专题08～09 函数综合、概率与统计-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题08 函数综合 题型概览 题型01一次函数综合 题型02反比例函数综合 题型03二次函数综合 ( 题型01 )一次函数综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，一只搬运食物的蚂蚁沿台阶的路线匀速行进（同一平面内）．在这个过程中，蚂蚁所处的高度随时间变化的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古包头·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 3.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 4.（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． ( 题型0 2 )反比例函数综合 1.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）反比例函数的图象过点，下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古包头·二模）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为 字/min． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）敖汉拨面是赤峰的特色美食．制作过程中有一步是擀面，就是将面团放到木质面板上，用擀面杖把整个面团擀成长条状．将一定质量的面团擀成长条状时，长条的总长度（单位：）是长条横截面面积（单位：）的反比例函数，当长条横截面面积为时，长条的总长度为．则当长条的总长度为时，长条横截面面积为 ． 4.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 5.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为 ． 6.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 7.（2025·内蒙古·二模）如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数的图象的四个分支上，则实数的值为（       ）    A． B． C． D．4 8.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ． ( 题型03 )二次函数综合 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 2.（2025·内蒙古赤峰·二模）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 4.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 6.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 7.（2025·内蒙古·二模）如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 8.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 9.（2025·内蒙古赤峰·二模）已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 10.（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 11.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． (1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． (2)设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． (3)为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 12.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴于直，连接，点E是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点E的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）已知抛物线与轴交于点和点，且过点． (1)求该抛物线的解析式及其对称轴； (2)连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 14.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 15.（2025·内蒙古包头·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C． (1)求点A、B、C的坐标，并直接写出∠OCA的度数； (2)若点D是AB和AC线段垂直平分线的交点，则△BCD与△ACO的周长之比为多少？ (3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率与统计 题型概览 题型01统计 题型02概率 题型03 概率和统计综合 ( 题型01 )统计 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 4 2 2 1 A．平均数是 B．众数是4 C．中位数是40 D．极差是3 【答案】A 【详解】解：A、平均数是，故该选项说法正确，符合题意； B、由题意知，30出现了4次，出现的次数最多，因此众数是30，故该选项说法错误，不合题意； C、将这10户家庭的月用电量按从低到高顺序排列，最中间两个数的平均数是，则中位数是35，故该选项说法错误，不合题意； D、这10户家庭的月用电量最大值与最小值的差为，因此极差为35，故该选项说法错误，不合题意； 故选A． 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，_________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【详解】（1）解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； （2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． （3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 3.（2025·内蒙古通辽·二模）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 频率 调查结论 … (1)上述表格中，______，______，______； (2)所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； (3)若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ 【详解】（1）解：由数据可知，抽取的学生人数为， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵抽取了名学生， ∴学生成绩的中位数由低到高为第名和第名学生成绩的平均数， ∴中位数落在组， 故答案为：； 补全频数分布直方图如下： （3）解：， 答：估计成绩不低于分的学生有人． ( 题型02 )概率 1.