专题1.1.2 空间向量的数量积运算【4个基础知识+4个能力提升】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.1.2空间向量的数量积运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间向量的夹角】 知识讲解 一、空间向量夹角的定义 1. 定义：设两个非零空间向量为和，在空间中任取一点，作，，则∠AOB（范围在内的角）称为向量与的夹角，记作。 2. 特殊情形： 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，。 例题精选 【例题1】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【例题2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，设，，，则（    ）. A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【相似题2】（20-21高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； 【基础知识点2：空间向量数量积的定义以及运算定律】 知识讲解 一、空间向量数量积的定义 1. 定义：设两个非零空间向量为和，它们的夹角为（），则向量与的数量积（也称内积） 记作，定义为： 其中： 和分别表示向量和的模长（长度）； 为两向量夹角的余弦值。 2. 几何意义： 数量积等于的模长与在方向上投影（）的乘积，也等于的模长与在方向上投影（）的乘积。 二、空间向量数量积的运算定律 1. 交换律 表达式： 证明：由定义知，，两者相等。 2. 数乘结合律 表达式：（为实数） 推导：设与夹角为，则： ； 同理可证。 3. 分配律 表达式： 几何理解：向量在方向上的投影等于和在方向上投影之和，故数量积满足分配律。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·河南·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【相似题2】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】多选题（21-22高二·全国·课后作业）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【基础知识点3：投影向量】 知识讲解 向量投影的计算： 在方向上的投影为； 在方向上的投影为。 例题精选 【例题1】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【例题3】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    相似练习 【相似题1】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【相似题2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【相似题3】（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 【基础知识点4：空间向量数量积的性质】 知识讲解 空间向量数量积的重要性质 1. 与模长的关系： 当时，，即向量自身的数量积等于其模长的平方，记作。 2. 垂直的充要条件： 非零向量与垂直的充要条件是，即。 3. 夹角公式的逆用： 已知数量积和模长，可反求两向量夹角：（）。 数量积与向量运算的结合 1. 向量和与差的模长计算： ； 。 例题精选 【例题1】设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【例题2】化简： . 相似练习 【相似题1】已知是空间向量，根据下列各条件分别求： (1)； (2)； (3)； (4). 【相似题2】对任意向量，，满足( ) 【能力提升1：空间向量数量积的计算】 知识讲解 在几何体中求空间向量数量积的步骤 1. 明确目标向量与几何体结构 确定待求数量积的向量（如棱、对角线向量）。 分析几何体对称性、棱长及垂直关系等特征。 2. 用基底表示向量或直接利用模长与夹角 基底法：选不共面的三个向量为基底（如同一顶点出发的棱向量），将目标向量表示为基底的线性组合。 直接法：若已知向量模长和夹角，直接用数量积定义（为向量夹角）。 3. 利用运算定律展开计算 展开线性组合的数量积，利用分配律拆分。 计算基底向量的数量积（垂直时为0，已知夹角时用）。 4. 代入几何条件求值 代入基底模长、夹角等几何数据，化简得出结果。 注意：向量方向影响夹角符号，优先选垂直或已知夹角的基底简化运算。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【例题2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【相似题2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【相似题3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【能力提升2：利用数量积求角或角的余弦值】 知识讲解 1. 定义法（基于数量积） 公式：若向量与的夹角为，则 步骤： 计算数量积； 求向量模长、； 代入公式得，再根据确定夹角。 2. 几何法（利用几何体特征） 适用场景：向量对应几何体中的棱、对角线等，且几何体结构已知（如正四面体、长方体）。 步骤： 通过几何体性质（如棱长、垂直关系、对称性）确定向量模长和夹角； 直接利用定义法公式计算，或通过几何构造（如平移向量至共起点）确定夹角。 关键注意点 向量夹角需共起点，方向影响夹角计算（如与的夹角为，而与的夹角为）； 若向量垂直，则，夹角为。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【例题3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【相似题3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【能力提升3：利用空间向量数量积求距离】 知识讲解 利用空间向量数量积求线段长度的步骤 1. 构造向量：将线段对应向量表示为（、为端点）。 2. 计算数量积：利用，若用基底表示为，则数量积为各基底分量平方与模长平方乘积之和（如基底两两垂直时，）。 