暑假作业07 一元一次不等式（组）的实际应用（10大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业07 一元一次不等式（组）的实际应用 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：一元一次不等式的实际应用---得分问题 】 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·四川内江·期中）在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明至少答对多少道题？（　　） A．34 B．34.5 C．35 D．35.5 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为纪念3月22日“世界水日”活动，某地举办了主题为“精打细算用好水资源，从产业细管好水资源”的知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若聪聪本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对_____道题（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜 场比赛． 5．（2024春·山西临汾·八年级校联考期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 【题型二：一元一次不等式的实际应用---工程问题 】 1．（2024春·广西南宁·八年级统考期末）年月日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现号线全线贯通运营，目前，地铁号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土． (1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共辆，则最多购进载重量为吨的卡车多少辆？ 2．（2024春·山东临沂·八年级统考期末）为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的． (1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？ (2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 3．（2024春·山西临汾·八年级统考期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． (1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ (2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 4．（2024春·四川泸州·八年级统考期末）我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的、两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨． (1)这12辆、两种卡车各有多少辆？ (2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆、两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案． 【题型三：一元一次不等式的实际应用---商品销售问题 】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知某网店的一款电子手表的进价为每个400元，售价为每个560元，五一假期间，该网店做打折促销活动，若要保证一个电子手表的利润不低于48元，则最低打（   ） A．九折 B．八折 C．八五折 D．九五折 2．（2025八年级下·全国·专题练习）班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件．已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，则小明最多能买钢笔（   ） A．50支 B．20支 C．14支 D．13支 3．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）随着人们生活水平的提高，豆浆机已经进入许多家庭，而新鲜的豆浆也成了餐桌上的必需品.豆浆机采用微电脑控制，实现了预热、打浆、煮浆和延时熬煮过程的全部自动化，特别是增设了“文火熬煮”的处理程序，使豆浆的营养更加丰富，口感更加香泽.某品牌豆浆机的进价为500元，若店长计划按标价的七五折出售，但仍要保持利润率不低于，则标价最低应为 元． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共100本，已知A种笔记本的进价为6元/本，B种笔记本的进价为8元/本，共计720元． (1)请问购进了A种笔记本多少本? (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为10元/本、15元/本．受环境影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于140元，请求出m的最小值． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市计划购进，两种品牌的运动套装（两种品牌的运动套装均购进），其进价和售价如表所示： 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若超市计划购进，两种品牌的运动套装共30件，正好用去3900元，，两种品牌的运动套装分别购进多少件？ (2)在（1）的条件下，若超市销售完所有品牌的运动套装后获利不低于785元，求品牌的运动套装最多能购进多少件？并求出全部售完后的总利润．（利润售价进价） 【题型四：一元一次不等式的实际应用--行程问题 】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 3．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 　 　． 4．（2025·山西阳泉·二模）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ． 5．（2024春·吉林四平·八年级统考期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【题型五：一元一次不等式的实际应用--方案问题 】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某社区决定购买甲、乙两种树苗共10棵用于绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，要使购买总费用不超过230元，且两种树苗都购买，可能的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 2．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）某单位要印刷一批宣传海报，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费10元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费12元，一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费9元，设该单位需要印刷宣传海报的页数为（且是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） (1)分别写出与的函数关系式； (2)你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传海报较好？请说明理由． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 4．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于17台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 5．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 【题型一：一元一次不等式的实际应用---盈不足问题 】 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 4．