组的解为，这个方程可以是 ． 13．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 14． 若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则在平面直角坐标系中的第 象限． 15．定义运算“*”，规定,其中为常数，且，则= ． 16．如图，10个相同的小长方形拼成一个大长方形，设小长方形的长和宽分别为x厘米和y厘米，则每个小长方形的面积为 平方厘米． 17．《水浒传》中关于神行太保戴宗有这样一段描述：程途八百里，朝去暮还来．某日，戴宗去160里之外的地方打探情报，去时顺风，用了2小时；回来时逆风，用了4小时，则戴宗在无风时的平均速度为 里/小时． 18．某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景． 小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”， 小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加10% 小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加20% 根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为 万元 三、解答题 19．解下列方程组： (1)； (2)． 20．已知关于x，y的方程组的解满足x＋y＝－10，求式子m2－2m＋1的值． 21．某同学在解关于x，y的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求a＋b－c的值． 22．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试计算的值． 23．定义：若点满足，则称点为关于，的二元一次方程的精优点． (1)若点为方程的精优点，则 ；（直接写出答案） (2)，为正整数，且点为方程的精优点，求，的值； (3)，，，为实数，点与点都是方程的精优点，且，求的值． 24．为了更好治理流溪河水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有，两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如表： 型 型 价格（万元台） 处理污水量（吨月） 240 200 经调查：购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元． (1)求，的值． (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为该公司有哪几种购买方案． (3)在（2）问的条件下，若每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C B C D D C B 1．D 根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面求解即可． 根据二元一次方程的定义，得： ， 解得：， 故选D． 本题考查二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程． 2．D 本题考查二元一次方程的解，把各选项代入方程，进行判断即可． 解：A、把代入方程，得：，不符合题意； B、把代入方程，得：，不符合题意； C、把代入方程，得：，不符合题意； D、把代入方程，得：，符合题意； 故选D． 3．B 利用代入法或加减法逐一分析每个选项即可得到答案． 解：代入法消去b，由①得，故A不符合题意； 代入法消去a，由②得，故B符合题意； 加减法消去b，①+②得，故C不符合题意； 加减法消去a，①②得，故D不符合题意； 故选B． 本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组是解本题的关键． 4．C 本题考查了同类项的定义，根据题意得，，进而可求解，根据题意得与为同类项是解题的关键． 解：依题意得：与为同类项， 则：，即， ，即， 故选C． 5．B 本题考查了列二元一次方程组求解，、的方程组和有相同的解，列出方程组求出、的值，再代入计算求出a、b的值，最后代入计算即可． 解：由题意，得， 解得， 因为两方程有相同的解， 所以将代入， 得， 解得， 所以． 故选：B． 6．C 本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 7．D 本题考查的是解二元一次方程组，熟知代入消元法是解答此题的关键． 先根据方程组中的x、y相等，用y表示出x，把原方程组化为关于y、n的二元一次方程组，再用n表示出y的值，代入方程组中另一方程求出n的值即可． ∵方程组中的x、y相等， ∴原方程组可化为 由①得，， 代入②得，， 解得． 故选：D． 8．D 要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，故采用间接设元法．再结合图形寻找以下相等关系：①2个宽+2个高=14cm；②1个长+2个高=13cm． 解：设这种药品包装盒的宽为xcm，高为ycm，则长为（x+4）cm． 根据题意，得， 解得x=5,y=2， 故长为9cm，宽为5cm，高为2cm， 所以体积V=9×5×2=90（cm3）． 故选：D． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，看懂图示，根据题意和图示，找出合适的等量关系，列出方程组． 9．C 本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是找出等量关系，列出方程组．设大箱一共有瓶，小箱有瓶，根据一处为大箱、小箱共瓶，另一处为大箱小箱共瓶即可列出二元一次方程组． 解：设大箱一共有瓶，小箱有瓶， 根据题意可知大箱、小箱共瓶， 可列式为， 又知大箱小箱共瓶， 故可列式为， 即列方程组为， 故选：C． 10．B 根据题意可得，然后根据二元一次方程的组解可进行求解． 解：由题意得：， 解得：； 故选B． 本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题中的等量关系． 11． 把x看作已知数求出y即可． 解：∵， ∴； 故答案为：． 本题考查代入消元法，涉及等式的性质，掌握等式的基本性质是解题的关键． 12．（答案不唯一） 本题考查二元一次方程的定义及二元一次方程组解的定义， 根据二元一次方程的解的定义求得的值，然后写出一个符合题意的方程即可． 