3. 求模长：对数量积开方，得线段长度。 核心：线段长度即向量模长，通过数量积公式计算，需注意基底向量的模长与夹角关系。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【例题2】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【例题3】（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【相似题2】（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【相似题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【能力提升4：利用数量积证明空间中的垂直关系】 知识讲解 利用数量积证明空间垂直关系的步骤 一、核心原理 两向量、满足时，，可通过向量垂直证明几何中的垂直关系。 二、具体证明步骤 1. 证明线线垂直 取两直线的方向向量、； 计算数量积，若，则两直线垂直。 2. 证明线面垂直 取直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，其方向向量为、； 证明且，则直线与平面垂直（依据：若直线与平面内两相交直线垂直，则直线垂直平面）。 3. 证明面面垂直 在平面内取直线，方向向量为，在平面内取直线，满足与相交或为两平面交线的垂线； 证明与平面内某直线的方向向量垂直（即），且与平面垂直，从而推出。 三、关键要点 线面垂直核心：必须证明直线方向向量与平面内两相交向量的数量积均为； 面面垂直转化：通过“线面垂直”过渡，即证明一个平面内的直线方向向量与另一平面内的向量垂直，且该直线垂直于另一平面； 向量构造：根据几何位置关系合理选取方向向量，利用向量线性运算（如）转化数量积计算。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 相似练习 【相似题1】 （2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【相似题2】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【易错点1：忽略向量的夹角0和180的特殊情况而致错】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 D．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 相似练习 【相似题1】（21-22高二·全国·课后作业）已知空间向量、满足，，，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【难点1：空间向量数量积的最值与范围】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·河南·期末）正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体.如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选】（24-25高一下·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【相似题3】【多选】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．若在线段上运动，则 B．若在线段上运动，则的最小值为 C．与所成角的范围为 D．的取值范围为 【相似题4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 5．（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 7．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题 13．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是 ．    14．（21-22高二·全国·课后作业）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 15．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 16．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知二面角的大小为且，，则 . 17．（24-25高二下·福建·期中）在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 18．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 19．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 20．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 21．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 四、解答题 22．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 23．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 24．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.1.2空间向量的数量积运算】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：空间向量的夹角】 知识讲解 一、空间向量夹角的定义 1. 定义：设两个非零空间向量为和，在空间中任取一点，作，，则∠AOB（范围在内的角）称为向量与的夹角，记作。 2. 特殊情形： 当时，与同向； 当时，与反向； 当时，。 例题精选 【例题1】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】 根据正三角内角为求解. 