（2023春•雁塔区校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【题型二：一元一次不等式的实际应用---几何图形问题 】 1．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 2．如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a（m），宽为b（m），受场地条件的限制，已知a的取值范围为18≤a≤26，那么b的取值范围是 　 　． 3．（2024春·河南南阳·八年级统考期中）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 4．（2024春·吉林·八年级统考期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 【题型三：一元一次不等式的实际应用---商品销售问题 】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 3．（2024•沙坪坝区校级开学）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼　 　对． 4．（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元． (1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； (2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？ 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【题型四：一元一次不等式的实际应用--方案问题 】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某商店准备购进两种商品，商品每件的进价比商品每件的进价多20元，已知进货30件商品和30件商品一共用去2400元，商店将种商品每件售价定为80元，种商品每件售价定为45元． (1)商品每件的进价和商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1520元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ 3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商品每件售价为90元，乙商品每件售价为10元，销售1件甲商品和4件乙商品可获得利润45元，销售2件甲商品和3件乙商品可获得利润65元． (1)求甲、乙商品的进货价格； (2)小明共有3500元的资金用于购进甲、乙商品共100件进行销售，其中购进的乙商品至多比甲商品多5件，则小明共有哪几种购买方案，哪一种方案获利最大，最大利润是多少？ 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作．这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元． (1)求A、B型手办进价分别是每件多少元？ (2)该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案． (3)在第（2）问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【题型一：不等式与一次函数的的实际应用问题 】 1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）某超市分两次购进甲、乙两种饮料，两次购进同种饮料价格相同．第一次购甲10箱、乙20箱，共花费2600元；第二次购甲20箱、乙10箱，共花费2800元． (1)求甲、乙两种饮料每箱的进价； (2)超市决定甲饮料售价130元/箱，乙饮料售价120元/箱．现需购进甲、乙共200箱，且甲的数量不少于乙的3倍．如何进货使利润最大？最大利润是多少？ 2．（2025·河南信阳·三模）郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． (1)若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． (2)若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 3（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元. (1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出. ①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ ②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠a（，且）元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示） 4．（2025·河南周口·模拟预测）郑州市郊区一露营公园为迎接旅游旺季的到来，决定增加物资储备，需要购买、两种型号的帐篷．若购买2顶型帐篷和1顶型帐篷，则需2800元；若购买3顶型帐篷和2顶型帐篷，则需4800元． (1)求每顶型帐篷和每顶型帐篷的价格． (2)若该公园需要购买、两种型号的帐篷共80顶（两种帐篷均购买），且购买型帐篷不超过型帐篷的2倍．请你帮助公园计算应购买两种型号的帐篷各多少顶，才能使总费用最低． 5．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业07 一元一次不等式（组）的实际应用 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：一元一次不等式的实际应用---得分问题 】 1．（24-25八年级下·山东聊城·期中）某学校组织开展了环保知识竞赛初赛，共有20道题，答对一题加6分，答错或不答每题倒扣3分，小辉在初赛得分超过80分顺利进入决赛，设他答对x道题，根据题意，可列出关于x的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式．利用小辉的得分答对题目数答错或不答题目数，结合小辉的得分超过80分，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：C． 2．（24-25七年级下·四川内江·期中）在“学法、知法、守法”活动中，学校组织学生参加法律知识竞赛，竞赛共40道单选题，答对一道得3分，答错或不答扣1分．规定成绩不低于98分为优秀，小明的竞赛成绩为优秀，则小明至少答对多少道题？（　　） A．34 B．34.5 C．35 D．35.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式解实际应用．根据题意列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设小明答对了x道题，则答错或不答道题． 根据题意，得， 解得． 故小明至少答对了35道题． 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期中）为纪念3月22日“世界水日”活动，某地举办了主题为“精打细算用好水资源，从产业细管好水资源”的知识竞赛．竞赛中共有25道试题，答对1题得4分，不答或答错1题扣2分．若聪聪本次竞赛的得分不低于80分，则他至少答对_____道题（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设聪聪答对x道题，则不答或答错道题，利用得分答对题目数不答或答错题目数，结合得分不低于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论． 【详解】解：设聪聪答对x道题，则不答或答错道题， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为整数， ∴x的最小值为22， ∴聪聪至少答对22道题． 故选：C． 4．（24-25七年级下·湖南岳阳·期中）篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分．某队预计在下个赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．该队要想进入季后赛，则至少要胜 场比赛． 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．