（2025·内蒙古通辽·二模）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，共有种等可能的结果，其中，买中“藕粉哪吒”的结果有种， 买中“藕粉哪吒”的概率为． 故选：A． 2.（2025·内蒙古赤峰·二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 【答案】D 【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选D． 3.（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表如下： 由表可知，共有6种等可能得结果，其中能让灯泡发光的结果有4中， ∴能让灯泡发光的概率是=。 故答案：A 4.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】画树状图得： ∵有实数根， ∴△=b−4ac=p−4q⩾0， ∵共有6种等可能的结果,满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的有(1,−1),(2,−1),(2,1)共3种情况， ∴满足关于x的方程x+px+q=0有实数根的概率是： . 故选A. 5.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． (1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． (2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． (3)你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? 【详解】（1）解：根据题意，得共3张牌，随机出牌， ∴P（一次出牌小刚出“象”牌）=； （2）在一次出牌小刚胜小明的概率为， 画树状图如图所示， 由树状图可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=； （3）公平．理由如下： 由树状图可求得P（一次出牌小明胜小刚）=， ∴P（一次出牌小刚胜小明）=P（一次出牌小明胜小刚），即两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对小刚和小明公平． ( 题型0 3 )统计和概率综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； (2)估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； (3)若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：抽取的总人数为（人）， 所以喜欢小品的人数为（人）， 补全条形图如图所示： 故答案为：100； （2）解：估计喜欢小品节目类型的人数为人； （3）解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 2.（2025·内蒙古·二模）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：    (1)本次共调查了_________名学生； (2)请补全条形统计图； (3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率． 【详解】（1）∵(人)， 故答案为：100． （2）B的人数：（人）， 补全统计图如下：   ． （3）根据题意，画树状图如下：    一共有12种等可能性，选中A，C的等可能性有2种， 故同时选中A和C两个社团的概率为． 3.（2025·内蒙古包头·二模）某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____________，_______________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． (3)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 【详解】（1）解：由统计表可知，型机器人每天分拣快递数量的众数是， 由条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为：、、、、、、、、、， 其中第名和第名都是万件， 型机器人分拣快递数量的中位数是， 故答案为：，； （2）解：合理化建议： 型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人，所以购买型号智能机器人． （3）解：画树状图如下图所示， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， （抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人）． 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． (3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【详解】（1）解：∵84出现了4次，最多， ∴众数为， ∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89． ∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数， ∴中位数是， 根据题意，得， 故． 故答案为：84，，40． （2）解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． （3）解：根据题意，有女生2名，男生2名． 画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种， 故一男一女的的概率是 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 函数综合 题型概览 题型01一次函数综合 题型02反比例函数综合 题型03二次函数综合 ( 题型01 )一次函数综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，一只搬运食物的蚂蚁沿台阶的路线匀速行进（同一平面内）．在这个过程中，蚂蚁所处的高度随时间变化的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可知：蚂蚁爬台阶时高度逐渐增加，时高度不变，时高度逐渐增加，时高度不变．故Ａ选项符合题意． 故选：A． 2.（2025·内蒙古包头·二模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ，， ∴关于轴对称， ∵，在同一个函数图象上， ∴该函数图象关于轴对称，因此选项A和C是错误的； ∵，在同一个函数图象上，且， ∴在轴的左边，随的增大而减小，因此选项B是错误的； 正确的选项是D． 故选：D． 3.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）某新能源汽车企业对一款新能源汽车进行性能测试．测试前该新能源汽车已充满电，测试时汽车保持匀速运动，相关测试数据如下表所示： 行驶时间x（） 0 1 2 3 4 ··· 剩余电量y（） 80 65 50 35 20 ··· 行驶路程S（） 0 80 160 240 320 ··· 这辆新能源汽车电池的剩余电量y（）与行驶时间x（），行驶路程S（） 与行驶时间x（）之间满足不同的一次函数关系． (1)①直接写出S与x之间的函数关系式 ； ②求y与x之间的函数关系式（以上两问均不要求写出自变量x的取值范围）； (2)当这款新能源汽车剩余电量为总电量的时，必须停止测试开始充电，否则将对汽车造成严重损伤．求这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程． 