【详解】 由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D 【例题2】（21-22高二·全国·课后作业）如图，已知正方体，设，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求出，再求出，则根据可得答案. 【详解】设正方体的棱长为1， 因为 所以， 又， ， 又， 故选：D. 相似练习 【相似题1】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 【答案】45°；135°；60°；120°；90° 【分析】 由图形特征求向量夹角. 【详解】 连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′， 所以， ， ， ， . 【相似题2】（20-21高二·全国·课后作业）如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点. （1）求，的大小； 【详解】（1）在正方体中， 因为， 所以， 因为， 所以； 【基础知识点2：空间向量数量积的定义以及运算定律】 知识讲解 一、空间向量数量积的定义 1. 定义：设两个非零空间向量为和，它们的夹角为（），则向量与的数量积（也称内积） 记作，定义为： 其中： 和分别表示向量和的模长（长度）； 为两向量夹角的余弦值。 2. 几何意义： 数量积等于的模长与在方向上投影（）的乘积，也等于的模长与在方向上投影（）的乘积。 二、空间向量数量积的运算定律 1. 交换律 表达式： 证明：由定义知，，两者相等。 2. 数乘结合律 表达式：（为实数） 推导：设与夹角为，则： ； 同理可证。 3. 分配律 表达式： 几何理解：向量在方向上的投影等于和在方向上投影之和，故数量积满足分配律。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河南周口·阶段练习）如图，在长方体中，，，为棱的中点，是线段上的动点，则下列式子的值为定值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的长度，得到，接着利用向量数量积的几何意义：等于在上的投影向量与的数量积，逐一分析选项ABCD即可得解. 【详解】由题意得，， ∴， ∴. A.如图，过点作于点， 对于A，由向量数量积的几何意义得 ， 由于点是动点， 所以不是定值，所以不是定值，故选项A错误； 对于B，， 由于点是动点，所以不是定值，所以不是定值，故选项B错误； 对于C， ，由于不是定值，故选项C错误； 对于D，由于向量在向量上的投影向量为，所以为定值. 故选：D. 【例题2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）关于空间向量，，，下列运算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 【例题3】（23-24高二下·上海·阶段练习）由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 相似练习 【相似题1】（22-23高二上·河南·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，，，分别是所在棱的中点，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】 结合向量投影的概念得，进而再求解即可. 【详解】解：由向量投影的概念，表示向量在上的投影， 因为垂直于平面,所以 因为（其中）， 所以. 故选：D. 【相似题2】（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 【相似题3】多选题（21-22高二·全国·课后作业）正方体的棱长为1，体对角线与，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据向量的线性运算的几何表示，向量数量积的定义及运算律结合正方体的性质即得. 【详解】方法一：，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误； 方法二： ，故A正确； 由正方体的性质可知，，， ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：AC． 【基础知识点3：投影向量】 知识讲解 向量投影的计算： 在方向上的投影为； 在方向上的投影为。 例题精选 【例题1】（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    【例题2】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 【例题3】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量. 【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．      故答案为：； 相似练习 【相似题1】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 【相似题2】（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）如图所示，已知平面ABC，，，则向量在向量上的投影向量是   .    【答案】 【分析】 由余弦定理先求，再由投影向量的概念求解 【详解】在中，由余弦定理得，， 而平面ABC，，故，， 在中，， 即，得 故向量在向量上的投影向量是 故答案为： 【相似题3】（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在正六棱柱中，，则向量分别在，方向上的投影向量为 ；向量在方向上的投影数量为 ． 【答案】 ， 【分析】根据向量的投影向量，投影数量的概念结合条件即得. 【详解】根据正六棱柱的性质，知，， 又，平面，平面， 所以平面，又平面， 所以，所以向量在，方向上的投影向量分别为，． 向量在方向上的投影数量为． 故答案为：，；. 【基础知识点4：空间向量数量积的性质】 知识讲解 空间向量数量积的重要性质 1. 与模长的关系： 当时，，即向量自身的数量积等于其模长的平方，记作。 2. 垂直的充要条件： 非零向量与垂直的充要条件是，即。 3. 夹角公式的逆用： 已知数量积和模长，可反求两向量夹角：（）。 数量积与向量运算的结合 1. 向量和与差的模长计算： ； 。 例题精选 【例题1】设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式： ①；②；③；④. 