由胜、负场数间的关系，可得出该队负场数是，利用得分胜场数负场数，结合得分不少于48分，即可得出关于x的一元一次不等式，解之，即可得解． 【详解】解：该队共比赛32场，每场比赛都要分出胜负，且胜场数是x， 负场数是， 根据题意得：， 解得：， 至少要胜16场比赛． 故答案为：16． 5．（2024春·山西临汾·八年级校联考期中）某电视台组织学习党史知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，答对一题得5分，可以选择不答，下表记录的是3名参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 不答题数 答错题数 得分 A 19 0 1 94 B 18 1 1 91 C 18 2 0 94 （1）由表格知，不答一题得______分，答错一题扣______分． （2）某参赛者D答错题数比不答题数的2倍多1题，最后得分为64分，他答对几道题？ （3）在前10道题中，参赛者E答对8题，1题放弃不答，1题答错，则后面10题中，至少要答对几题才有可能使最后得分不低于79分？为什么？ 【答案】（1）2，1；（2）13道；（3）6道，理由见解析 【分析】（1）根据C和A的数据求解即可； （2）设该选手不答题数为，列出方程求解即可； （3）设后10道题答对道题，列出不等式计算即可； 【详解】解：（1）由C可知，不答一题的得分为：， 由A可知，答错一题的得分为：； 故答案是：2，1； （2）设该选手不答题数为， ∴则答错题数为， ∴答对题数为道， ， 解得：， ∴答对题数； （3）前10道题得分为：分， 设后10道题答对道题， 则，， 解得：， ∴至少要答对6题才有可能使最后得分不低于79分． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 【题型二：一元一次不等式的实际应用---工程问题 】 1．（2024春·广西南宁·八年级统考期末）年月日上午，伴随着盾构机隆隆轰鸣声，南宁市轨道交通号线“五象火车站一清平坡站”区间盾构顺利始发，标志着号线续建工程正式进入区间据进施工阶段，待此次工程建设完工后，将实现号线全线贯通运营，目前，地铁号线续建工程正在有序进行施工，工地现有大量的泥土需要运输，某车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土． (1)求该车队有载重量吨、吨的卡车各多少辆？ (2)随着工程的进展，该车队需要一次运输泥土不低于吨，为了完成任务，该车队准备再购进这两种卡车共辆，则最多购进载重量为吨的卡车多少辆？ 【答案】(1)该车队有载重量为吨的卡车5辆，载重量为10吨的卡车7辆； (2)3辆． 【分析】（1）设该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆，根据“该车队有载重量为吨、吨的卡车共辆，全部车辆满载运输一次可以运输吨泥土”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购进载重量为吨的卡车辆，则再次购进载重量为吨的卡车辆，根据该车队需要一次运输泥土不低于吨，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆， 根据题意得：， 解得：． 答：该车队有载重量为吨的卡车辆，载重量为吨的卡车辆； （2）解：设再次购进载重量为吨的卡车辆，则再次购进载重量为吨的卡车辆， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为． 答：最多购进载重量为吨的卡车辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 2．（2024春·山东临沂·八年级统考期末）为了改善山东的交通，我省修建了鲁南高铁，其中鲁南高铁临沂段已于2019年11月26日开通运营．开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米，运行时间为30分钟，某次临沂到日照火车需要150分钟，平均速度是开通后的高铁的． (1)求临沂段高铁临沂段铁路全长各为多少千米？ (2)已知修建临沂段高铁时，有甲、乙两个工程队同时施工，甲每天施工1.4千米，乙每天施工1千米，计划40天完成，施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？ 【答案】(1)临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米； (2)甲工程队后期每天至少施工千米． 【分析】（1）设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟，根据“路程速度时间”、“开通后的鲁南高铁临沂到日照段比运行的铁路线全长缩短了40千米”建立方程，解方程即可得； （2）设甲工程队后期每天施工x千米，根据“确保整个工程提早3天以上（含3天）完成”列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设高铁的平均速度为千米/分钟，则临沂到日照火车的平均速度为千米/分钟， 由题意得：， 解得， 则（千米），（千米）， 答：临沂段高铁全长为100千米，临沂段铁路全长为140千米； （2）设甲工程队后期每天施工x千米， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队后期每天至少施工千米． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，找出合适的等量关系和不等关系，正确建立方程和不等式是解题关键． 3．（2024春·山西临汾·八年级统考期末）政府计划为某村修建一条长为1000米的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．已知若甲工程队独立施工5天后，乙工程队再加入，两工程队联合施工8天后，还剩30米的工程．甲工程队工作2天比乙工程队工作3天少施工20米． (1)求甲、乙两工程队每天各施工多少米？ (2)现计划由两工程队联合施工完成该工程，两工程队联合施工4天后，因甲队有事，剩下的部分由乙工程队独立完成，若要在12天内完成该项工程，则乙工程队每天至少应再多施工多少米？ 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各施工50米和40米 (2)乙工程队每天至少应再多施工40米 【分析】（1）设甲、乙两工程队每天各施工米和米，根据等量关系列出方程组即可求解； （2）设乙工程队每天应再多施工米，根据题意列出不等式，可求解； 【详解】（1）解：设甲、乙两工程队每天各施工米和米， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队每天各施工50米和40米． （2）解：设乙工程队每天应再多施工米， 由题意得：， 解得， 答：乙工程队每天至少应再多施工米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的应用，理解题意并列出方程组或不等式是解题的关键． 4．（2024春·四川泸州·八年级统考期末）我市张坝桂圆林景区公园是泸州人民的城市花园之一，为了给大家创建更优美的休闲环境，市园林局利用景区滨江路临水区恰好位于长江流域的资源建造一个露天游泳池，工程需要运送大量的沙土．“兴泸”公司有载重量分别为8吨和10吨的、两种卡车共12辆，这12辆卡车每次能运送沙土110吨． (1)这12辆、两种卡车各有多少辆？ (2)因计划改变，需要每次运送沙土至少165吨，为按时完成任务，“兴泸”公司还需要外租6辆、两种卡车（每种车至少一辆），请写出租用方案． 【答案】(1)A种卡车有5辆，B种卡车有7辆 (2)共有2种租用方案，方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆；方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆 【分析】（1）设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆，根据“8吨和10吨的A、B两种卡车共12辆，且这12辆卡车每次能运送沙土110吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆，根据每次运送沙土至少165吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案． （1） 解：设A种卡车有x辆，B种卡车有y辆， 由题意得：， 解得：， 答：A种卡车有5辆，B种卡车有7辆． （2） 设租用A种卡车m辆，则租用B种卡车（6-m）辆， 依题意得：110+8m+10（6-m）≥165， 解得：m≤， 又∵m为正整数， ∴m可以为1，2， ∴共有2种租用方案， 方案1：租用A种卡车1辆，B种卡车5辆； 方案2：租用A种卡车2辆，B种卡车4辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【题型三：一元一次不等式的实际应用---商品销售问题 】 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）已知某网店的一款电子手表的进价为每个400元，售价为每个560元，五一假期间，该网店做打折促销活动，若要保证一个电子手表的利润不低于48元，则最低打（   ） A．