【详解】（1）解：根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设S与x之间的函数关系式为， 把代入可得， S与x之间的函数关系式为， 故答案为：； ②根据题意可得S与x之间的函数关系式为一次函数， 设与之间的函数关系式为， 把代入可得，， ， 一次函数解析式； （2）解：由题意，得， 将代入得， 解得， ， 随的增大而增大， 当时，， 答：这辆车从开始测试到再次充电时，行驶的最远路程为． 4.（2025·内蒙古·二模）金师傅购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为60千瓦时．目前有两种充电方案供选择（如表），经测算金师傅发现电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）关系如图． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 2520元 0.6元 方案二：公共充电桩充电 0 1.8元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为1.2，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于300千米时，求出电池剩余电量y（千瓦时）与已行驶里程x（千米）的函数解析式，当电池剩余电量为10%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)金师傅都是在电池剩余电量不低于30千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程为多少千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． 【详解】（1）解：(元)， ∴电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要费用129.6元； （2）解：当时，设(为常数，且)． 将坐标和代入， 得， 解得， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与的函数解析式为：， 当时， 得， 解得， (千米)， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：根据图象可知，当电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电时，该新能源车每千米的耗电量为(千瓦时)． 设累计行驶里程为千米，则耗电量为千瓦时． 当充电千瓦时， 若选择私家安装充电桩充电，需要费用为：； 若选择公共充电桩充电，需要费用为：； 当选择私家安装充电桩充电(含安装费用)更合算时，得：， 解得：． ∴累计行驶里程超过17500千米时，选择私家安装充电桩充电（含安装费用）更合算． ( 题型0 2 )反比例函数综合 1.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）反比例函数的图象过点，下列各点在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：反比例函数的图象过点， ， A、，故点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意； B、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； C、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； D、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意； 故选：A． 2.（2025·内蒙古包头·二模）小明要把一篇文章录入电脑，所需时间y（min）与录入文字的速度x（字/min）之间的函数关系如图所示．如果小明要在7min内完成录入任务，那么他录入文字的速度至少为 字/min． 【答案】200 【详解】解∶设， 把代入，得， ∴， ∴， 当时，， ∵， 在第一象限内，y随x的增大而减小， ∴小明录入文字的速度至少为200字/min． 故答案为：200． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）敖汉拨面是赤峰的特色美食．制作过程中有一步是擀面，就是将面团放到木质面板上，用擀面杖把整个面团擀成长条状．将一定质量的面团擀成长条状时，长条的总长度（单位：）是长条横截面面积（单位：）的反比例函数，当长条横截面面积为时，长条的总长度为．则当长条的总长度为时，长条横截面面积为 ． 【答案】30 【详解】解：，． 设与之间的函数解析式为． 将，代入， 得， ， 与之间的函数解析式为． 当时，， 解得，经检验，是分式方程的解且符合题意， 当长条的总长度为时，长条横截面面积为． 故答案为：30. 4.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，则使函数值的自变量的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【详解】解：根据图象可知：使函数的自变量x的取值范围是或 故答案选：C 5.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（，4），则△AOC的面积为 ． 【答案】9 【详解】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4）， ∴D（﹣3，2）， ∵双曲线y=经过点D， ∴k=﹣3×2=﹣6， ∴的面积=|k|=3． 又∵△AOB的面积=×6×4=12， ∴的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9． 故答案为：9． 6.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 7.（2025·内蒙古·二模）如图，正方形对称中心在原点O，四个顶点分别位于两个反比例函数的图象的四个分支上，则实数的值为（       ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接正方形的对角线，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，点在上，      ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴， ∵点在第二象限， ∴． 故选：A． 8.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在平面直角坐标系中，、两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且，是第二象限一点，且，若的面积是12，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：8． ( 题型03 )二次函数综合 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）点，在二次函数（，为常数）图象上，若，且，则（　　） A． B． C． D．与的大小关系不能确定 【答案】B 【详解】解：二次函数的开口向下，顶点为（，）是对称轴x=a时的最高点，点在对称轴左侧（），点在右侧（），根据条件，可得，即， 由于抛物线开口向下，离对称轴越远的点函数值越小，点M到对称轴的距离为，而点N到对称轴的距离为，由可得＞，说明点N到对称轴的距离更大，因此更小，综上。 2.