其中正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量数量积的定义可判断①、②、③；利用空间向量数量积的运算律可判断④. 【详解】对于①，，①正确； 对于②，向量不能作比值，即错误，②错误； 对于③，设、的夹角为，则，③错误； 对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量数量积的定义与运算性质判断等式的正误，属于基础题. 【例题2】化简： . 【答案】 【分析】利用向量的数量积运算律可得解. 【详解】 故答案为： 相似练习 【相似题1】已知是空间向量，根据下列各条件分别求： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用空面向量的余弦夹角公式进行求解；（2）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（3）根据向量数量积的运算法则计算出，进而求出夹角；（4）根据向量数量积运算法则计算出，得到夹角. 【详解】（1），，故 （2）因为，所以，故，因为，所以 （3）因为，所以，故，因为，所以 （4），两边平方得：，故，故，因为，所以 【相似题2】对任意向量，，满足( ) 【答案】正确 【分析】根据空间向量的数量积的定义以及空间向量的夹角范围即可判断. 【详解】根据空间向量的数量积的定义可知，因为，所以，所以，因此该命题正确. 故答案为：正确. 【能力提升1：空间向量数量积的计算】 知识讲解 在几何体中求空间向量数量积的步骤 1. 明确目标向量与几何体结构 确定待求数量积的向量（如棱、对角线向量）。 分析几何体对称性、棱长及垂直关系等特征。 2. 用基底表示向量或直接利用模长与夹角 基底法：选不共面的三个向量为基底（如同一顶点出发的棱向量），将目标向量表示为基底的线性组合。 直接法：若已知向量模长和夹角，直接用数量积定义（为向量夹角）。 3. 利用运算定律展开计算 展开线性组合的数量积，利用分配律拆分。 计算基底向量的数量积（垂直时为0，已知夹角时用）。 4. 代入几何条件求值 代入基底模长、夹角等几何数据，化简得出结果。 注意：向量方向影响夹角符号，优先选垂直或已知夹角的基底简化运算。 例题精选 【例题1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由平面向量基本定理可得，再由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 【例题2】（24-25高二下·福建漳州·期中）已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 【例题3】（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知正四棱锥的所有棱长均为1，O为底面ABCD内一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意作图，根据空间向量的共面定理，求得参数，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 由，则， 由共面，则，解得， 所以 . 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏淮安·期中）已知正方体的棱长为1，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为， 又，，所以， 所以. 故答案为： 【相似题2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 【能力提升2：利用数量积求角或角的余弦值】 知识讲解 1. 定义法（基于数量积） 公式：若向量与的夹角为，则 步骤： 计算数量积； 求向量模长、； 代入公式得，再根据确定夹角。 2. 几何法（利用几何体特征） 适用场景：向量对应几何体中的棱、对角线等，且几何体结构已知（如正四面体、长方体）。 步骤： 通过几何体性质（如棱长、垂直关系、对称性）确定向量模长和夹角； 直接利用定义法公式计算，或通过几何构造（如平移向量至共起点）确定夹角。 关键注意点 向量夹角需共起点，方向影响夹角计算（如与的夹角为，而与的夹角为）； 若向量垂直，则，夹角为。 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）在三棱锥中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得到，由数量积的定义即可求解； 【详解】 由，得，所以，即， 于是， 所以． 故选：C 【例题2】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 【例题3】（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知平行六面体中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算法则和数量积的性质化简条件可求，结合向量夹角公式可求解. 【详解】如图： ， ． 故选：B． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·广东·期中）已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知化简得出，再两边平方结合数量积公式计算得出夹角余弦进而求出夹角. 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 【相似题2】（2024高三·全国·专题练习）空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值， 【详解】，故 所以. 故选：D． 【相似题3】（24-25高二上·湖南·阶段练习）如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出 【详解】如图连接, 则 由题可知， ∴ ， ， ， ∴， 在中,, , 在中, 故选：D. 【能力提升3：利用空间向量数量积求距离】 知识讲解 利用空间向量数量积求线段长度的步骤 1. 构造向量：将线段对应向量表示为（、为端点）。 2. 计算数量积：利用，若用基底表示为，则数量积为各基底分量平方与模长平方乘积之和（如基底两两垂直时，）。 3. 求模长：对数量积开方，得线段长度。 