九折 B．八折 C．八五折 D．九五折 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设电子手表打折，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设电子手表打折， ， 解得：， ∴电子手表最低打八折， 故选：B． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件．已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，则小明最多能买钢笔（   ） A．50支 B．20支 C．14支 D．13支 【答案】D 【分析】此题是一元一次不等式在实际生活中的运用，解答此题的关键是熟知不等式的性质，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．熟练运用基础知识是做题的关键． 先设小明最多能买钢笔支，则小明买笔记本本，再根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明最多能买钢笔支，则小明买笔记本本， 故， 解得． 因为钢笔的支数应为整数，故小明最多能买钢笔 13 支． 故选：D． 3．（2025八年级下·河南郑州·专题练习）随着人们生活水平的提高，豆浆机已经进入许多家庭，而新鲜的豆浆也成了餐桌上的必需品.豆浆机采用微电脑控制，实现了预热、打浆、煮浆和延时熬煮过程的全部自动化，特别是增设了“文火熬煮”的处理程序，使豆浆的营养更加丰富，口感更加香泽.某品牌豆浆机的进价为500元，若店长计划按标价的七五折出售，但仍要保持利润率不低于，则标价最低应为 元． 【答案】700 【分析】题目主要考查一元一次不等式的应用，理解题意，列出不等式求解即可，设标价为x元，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设标价为x元， 根据题意可得，， 解得， 标价最低应为700元， 故答案为：700． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共100本，已知A种笔记本的进价为6元/本，B种笔记本的进价为8元/本，共计720元． (1)请问购进了A种笔记本多少本? (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为10元/本、15元/本．受环境影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于140元，请求出m的最小值． 【答案】(1)40本 (2)10 【分析】本题主要考查了二一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进了A种笔记本x本，则购进了B种笔记本y本，根据题意列出二一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）根据题意，列出关于m的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，购进了B种笔记本y本， 由题意得：， 解得： ， 答：购进了A种笔记本40本，购进了B种笔记本60本； （2）解：由题意得： ， 解得：， 答：m的最小值为10． 5．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）某超市计划购进，两种品牌的运动套装（两种品牌的运动套装均购进），其进价和售价如表所示： 进价（元/件） 120 150 售价（元/件） 135 180 (1)若超市计划购进，两种品牌的运动套装共30件，正好用去3900元，，两种品牌的运动套装分别购进多少件？ (2)在（1）的条件下，若超市销售完所有品牌的运动套装后获利不低于785元，求品牌的运动套装最多能购进多少件？并求出全部售完后的总利润．（利润售价进价） 【答案】(1)甲、乙两种运动套装分别购进20件，10件 (2)甲运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲、乙两种品牌的运动套装分别购进件，件，根据商店计划购进甲、乙两种商品共30件，正好用去3900元得出方程组解答即可； （2）根据商店计划购进甲、乙两种运动套装共30件，且销售完所有运动套装后获利不低于785元，得出不等式解答即可，最后根据利润公式求得获得的利润． 【详解】（1）解：设甲、乙两种品牌的运动套装分别购进件，件，根据题意可得： ， 解得：， 答：甲、乙两种运动套装分别购进20件，10件； （2）解：设甲运动套装购进件，根据题意可得： ， 解得：， 因为取整数， 所以甲运动套装最多能购进7件， 全部售完后总利润：（元)， 答：甲运动套装最多能购进7件，全部售完后总利润为795元． 【题型四：一元一次不等式的实际应用--行程问题 】 1．（24-25八年级下·河南郑州·期中）小明同学早上前要到达班级，出家门时是，已知他家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为，根据题意可列不等式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的运用，理解数量关系，正确列不等式是关键． 根据题意可得，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于，由此列式即可． 【详解】解：小明家离学校距离为，他跑步的速度为，走路的速度为，设小明同学跑步时间为，出家门时是，早上前要到达班级，保证小明同学不迟到，则跑步时间与走路时间要小于， ∴， 故选：C ． 2．（24-25八年级下·山西大同·期中）某汽车有油和电两种驱动方式，两种驱动方式不能同时使用．已知该汽车用油亚动方式行驶1千米的油费为0.9元，用电驱动方式行驶1千米的电费比油费少0.8元．该汽车从地行驶100千米至地，若用油和用电的总费用不超过40元，则至少需用电行驶多少千米？设该汽车从地行驶至地用电行驶千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式即可． 【详解】由题意知，用电行驶千米，则用油行驶千米， ∴满足的不等式关系为， 故选：B． 3．某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 　 　． 【答案】． 【分析】根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【解答】解：根据题意，得， 故答案为：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键． 4．（2025·山西阳泉·二模）随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ． 【答案】0.8 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得： ， 解得，， 所以，小明的最小平均速度为． 故答案为：0.8． 5．（2024春·吉林四平·八年级统考期末）星期天，小明骑自行车去姥姥家，速度为每小时，出发1小时后，小明的爸爸发现小明忘记带家里的钥匙，立即骑摩托车去送，小明的爸爸至少以怎样的速度，才能在20分钟内追上小明？ 【答案】小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【分析】先设小明爸爸的速度为，由题意知小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程，由此不等关系列出不等式求解． 【详解】解：设小明爸爸的速度为，依题意有： ， 解得． 故小明的爸爸至少以的速度，才能在20分钟内追上小明． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，关键在于弄清题意，找出不等关系：小明爸爸走的路程大于等于小明走的路程． 