（2025·内蒙古赤峰·二模）已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：设抛物线解析式为y=ax（x-4）， 把（-1，5）代入得5=a×（-1）×（-1-4），解得a=1， ∴抛物线解析式为y=x2-4x，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x=2，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误； 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确； 若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2-2|＞|x1-2|，所以⑤错误． 故选：B． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数的图象与轴相交于点，，则下列结论正确的是（　　） A．此二次函数图象的对称轴是直线 B． C．对于任意实数，均成立 D．若点，在此二次函数图象上，则 【答案】C 【详解】解：二次函数的图象与轴相交于点，， 对称轴是直线， 故A错误． 对称轴是直线， ， ． 由图象，得， ， ， 故Ｂ错误． 对称轴是直线，且抛物线开口向上， 当时，取得最小值， 对于任意实数，当时，函数值， ， 故C正确． 抛物线开口向上， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． 又， ， 故Ｄ错误． 故选：C． 4.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图1， 当y=0时，，解得：，，则A（-1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为（-1＜x＜5）由唯一公共点时，方程由相等的实数根，解得：，所以当直线与新图象有4个交点时，b的取值范围为： 故答案为：C 5.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故选： D． 6.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 【详解】解：依题意，抛物线经过点和， 解得 ∴， ∵， ∴当时，取得最大值3.5， 当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为． 7.（2025·内蒙古·二模）如图，抛物线与x轴交于两点A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C（0，2），动点D沿△ABC的边AB以每秒2个单位长度的速度由起点A向终点B运动，过点D作x轴的垂线，交△ABC的另一边于点E，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点F处，设点D的运动时间为t秒． (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)是否存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形DECO的面积为s，求s关于t的函数表达式． 【详解】（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），点C（0，2）代入 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为： ，对称轴为：直线x=﹣； （2）存在， 1）当点E位于AC边时， ∵AD=2t， ∴DF=AD=2t， ∴OF=4﹣4t， ∴D（2t﹣4，0）， ∵直线AC的解析式为：， ∴E（2t﹣4，t）， ∵△EFC为直角三角形，分三种情况讨论： ①当∠EFC=90°，则△DEF∽△OFC， ∴，即， 解得：t=； ②当∠FEC=90°， ∴∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴DE=AF，即t=2t， ∴t=0，（舍去）， ③当∠ACF=90°，则AC2+CF2=AF2，即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2， 解得：t=， 2）当点E位于BC边时，直角△EFC不存在， 综上所述，存在某一时刻t，使得△EFC为直角三角形，此时，t=或； （3）∵B（1，0），C（0，2）， ∴直线BC的解析式为：y=﹣2x+2，当D在y轴的左侧时，S=（DE+OC）•OD=（t+2）•（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）； 当D在y轴的右侧时，如图2， ∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S=（DE+OC）•OD=（﹣8t+10+2）•（4t﹣4）， 即（2＜t＜）． 综上所述： 8.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）综合应用 如图1，顶点为P的抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，连接、． (1)求b、c的值及的度数； (2)如图2，动点M从点O出发，沿着方向以1个单位/秒的速度向A匀速运动，同时动点N从点A出发，沿着方向以个单位/秒的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒，轴交于E，轴交抛物线于F，连接、． ①当时，求点F的坐标； ②直接写出在运动过程中，使得与相似的t的值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和点， ∴，解得； 则，∴， 当时，，则， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：①如图2，延长交x轴于G， 由题意，，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∵当时，， ∴，则， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，则，即， 解得，， 当时，，此时M与A重合，不合题意，舍去， ∴； ②如图3，连接，，过N作轴于G， 由①知，，则， ∵,， ∴要使与相似，分两种情况： 当时， ∵， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴（不合题意，舍去）； 当时，则，又， ∴是等腰直角三角形，∴，, ∴，则， 此时， ∵，， ∴， ∴，又， ∴， 综上，当时，与相似． 9.（2025·内蒙古赤峰·二模）已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； (3)当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得：， 二次函数表达式为：，或． （2）解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． （3）解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点坐标为， 过作垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 10.（2025·内蒙古包头·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 11.（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点，对称轴直线为． (1)求该抛物线的函数解析式及顶点坐标． (2)设点关于直线的对称点为点，是直线上的一个动点，是否存在点，使有最大值？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由． (3)为抛物线上一点，连接，过点作交直线于点，若，求点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， ． 又此抛物线经过点， ， ， 该抛物线的函数解析式为． 由于， 顶点坐标是． （2）在直线上存在一点，使有最大值． 