核心：线段长度即向量模长，通过数量积公式计算，需注意基底向量的模长与夹角关系。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 【例题2】（2025·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 【例题3】（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）已知平面，，，与平面成角，，则与之间的距离可能是（ ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】用空间向量的数量积及结合向量求距离的方法即可求解. 【详解】如图，因为，，所以． 作，垂足为，连接， 则或． 易知 . 因为， 所以原式. 若，则， 若，则， 故选：A 【相似题2】（24-25高二下·江苏泰州·期中）如图，线段平面，在平面内，，与平面成角，点与点在的同侧，已知，则的长为 . 【答案】 【分析】由空间向量的线性运算可知，两边平方，再利用向量的数量积公式即可得解． 【详解】设平面于F， 平面， ，又与平面成角， ， 与的夹角为， 又平面，平面，， 又， ， ． 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 【能力提升4：利用数量积证明空间中的垂直关系】 知识讲解 利用数量积证明空间垂直关系的步骤 一、核心原理 两向量、满足时，，可通过向量垂直证明几何中的垂直关系。 二、具体证明步骤 1. 证明线线垂直 取两直线的方向向量、； 计算数量积，若，则两直线垂直。 2. 证明线面垂直 取直线的方向向量，在平面内找两条相交直线，其方向向量为、； 证明且，则直线与平面垂直（依据：若直线与平面内两相交直线垂直，则直线垂直平面）。 3. 证明面面垂直 在平面内取直线，方向向量为，在平面内取直线，满足与相交或为两平面交线的垂线； 证明与平面内某直线的方向向量垂直（即），且与平面垂直，从而推出。 三、关键要点 线面垂直核心：必须证明直线方向向量与平面内两相交向量的数量积均为； 面面垂直转化：通过“线面垂直”过渡，即证明一个平面内的直线方向向量与另一平面内的向量垂直，且该直线垂直于另一平面； 向量构造：根据几何位置关系合理选取方向向量，利用向量线性运算（如）转化数量积计算。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知斜四棱柱的底面是菱形，且，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 【例题2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算易得，，进而结合空间向量的数量积计算即可； （2）利用空间向量的数量积的定义求解即可. 【详解】（1）证明：由题意，因为，， 所以， 所以，即. （2）由（1）知，， 所以， 又， 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 相似练习 【相似题1】 （2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【相似题2】（23-24高二上·上海·课后作业）在空间四面体中，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用空间向量的运算以及垂直的向量表示进行证明. 【详解】因为，，所以，； 因为，， 所以 . . 所以. 【易错点1：忽略向量的夹角0和180的特殊情况而致错】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 D．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 【答案】BD 【分析】举反例判断A；利用空间向量共面定理判断B；利用空间向量的平移性质判断C即可；利用空间向量的线性运算判断D. 【详解】对于A，当非零向量，的夹角为时，，故A错误； 对于B，由空间向量共面定理得，对于空间中的三个向量， 若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故B正确； 对于C，由向量平移性质可得，空间中任意两个向量一定共面，故C错误； 对于D，因为， 所以， 所以四点共面，故D正确， 故选：BD 相似练习 【相似题1】（21-22高二·全国·课后作业）已知空间向量、满足，，，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据向量与的夹角为钝角，由且与不共线求解. 【详解】解：因为向量与的夹角为钝角， 所以且与不共线， 因为， 所以，即， 解得①； 当与平行时，则存在实数k，使得， 即， 因为、不平行， 所以即，则②． 由①②得，实数的取值范围是． 【难点1：空间向量数量积的最值与范围】 例题精选 【例题1】（24-25高二下·河南新乡·期中）记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 【例题2】（24-25高二上·安徽合肥·期末）在长方体中，，线段与交于点，点P 为空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，利用空间向量的运算可得，则可化为，进而可得答案. 【详解】如图，连接AC与BD交于点O，连接记的中点为G，AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，则O 为EF的中点， 因为 所以， 所以 ， 所以当P与G重合时，取得最小值，为0，此时取得最小值，为． 故选：C.    【例题3】（24-25高三下·浙江·开学考试）已知是长方体表面上任意三点，且，则的最小值为（    ） A．14 B． C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用极化恒等式：，根据长方体的几何性质，可得答案. 【详解】取中点为，由极化恒等式，. 又是长方体表面上任意三点， 所以当位于体对角线的两个端点时，最大，最大值为； 此时为长方体的中心，则当位于长方形中心时，的值最小，最小值为1， 所以的最小值为. 故选：B. 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·河南·期末）正多面体是指各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角的多面体.