【题型五：一元一次不等式的实际应用--方案问题 】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）某社区决定购买甲、乙两种树苗共10棵用于绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，要使购买总费用不超过230元，且两种树苗都购买，可能的购买方案有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据购买甲、乙两种树苗共10棵，设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗棵，再结合甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，要使购买总费用不超过230元，且两种树苗都购买，列式计算，即可作答． 【详解】解：设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗棵， 则根据题意得，， 解得， ∵两种树苗都购买， ∵，为正整数， ∴或或， ∴对应的乙种树苗有棵或8棵或7棵 故共有3种购买方案． 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）某单位要印刷一批宣传海报，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费10元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费12元，一次印刷页数超过20页时，超过部分每页收费9元，设该单位需要印刷宣传海报的页数为（且是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元） (1)分别写出与的函数关系式； (2)你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传海报较好？请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当时，去乙印刷厂印刷这些宣传海报较好，当时，去两家印刷厂印刷这些宣传海报的费用一样，当时，去甲印刷厂印刷这些宣传海报较好，理由见解析 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）分别求出，，时x的取值或取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：当时，去乙印刷厂印刷这些宣传海报较好，当时，去两家印刷厂印刷这些宣传海报的费用一样，当时，去甲印刷厂印刷这些宣传海报较好，理由如下： 当，即时，去乙印刷厂印刷这些宣传海报较好； 当，即时，去两家印刷厂印刷这些宣传海报的费用一样； 当，即时，去甲印刷厂印刷这些宣传海报较好； 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）今年五一当天，大唐芙蓉园迎来了四面八方的游客，为促进消费景区内A，B两个商店以相同价格出售同样的纪念品，并各自推出了不同的优恵方案：在店累计购物超过150元后，超出150元的部分打八五折；在店累计购物超过100元后，超出100元的部分打九折．若某游客准备购买标价为元的纪念品，则该游客到哪家店购买花费较少？ 【答案】当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，根据题意可得店的花费为元，B店的花费为元，分到店购买花费较少和到B店购买花费较少两种情况，分别建立不等式求解即可． 【详解】解：当累计购物超过150元，即时，在A，B店购买都能享受优惠． ①若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少； ②若到店购买花费较少，则， 解得， 即时，到店购买花费较少． 故当累计购物超过150元而不超过250元时，到店购买花费较少；当累计购物超过250元时，到店购买花费较少． 4．（24-25七年级下·北京·期中）列方程（组）不等式（组）解应用题： 某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． (1)求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ (2)根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于17台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】(1)每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元 (2)有两种方案，方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，的费用最低 【分析】本题主要查了二元一次方程组以及一元一次不等式的应用，根据题意得到数量关系是解题的关键． （1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设购买m台电脑，则购买电子白板个 ，根据题意，列出不等式，再结合，且m为整数，即可求解． 【详解】（1）解： 设每台电脑x万元，每台电子白板y万元，根据题意得：   ，解得：， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元． （2）解： 设购买m台电脑，则购买电子白板个 ，根据题意得： ， 解得：， 由题意得：，且m为整数， 所以m只能取15，16 有两种方案： 方案1：购进电脑15台，购进电子白板15台，所需费用30万元 方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，所需费用29万元 答：方案2：购进电脑16台，购进电子白板14台，的费用最低． 5．（24-25七年级下·北京·期中）用方程组和不等式解决问题 学校计划建设一间活动教室，需要为教室采购五人桌和两人桌两种类型的活动课桌．已知购买2张五人桌和5张两人桌需花费1700元；购买5张五人桌和2张两人桌需花费2150元． (1)求每张五人桌和两人桌的价格． (2)学校根据教室布局，计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元，求至少采购几张两人桌？ (3)在（2）的条件下，活动教室至少要容纳43名学生，求所有满足条件的采购方案． 【答案】(1)每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元 (2)至少采购8张两人桌； (3)共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出方程组和不等式是解题关键． （1）根据题意设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元，列出方程组求解即可； （2）设采购两人桌张，则采购五人桌为张，根据题意列出不等式求解即可； （3）结合（2）列出不等式求解即可确定方案． 【详解】（1）解：设每张五人桌的单价为元，两人桌的单价为元． 由题意可得： 解得 答：每张五人桌的单价为350元，两人桌的单价为200元； （2）解：设采购两人桌张，则采购五人桌为张， 计划采购14张活动课桌，要求预算不超过3800元， 解得， ∴至少采购8张两人桌； （3）根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，， 当时，， ∴共有两种采购方案：采购两人桌8张，则采购五人桌为6个；采购两人桌9张，则采购五人桌为5张． 【题型一：一元一次不等式的实际应用---盈不足问题 】 1．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有 本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 4．（2023春•雁塔区校级月考）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人． 【答案】34或38． 【分析】设安排住宿的房间有x间，则学生有4x+10人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可． 【解答】解：设安排住宿的房间有x间，则学生有（4x+10）人， 根据题意得：， 解得：5.5≤x≤7.5， 又因为x只能取正整数， 所以x＝6或x＝7， 当x＝6时，4×6+10＝34（人）， 当x＝7时，4×7+10＝38（人）， 故答案为：34或38． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【题型二：一元一次不等式的实际应用---几何图形问题 】 1．用长为40m的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度AC＝30m，要使靠墙的一边长不小于25rn，那么与墙垂直的一边长x（m）的取值范围为（　　） A．