解：∵的一组解为， ∴， 解得：， 则它的解为， 那么所组成的方程组的解为的二元一次方程为， 故答案为：（答案不唯一）． 13．2024 本题考查了已知二元一次方程组的解求参数，理解二元一次方程的解的定义是解题关键．首先用加减消元计算得到，然后根据得到，进而求解即可． 解：． 得， ， ． 故答案为：． 14．四 本题考查了二元一次方程的解．把二元一次方程的已知解代入二元一次方程，使原方程转化为以m为未知数的方程，然后解此方程． 解：把代入二元一次方程， 得， 解得， 则点P的坐标为，在平面直角坐标系中的第四象限． 故答案为：四． 15．10 解：将两组数据代入代数式可得：， 解得：， 则x*y=+2y，则2*3=4+6=10． 考点：二元一次方程组的应用 16．675 根据图示可得：长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75，长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y，联立两个方程解方程即可． 根据图示可得： 长方形的长可以表示为x+2y，长又是75厘米，故x+2y=75； 长方形的宽可以表示为2x，或x+3y，故2x=3y+x，整理得x=3y， 联立得： 解得：， ∴每个小长方形的面积为15×45=675（平方厘米） 故答案为：675． 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽． 17．60 设戴宗的速度为里小时，风速为里小时，根据顺风行走的速度等于戴宗的速度加上风速，逆风行走的速度等于戴宗的速度减去风速，列出二元一次方程组，即可求解． 解：戴宗顺风行走的速度为：（里小时）， 戴宗逆风行走的速度为：（里小时）， 设戴宗的速度为里小时，风速为里小时， 由题意得：， 解得：， 设戴宗的速度为60里小时， 答：戴宗的速度为60里小时． 故答案为：60． 本题考查二元一次方程组解决实际问题，解题的关键是能够根据题意找到相应的等量关系． 18．110 设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元，根据题意列出方程组求解后，再求出甲超市今年的销售额即可． 解：设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元， 根据题意得 解得 所以今年甲超市销售额为（万元）． 故答案为:110． 本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键． 19．(1) (2) 本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握代入消元法与加减消元法的求解步骤． （1）利用代入消元法求解，即可解题； （2）利用加减消元法求解，即可解题． （1）解： ， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 故原方程组的解是． （2）解：， ，得， 解得． 把代入①，得， 解得， 故原方程组的解是． 20．81. 试题分析：由①－②可消去m，得到关于x、y的二元一次方程，与已知方程x＋y＝－10联立起来得到二元一次方程组，解出x、y的值，再将x、y的值代入①可求出m的值，最后将m的值代入要求的式子即可. 试题解析： ， 由①－②得x+2y=2③， ∴， 由③－④得－y=－12，y=12， 将y=12代入③得x+12=－10，x=－22， ∴， 将代入①得－66+60=m+2，m=－8， ∴m2－2m＋1=64+16+1=81. 点睛；本题关键在于先消去m，构造出关于x、y的二元一次方程组，解方程组，进而求出m的值. 21．11 根据方程的解的定义，把正确的解代入两方程 ，可得一个关于a、b的方程，并能求出c的值，又因看错系数c解得错误解为，即a、b的值没有看错，可把解为再次代入ax＋by＝2，可得又一个关于a、b的方程，将它们联立，即可求出a、b的值． 解：把代入cx−7y＝8，得：3c＋14＝8， 解得：c＝−2， 把代入ax＋by＝2，得：3a−2b＝2， ∵看错系数c，解得错误解为， 把代入ax＋by＝2，得：−2a＋2b＝2， ∴      解得： ∴a＋b－c＝4＋5－（－2）＝11 本题考查学生解二元一次方程组的能力．本题要求学生理解方程组的解的定义，以及看错系数c的含义：即方程组中除了系数c看错以外，其余的系数都是正确的． 22．0 本题考查了二元一次方程组的解，将代入方程组的第二个方程，代入方程组的第一个方程，分别求出a与b的值，即可求出所求式子的值． 解：把代入②，得， 解得； 把代入①，得， 解得； 所以． 23．(1)； (2)或； (3)． 本题考查了二元一次方程组的解，解三元一方程组，求二元一次方程组的整数解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意得，然后解方程即可； （）由题意得，整理得，根据，为正整数，即可求解； （）由题意得：，然后得到关于的方程，然后求解即可． （1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）由题意得：， ， ， ∵，为正整数， 或； （3）由题意得： ， 得：， 得：， ， ， ， 把代入得：， 解得， ∴的值为． 24．(1) (2)见解析 (3)为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台 本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系，同时要注意分类讨论思想的运用． （1）根据“购买一台型设备比购买一台型设备多2万元，购买2台型设备比购买3台型设备少6万元”即可列出方程组，继而进行求解； （2）可设购买污水处理设备型设备台，型设备台，则有，解之确定的值，即可确定方案； （3）因为每月要求处理流溪河两岸的污水量不低于2040吨，所以有，解之即可由的值确定方案，然后进行比较，作出选择． （1）解：根据题意得：， ； （2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台， 则：， ， 取非负整数， ，1，2， 有三种购买方案： ①型设备0台，型设备10台； ②型设备1台，型设备9台； ③型设备2台，型设备8台． （3）由题意：， ， 又，取非负整数， 为1，2． 当时，购买资金为：（万元）， 当时，购买资金为：（万元）， 为了节约资金，应选购型设备1台，型设备9台． 学科网（北京）股份有限公司 $$