在古希腊时期人们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体.如图，是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，棱长为2，点为正八面体内切球球面上的任意一点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用体积分割法求出正八面体的内切球的半径，取的中点，利用数量积的运算律得，利用圆的知识求出的最大值为，即可得解. 【详解】正八面体的表面是8个全等的正三角形组成，其中正边长为2， 则正八面体的表面积， 而正八面体可视为两个共底面的， 侧棱长与底面边长相等的正四棱锥与拼接而成， 正四棱锥的高， 则正八面体的体积， 设内切球半径为，则，解得， 取的中点. 设为正方形的中心也是内切球的球心，则， 因此的最大值为， 所以的最大值是. 故选：A. 【相似题2】【多选】（24-25高一下·河南·期中）正四面体的棱长为，若点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，则的值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】首先求出正四面体的外接球的半径，然后利用向量的线性运算将化简，转化为求球面上的动点到某个定点的距离的最值，由此可求得的取值范围，验证各个选项是否在该范围内即可. 【详解】因为正四面体的外接球的球心的投影在底面正的中心， 底面正的高为，故正四面体的高为， 设外接球的半径为，则， 如图所示，取中点，连接，因为，所以， 球心到的距离， 则， 因为点Q是该正四面体外接球球面上的一个动点，所以， 即，所以， 分析各个选项，发现B，C在该范围内，即B，C正确. 故选：BC. 【相似题3】【多选】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知正方体的棱长为2，为正方体的内切球的直径，为正方体表面上一动点，则下列说法正确的是（   ） A．若在线段上运动，则 B．若在线段上运动，则的最小值为 C．与所成角的范围为 D．的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，根据线面垂直的判定及性质可判定；对于B，最短距离问题可把两个线段展开到一个平面考虑；对于C，利用线线角的概念及球的性质可得线线角的最大值进而可判断；对于D，可采用极化恒等式来转化数量积结合球的性质即得. 【详解】对于A，连接，由正方体的性质可知平面，平面，故， 又，平面，所以平面， 又平面，，同理可得， 又平面，所以⊥平面，又平面， 所以⊥，故A正确； 对于B，把平面绕着展开到平面，使得位于两侧，如图所示， 则，，故B正确； 对于C，易知的中点即为球心O，如下图所示： 当AM与球相切时，AM与所成的角最大，此时， 显然，结合两直线所成角的范围可知AM与所成角的范围为是错误的，故C错误； 对于D，依题意可知O为正方体的中心，如下图所示： ， 又因为MN为球O的直径，所以，，即可得. 易知当点P为正方体与球O的切点时，最小；当点P为正方体的顶点时，最大，故，因此可得的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 【相似题4】（24-25高二上·上海·阶段练习）已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 课后针对训练 一、单选题 1．（22-23高二上·河南·期末）如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，则（    ） A．9 B．7 C．3 D． 2．（24-25高二上·福建泉州·期中）平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东·阶段练习）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 5．（24-25高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 6．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 7．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·山西大同·期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（2023·福建厦门·一模）设、为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）已知平行六面体中，各棱长均为，，则以下说法正确的是（    ） A． B．异面直线和所成角的余弦值为 C．四棱锥的体积为 D．与三棱锥各棱均相切的球的体积为 三、填空题 13．（23-24高二上·浙江台州·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长都是1，且它们所在的平面所成的二面角的平面角，M，N分别是，上的动点，，则的最小值是 ．    14．（21-22高二·全国·课后作业）已知，为空间单位向量，，则在方向上投影的模为 ． 15．（24-25高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则 . 16．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知二面角的大小为且，，则 . 17．（24-25高二下·福建·期中）在等腰直角三角形中，，将三角形沿直角边上的中线折成平面角为的二面角，则空间中线段的长为 ． 18．（24-25高二上·上海·期中）平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 19．（24-25高二下·甘肃张掖·期中）若，，为空间两两夹角都是120°的三个单位向量，则 . 20．（22-23高二上·广东佛山·期中）已知棱长为1的正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则 21．（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 四、解答题 22．（24-25高二上·上海·期中）在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 23．