0≤x≤5 B． C． D． 【答案】D． 【分析】由垂直于墙的一边长为xm知AC＝（40﹣3x）m，再根据“靠墙的一边长不小于25m且不超过30m”列出关于x的不等式组，解之即可． 【解答】解：垂直于墙的一边长为xm， 则AC＝（40﹣3x）m， 根据题意，得：25≤40﹣3x≤30， 解得x≤5， 故选：D． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是根据题意确定其中蕴含的不等关系． 2．如图，“开心”农场准备用50m的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为a（m），宽为b（m），受场地条件的限制，已知a的取值范围为18≤a≤26，那么b的取值范围是 　 　． 【答案】12≤b≤16． 【分析】由a的取值范围结合a＝50﹣2b，即可得出关于b的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：∵18≤a≤26，a＝50﹣2b， ∴， 解得：12≤b≤16． 即b的取值范围为12≤b≤16， 故答案为：12≤b≤16． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 3．（2024春·河南南阳·八年级统考期中）如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 4．（2024春·吉林·八年级统考期末）王聪和张明分别要把两块边长都为60cm的正方形薄钢片制作成两个无盖的长方形盒子(不计粘合部分)． （1）王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形(如图①)，然后把四边折合粘在一起，便得到甲种盒子，则甲种盒子的底面边长为 cm． （2）张明截去两角后(如图②)，沿虚线折合粘在一起，便得到乙种盒子(如图③)．已知乙种盒子底面的长AB是宽BC的2倍，求乙种盒子底面的长和宽． （3）现将一定量的水注入甲种盒子，当甲种盒子注水高度至少为多少时，再倒入乙种盒子后可以将乙种盒子注满． 【答案】（1）40；（2）乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm；（3）5cm． 【分析】（1）根据王聪首先在薄钢片的四个角截去边长为10cm的四个相同的小正方形（如图①），可得甲种盒子底面边长是60-20=40（cm）； （2）设乙种盒子底面的宽BC为xcm，则长AB为2xcm，根据原边长是60cm，结合图形得方程2x+2y=60，解方程即可求解； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满，列出不等式40×40y≥20×10×40即可求解． 【详解】解：（1）60-20=40（cm）； 故答案为：40； （2）设乙种盒子底面的宽为xcm，则盒子底面的长为2xcm，依题意有 2x+x+2x+x=60， 解得x=10， 则2x=20． 答：乙种盒子底面的长为20cm，宽为10cm； （3）设当甲种盒子注水高度为ycm时倒入乙种盒子，可将乙种盒子注满， 根据题意得40×40y≥20×10×40， 解得y≥5． 答：当甲种盒子的注水高度至少为5cm时，将水倒入乙种盒子后可以把乙种盒子注满水． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，此题关键是能够结合图形正确发现等量关系，列出方程．熟悉长方体的体积公式：长方体的体积=长×宽×高． 【题型三：一元一次不等式的实际应用---商品销售问题 】 1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 2．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买篮球个，则购买足球个，根据购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．列不等式组即可． 【详解】解：设购买篮球个，则购买足球个， 根据题意：， 故选：C． 3．（2024•沙坪坝区校级开学）我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼　 　对． 【答案】41． 【分析】根据题意，可以设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的35件物品有a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字，然后再根据题意题意，即可列出相应的不等式组，从而可以求得最初购进灯笼多少对． 【详解】解：设最初购进灯笼x对，则购进“福”字贴画为5x件，留下的35件物品有a对灯笼，有（35﹣2a）件“福”字， ∵某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件， ∴250＜2x+5x≤300， 解得35x≤42， ∵x为整数， ∴36≤x≤42， 灯笼和“福”字的总进价为：50x+4×5x＝70x（元）， 每对灯笼的售价为：50×（1+40%）＝70（元），“福”字的单价是：4×（1）＝7（元/个）， 总的售价为：70（x﹣a）+7×[5x﹣（35﹣2a）]＝（105x﹣56a﹣245）（元）， ∵最后商店经过计算总利润率为20%， ∴（105x﹣56a﹣245）﹣70x＝70x×20%， 解得xa， ∵36≤x≤42， ∴36a42， 解得9a≤11， ∵a为整数， ∴10≤a≤11， 当a＝10时，x＝38（舍去）； 当a＝11时，x＝41， 由上可得，最初购进灯笼41对， 故答案为：41． 【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，利用不等式的性质解答． 4．（2025·广东广州·二模）某文具店准备购进甲、乙两种圆规，若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元． (1)求购进甲、乙两种圆规的单价各是多少元； (2)文具店购进甲、乙两种圆规共100个，每个甲种圆规的售价为15元，每个乙种圆规的售价为12元，销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元，那么这个文具店购进甲种圆规的方案有几种？ 【答案】(1)购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元 (2)这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是： （1）设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元，根据“若购进甲种圆规15个，乙种圆规20个，需要310元；若购进甲种圆规20个，乙种圆规30个，需要440元”，可列关于x、y的二元一次方程组，求解即可； （2）设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个，根据“销售这两种圆规的总利润不低于480元，且购进两种圆规所用费用不超过964元”列出关于m的不等式组，求解，再根据为正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设购进甲圆规的单价为x元，乙圆规的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：购进甲圆规的单价为10元，乙圆规的单价为8元； （2）解：设购进甲圆规m个，则购进乙圆规个， 根据题意，得， 解得， ∵为正整数，则， ∴这个文具店购进甲种圆规的方案有种，分别是购进甲种圆规个，个，个． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 【题型四：一元一次不等式的实际应用--方案问题 】 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要1万元；新建3个地上充电桩和1个地下充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】(1)新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元 (2)一共有 4 种方案，分别为：①新建地上充电桩 7 个，则地下充电桩 3 个；②新建地上充电桩 8 个，则地下充电桩 2 个；③新建地上充电桩 9 个，则地下充电桩 1 个；④新建地上充电桩 10 个，则地下充电桩 0 个 【分析】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． （1）设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上充电桩个，则地下充电桩个，根据投资金额不超过万元，可得出不等式组，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元， 根据题意，， 解得， 答：新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元． （2）解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个， 根据题意，得， 解得：． ∴整数的值为， ∴一共有 4 种方案，分别为：①新建地上充电桩 7 个，则地下充电桩 3 个； ②新建地上充电桩 8 个，则地下充电桩 2 个； ③新建地上充电桩 9 个，则地下充电桩 1 个； ④新建地上充电桩 10 个，则地下充电桩 0 个． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某商店准备购进两种商品，商品每件的进价比商品每件的进价多20元，已知进货30件商品和30件商品一共用去2400元，商店将种商品每件售价定为80元，种商品每件售价定为45元． (1)商品每件的进价和商品每件的进价各是多少元？ (2)商店计划用不超过1520元的资金购进两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)商品每件的进价是元，商品每件的进价是元 (2)该商店的进货方案有：①商品每件、商品件；②商品每件、商品件；③商品每件、商品件 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系列出方程与不等式求解是解决问题的关键． （1）设商品每件的进价为元，则商品每件的进价是元，由等量关系列方程求解即可得到答案； （2）设商品购进件，则商品购进件，由题意列不等式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设商品每件的进价为元，则商品每件的进价是元， ， 解得， 商品每件的进价是元， 答：商品每件的进价是元，商品每件的进价是元； （2）解：设商品购进件，则商品购进件， ， 解得， 种商品的数量不低于种商品数量的一半， ， 解得， 综上所述，， 为正整数， 可取， 则该商店的进货方案有：①商品每件、商品件；②商品每件、商品件；③商品每件、商品件． 3．（24-25七年级下·山东滨州·阶段练习）“地摊经济”已成为社会关注的热门话题，小明从市场得知如下信息：甲商品每件售价为90元，乙商品每件售价为10元，销售1件甲商品和4件乙商品可获得利润45元，销售2件甲商品和3件乙商品可获得利润65元． (1)求甲、乙商品的进货价格； (2)小明共有3500元的资金用于购进甲、乙商品共100件进行销售，其中购进的乙商品至多比甲商品多5件，则小明共有哪几种购买方案，哪一种方案获利最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)甲商品的进货价为元，乙商品的进货价为元 (2)小明共有三种购买方案，分别为方案一购买甲商品件，乙商品件；方案二购买甲商品件，乙商品件；方案三购买甲商品件，乙商品件；方案三获利最大，为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程与不等式组是解此题的关键． （1）设甲商品的进货价为元，乙商品的进货价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，根据题意列出一元一次不等式组，求出，从而得出共三种方案，分别求出每种方案的利润，比较即可得解． 【详解】（1）解：设甲商品的进货价为元，乙商品的进货价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲商品的进货价为元，乙商品的进货价为元； （2）解：设购进甲商品件，则购进乙商品件， 由题意可得：， 解得：， 故共有三种方案：方案一：购买甲商品件，乙商品件，总利润为（元）； 方案二：购买甲商品件，乙商品件，总利润为（元）； 方案三：购买甲商品件，乙商品件，总利润为（元）； ∵， ∴小明共有三种购买方案，分别为方案一购买甲商品件，乙商品件；方案二购买甲商品件，乙商品件；方案三购买甲商品件，乙商品件；方案三获利最大，为元． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）春节期间引发观影热潮的《哪吒2》堪称中国动画产业厚积薄发的典范之作．这部现象级影片的成功不仅标志着国产动画电影的突破性成就，更向世界有力证明：植根于中华文化沃土的精彩故事，同样具有打动全球观众的艺术魅力、为了抓住商机，某商店决定购进“哪吒”A、B两种手办进行销售，已知购进3个A型手办与购进4个B型手办的价格相同；若购进A型手办3件，B型手办2件，需要90元． (1)求A、B型手办进价分别是每件多少元？ (2)该商店决定购进两种手办共60件，计划进货费用不超过1040元，且购进A型手办的数量不少于B型手办的，有几种进货方案？请你写出具体方案． (3)在第（2）问的条件下，若每件A型手办的售价为50元，每件B型手办的售价为35元.当两种手办全部销售完时，求销售的最大利润及最大利润的进货方案． 【答案】(1)A型手办进价为20元， B型手办进价为15元 (2)共有3种方案：A型26件，B型34件；A型27件，B型33件；A型28件，B型32件 (3)最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题. （1）设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案. （2）设购进A型手办a件，则B型手办为件，根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案. （3）根据题意求出利润函数，结合一次函数的性质即可求出答案. 【详解】（1）解：设A型手办进价为x元， B型手办进价为y元， 由题意可得：，解得：， ∴A型手办进价为20元， B型手办进价为15元； （2）解：设购进A型手办a件，则B型手办为件， 由题意可得：， 解得：， ∴共有3种方案， A型26件，B型34件； A型27件，B型33件； A型28件，B型32件； （3）解：设利润为y元，由题意可得：， 当时，利润最大y为1480元； ∴最大利润为1490元，对应的进货方案为购进A型28件，B型32件． 5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； (2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【题型一：不等式与一次函数的的实际应用问题 】 1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）某超市分两次购进甲、乙两种饮料，两次购进同种饮料价格相同．第一次购甲10箱、乙20箱，共花费2600元；第二次购甲20箱、乙10箱，共花费2800元． (1)求甲、乙两种饮料每箱的进价； (2)超市决定甲饮料售价130元/箱，乙饮料售价120元/箱．现需购进甲、乙共200箱，且甲的数量不少于乙的3倍．如何进货使利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)甲种饮料每箱的进价为元，乙种饮料每箱的进价为元 (2)当购进甲种饮料箱，乙种饮料箱时，可获得最大利润元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，一次函数的综合运用，理解题目中的数量关系，列方程组，解方程组，掌握一次函数增减性求最优方案是解题的关键． （）根据题意设甲饮料每箱的进价为元，乙饮料每箱的进价为元，找出数量关系，列二元一次方程组求解即可； （）设购进甲种饮料箱，则购进乙种饮料箱，卖完甲、乙两种饮料的利润为元，根据甲乙两种饮料的数量关系确定购进甲种饮料的取值范围，根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设甲饮料每箱的进价为元，乙饮料每箱的进价为元， 根据题意：， 解得：， 答：甲种饮料每箱的进价为元，乙种饮料每箱的进价为元； （2）解：设购进甲种饮料箱，则购进乙种饮料箱， 根据题意：， 解得：； 设卖完甲、乙两种饮料的利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， 此时（箱）． 答：当购进甲种饮料箱，乙种饮料箱时，可获得最大利润元． 2．（2025·河南信阳·三模）郑州登封的窑陶瓷烧制技艺是珍贵的非物质文化遗产，某陶瓷工作室计划制作一批登封窑特色陶瓷摆件．