（24-25高二上·山东临沂·期中）如图，在空间四边形中，，分别为，的中点，点为的重心，设，，. (1)试用向量，，，表示向量； (2)若，，，求的值. 24．（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B C D B D D C 题号 11 12 答案 BD BCD 1．D 【分析】根据向量的线性运算可得，即可结合向量的模长公式求解. 【详解】（1）由题意可得， , 故， 故选：D 2．C 【分析】根据及数量积的运算律求出，即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以，即线段的长为. 故选：C 3．B 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 4．B 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 5．C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 6．D 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且， 所以 ， 所以， 故选：D. 7．B 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 8．D 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 9．D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 10．C 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 11．BD 【分析】利用空间数量积的定义、运算性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，向量不能作除法，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：BD. 12．BCD 【分析】利用空间向量数量积的运算性质可判断AB选项；求出平行六面体的高，分析可知四棱锥的平行六面体体积的，结合柱体的体积公式可判断C选项；求出三棱锥棱切球的半径，结合球体体积公式可判断D选项. 【详解】由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 所以 ，所以，故A错误； 因为， 则 ， ， 所以， 所以，异面直线和所成角的余弦值为，故B正确； 四棱锥的体积为平行六面体体积的， 平行六面体的高即为正四面体的高，如下图所示： 设点在平面的射影为点，则为正的中心， 由正弦定理可得，， 菱形的面积为， 所以平行六面体的体积为， 所以四棱锥的体积为，故C正确； 三棱锥为正四面体，棱长为6， 设正四面体的棱切球球心为，且也为其外接球球心，则， 则，即，解得， 取线段的中点，连接，则， 且， 所以，正四面体的棱切球的半径为， 故球的体积为，故D正确. 故选：BCD. 13．/ 【分析】利用二面角的定义证得就是二面角的平面角，再利用空间向量将的长转化为的模求解，利用空间向量的线性运算，数量积运算和二次函数的性质求解即可． 【详解】连接，如图，    由题意，，，正方形中， 正方形中，平面，平面， 平面平面， ∴就是二面角的平面角，则， ∴向量与向量夹角为，且， 设，，，则， 且由题意， ∴ ， ， 令，图象开口向上，且对称轴为， ∴当时，取得最小值， 即的最小值为，即的最小值为， ∴的最小值是． 故答案为：． 14． 【分析】利用向量投影的概念可求得结果. 【详解】由题意可知，在方向上投影的模为 故答案为：. 15．6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 16． 【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解． 【详解】因为二面角的大小为， 所以与的夹角为，又因为， 所以 ， 所以，即． 故答案为：． 17． 【分析】设点在直线上的投影分别为，可得，，利用向量的模长运算求解即可. 【详解】设点在直线上的投影分别为， 因为，则， 由的面积可得， 则，， 且为边的中点，可得，， 由二面角的平面角为，可得， 因为 ， 即，所以空间中线段的长为. 故答案为：. 18．5 【分析】根据空间向量的线性运算可得，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图， 由题意知，设， 则， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 19．3 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由. 故答案为：3 20．/ 【分析】由题意可得：，根据空间向量的数量积运算求解. 【详解】由题意可知：，且， 因为M为BC中点，N为AD中点，    则， 所以 . 故答案为： 21． 【分析】根据条件，得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果. 【详解】因为正三棱柱的底边长为，如图，设内切圆的半径为， 所以，得到，又正三棱柱的高为2， 所以棱柱的内切球的半径为，与上下底面有两个切点且切点为上下底面的中心， 又是该棱柱内切球的一条直径，如图，取上下底面的两个切点，设为， 则， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当与（或）重合时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于，则， 此时，得到， 则的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于把向量的数量积转化为线段和长度问题. 22．(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 23．(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算化简即可得解； （2）用，，表示出向量，再由空间向量数量积公式计算即可. 【详解】（1） （2）， ， . 24．A 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$