已知制作一个小型陶瓷摆件需要陶土0.5千克，制作一个大型陶瓷摆件需要陶土1.2千克，工作室现有陶土28千克． (1)若制作的小型陶瓷摆件数量是大型陶瓷摆件数量的3倍多2个，则恰好能把工作室的陶土用完，求此时制作的大、小陶瓷摆件各多少个． (2)若制作一个小型陶瓷摆件可获利30元，制作一个大型陶瓷摆件可获利50元，制作大小摆件共49个，该工作室如何安排制作方案能使获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)32个，10个 (2)制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个；1570元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用． （1）设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可． （2）根据题意得出m的取值范围，再写出w关于m的一次函数，结合一次函数的图像和性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设制作小型陶瓷摆件个，大型陶瓷摆件个， 则，解得， 答：制作小型陶瓷摆件32个，大型陶瓷摆件10个． （2）解：设总利润为元，制作小型陶瓷摆件个，则制作大型陶瓷摆件个． ． 由， 可得：． ， 随着的增大而减小． 当时，有最大值，． ． 当制作小型陶瓷摆件44个，大陶瓷摆件5个时，获利最大，最大利润为1570元． 3（24-25八年级下·山东日照·阶段练习）石外集团某班级社会实践小组组织“义卖活动”，计划从图书批发市场购进甲、乙两类益智拼图，已知甲类拼图每盒进价比乙类拼图多5元，若购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元. (1)求甲、乙两类拼图的每盒进价分别是多少元？ (2)甲、乙两类拼图每盒售价分别为25元和18元.该班计划购进这两类拼图总费用不超过2200元.若购进的甲、乙两类拼图共200盒（要求：购进甲最少20盒），且能全部售出. ①问购进并售出甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大？最大利润为多少元？ ②若该班级在“义卖活动”中，对售出的每一盒甲类拼图优惠a（，且）元，其他条件不变，则甲类拼图为多少盒时，所获得总利润最大，最大利润为多少元？（可用含a的式子表示） 【答案】(1)甲类拼图的每盒进价是15元，乙类拼图的每盒进价是10元 (2)①当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元；②当，购进甲类拼图为40盒时，最大利润是元；当，购进甲类拼图为20盒时时，最大利润是元 【分析】本题考查一元一次方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出一元一次方程、不等式、一次函数解析式是解题的关键． （1）设乙类拼图的每盒进价是x元，则甲类拼图的每盒进价是元，根据购进甲类拼图20盒，乙类拼图30盒，则费用为600元列方程求解即可； （2）设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图盒，根据总费用不超过2200元，列不等式为，求得，再设全部售出所获得总利润为W，则，根据一次函数性质求解即可； （3）设购进甲类拼图n盒，则购进乙类拼图盒，由（2）得，设全部售出所获得总利润为y，则，然后根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙类拼图的每盒进价是x元，则甲类拼图的每盒进价是元， 根据题意得， 解得：， ， 答：甲类拼图的每盒进价是15元，乙类拼图的每盒进价是10元； （2）解：①设购进甲类拼图m盒，则购进乙类拼图盒， 由题意得， 解得， ， 设全部售出所获得总利润为W元，则 ， ， ∴w随m增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值， ∴当购进甲类拼图为40盒时，所获得总利润最大，最大利润为1680元； ②设购进甲类拼图n盒，则购进乙类拼图盒， 由（2）得， 设全部售出所获得总利润为y元，则 ， 当，即时，y随n增大而增大， ∴当时，y取得最大值，最大值； 当，即时，y随n增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值； 综上，当，购进甲类拼图为40盒时，最大利润是元；当，购进甲类拼图为20盒时时，最大利润是元． 4．（2025·河南周口·模拟预测）郑州市郊区一露营公园为迎接旅游旺季的到来，决定增加物资储备，需要购买、两种型号的帐篷．若购买2顶型帐篷和1顶型帐篷，则需2800元；若购买3顶型帐篷和2顶型帐篷，则需4800元． (1)求每顶型帐篷和每顶型帐篷的价格． (2)若该公园需要购买、两种型号的帐篷共80顶（两种帐篷均购买），且购买型帐篷不超过型帐篷的2倍．请你帮助公园计算应购买两种型号的帐篷各多少顶，才能使总费用最低． 【答案】(1)每顶型帐篷的价格是800元，每顶型帐篷的价格是1200元 (2)购买型帐篷53顶，型帐篷27顶时，总费用最少 【分析】本题考查出二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用． （1）设每顶型帐篷的价格是元，每顶型帐篷的价格是元，根据购买2顶型帐篷和1顶型帐篷，则需2800元；若购买3顶型帐篷和2顶型帐篷，则需4800元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买型帐篷顶，则购买型帐篷顶，根据购买型帐篷不超过型帐篷的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设该公园购买、两种型号的帐篷共花费元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每顶型帐篷的价格是元，每顶型帐篷的价格是元， 根据题意得：， 解得：， 答：每顶型帐篷的价格是800元，每顶型帐篷的价格是1200元； （2）解：设购买型帐篷顶，则购买型帐篷顶， 根据题意得：， 解得：， 设该公园购买、两种型号的帐篷共花费元， 则，即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时， 答：购买型帐篷53顶，型帐篷27顶时，总费用最少． 5．（2025·江苏宿迁·三模）文创产品是融合文化元素与创意设计的实用商品，某文创工作室开发、两种主题的书签进行销售，制作2套主题书签和5套主题书签的总成本为110元，制作3套主题书签和4套主题书签的总成本为130元． (1)求制作1套主题书签和1套主题书签的成本分别为多少元？ (2)现工作室要制作、两种主题的书签共80套推向市场，种主题的书签每套售价100元，种主题的书签每套售价30元，已知主题书签的制作数量不少于主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元．为使销售利润最大，请设计获得最大利润的销售方案，并求出最大利润值． 【答案】(1)制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元 (2)当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元，根据“制作2套A主题书签和5套B主题书签的总成本为110元，制作3套A主题书签和4套B主题书签的总成本为130元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签，根据“A主题书签的制作数量不少于B主题书签的数量的，且总成本不能超过1400元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设全部售出后的获得的总利润为w元，利用总利润每套A主题书签的销售利润制作A主题书签的套数每套B主题书签的销售利润制作B主题书签的套数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设制作1套A主题书签的成本是x元，1套B主题书签的成本是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：制作1套A主题书签的成本是30元，1套B主题书签的成本是10元； （2）设制作m套A主题书签，则制作套B主题书签， 根据题意得：， 解得：， 设全部售出后的获得的总利润为w元， 则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为（元）， （套）． 答：当工作室制作30套A主题书签，50套B主题书签时，销售利润最大，最大利润为3100元． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$