如图1，连接并延长，交直线于点，在直线上任取一点，连接． 对于， 令，得或，，； 令，得，． 点关于直线的对称点为点， ，． 当点不与点重合时，， 当点与点重合时，，此时的值最大，即为的长． ，， ， 的最大值为． （3）如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点，则点的纵坐标为3． 设，则点的横坐标为． ，． 又， ， ． ， ， ． 点在直线（即直线）上， 点的横坐标为1， ，即， 或， 解得或或或， 点的坐标为或或或． 12.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴于直，连接，点E是对称轴上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点E的坐标； (3)在抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵经过点B（5，0）和点C（0，－3） ∴， 解得： ， ∴ （2）解：方法一、∵B（5，0），C（0，－3） ∴设直线BC的解析式为y=kx+b1（k≠0） ∴， ∴， ∴ ∵， 当y=0时，，解得，， ∴A（1，0）， B（5，0） ∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3 在x轴上取点F，使FB=2AB，过点F作FE∥BC交抛物线的对称轴于点E ∴FB=2AB=8， ∴点F（－3，0）或（13，0） ∵EFBC ∴设直线EF的解析式为 ①当点F（－3，0）时， ∴， ∴ ∴， 当x=3时，， ∴E（3，）； ②当点F（13，0）时， ∴， ∴， ∴直线EF的解析式为， 当x=3时，y=－6 ∴E（3，－6）， 综上所述，点E的坐标为（3，）或（3，－6）； 方法二：过点C作CN⊥EF，垂足为点N ∵B（5，0），C（0，－3） ∴设直线BC的解析式为y=kx+b1（k≠0） ∴，   ∴， ∴， ∵， 当y=0时，，解得，， ∴A（1，0）， B（5，0）， ∴AB=4，抛物线的对称轴为x=3， ∴S△ABC=×4×3=6   ∵S△BCE=2S△ABC ∴S△BCE=12 当x=3时， ∴F（3，） 设点E（3，m） ∴EF=－－m或m－（－）   ∵S△BCE=S△BEF+S△EFC=×EF×BM+×EF×CN=EF×（BM+CN） =EF×BO ∴S△BCE= =EF ∴（－－m）=12或 （m+）=12 解得：m1=－6或m2= ∴点E坐标为（3，－6）或（3，） （3）设E（3，m），P（n，）， ①当点P对称轴右侧且在x轴上方时，如图，过点P作对称轴的垂线，垂足为F，过点B作BG⊥PF于点G， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠G=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF，   ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P对称轴右侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ③当点P对称轴左侧且在x轴下方时，如图，过点P作PG⊥AB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS）， ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得，（舍去）， 当n=0时， ∴， ④当点P对称轴坐侧且在x轴上方时，如图，过点P作PG⊥OB于G，过点E作EF⊥PG于点F， ∵△BPE是以BE为斜边的等腰直角三角形， ∴∠BPE=90°，PB=PE， ∴∠BPG+∠EPF=90°， ∵∠BGP=∠PFE=90°， ∴∠BPG+∠PBG=90°， ∴∠PBG=∠EPF， ∴△BPG≌△PEF（AAS），   ∴BG=PF，PG=EF， ∴， 解得（舍去），， 当时，， ∴， 综上所述，点P坐标为，，，． 13.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）已知抛物线与轴交于点和点，且过点． (1)求该抛物线的解析式及其对称轴； (2)连接，若抛物线上有一点满足，求点的坐标； (3)若点是轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，当取最小值时，求点的坐标及这个最小值． 【详解】（1）∵将A(-3,0)、C(2,5)代入到， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴对称轴， 即对称轴为； （2）设P点坐标为：(n,)， ∵∠ACP=90°， ∴△ACP是直角三角形， ∴根据勾股定理有：， 根据A(-3,0)、C(2,5)、(n,)， 则有， ，， 根据， 可得：， 充分利用平方差公式，化简得：， 则有n=-5或者2， 当n=2时，p点与C点重合，不符合题意舍去， ∴n=-5，此时， 即P点坐标为(-5,12)； （3）∵令y=0，可得，， 解此方程即可得到抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为：(1,0)， 则有OB=1， 设对称轴与x轴交于D点，则有MD⊥AB，则D点坐标为(-1,0)，即DO=1， 如图，在线段AD上取一点E，使得ED=OB，连接EM， 则有ED=OB=1，EO=ED+OD=2，即E点坐标为(-2,0)， ∵MQ⊥MD， ∴可知四边形MQDO是矩形， ∴MD=QO，MQ=DO=1， ∵∠MDE=∠QOB=90°，DE=OB， ∴Rt△MDE≌Rt△QOB， ∴BQ=ME， ∴MC+MQ+BQ=MC+1+ME， ∴当M、C、E三点共线时，MC+MQ+BQ的值最小， 如下图，M、C、E三点共线， 则有ME+1+MC=1+EC， ∵E(-2,0)、C(2,5)， ∴， 则MC+MQ+BQ的最小值为：+1， 根据E(-2,0)、C(2,5)，设直线EC的解析式为， 则有：，解得， 即EC的解析式为， 当x=-1时，y=，即M点坐标为：(-1,) 即M点的坐标为：(-1,)，最小值为：+1． 14.（2025·内蒙古通辽·二模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，点为第四象限内抛物线上一动点，连接，当时，求点的坐标； (3)如图②，连接是线段上的两个动点，且，连接，求的最小值． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ，则，， ∴点，则， 设点，， ∵点为第四象限内抛物线上一动点， ， 则， 整理得， 解得：， （不符合题意舍去） ∴， 则点； （3）解：过点C作且，连接、， 则，点， ∵， 则， 则， 则， 当O、N、D共线时，取等号， 即的最小值． 15.（2025·内蒙古包头·二模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C． (1)求点A、B、C的坐标，并直接写出∠OCA的度数； (2)若点D是AB和AC线段垂直平分线的交点，则△BCD与△ACO的周长之比为多少？ (3)在满足（2）的条件下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】(1)解：y=x2-x-2， 令y=0，可得0=(x+1)(x-2)，解得：x=-1或x=2， :.B (-1，0)， A (2，0)， 令x=0，得到y=-2，∴C(0，-2)， ∴OA=OC=2，OB=1，∴AB=1+2=3. ∵∠AOC=90°，OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=45° (2)∵△AOC是等腰直角三角形，∴∠OAC=45°，∠AOC=90°， ∵点D是AB和AC线段垂直平分线的交点，即点D是△ABC的外心， :. ∠BDC=2∠CAB=90° ， DB=DC， ∴△BDC也是等腰直角三角形，∴∠DBC=45°，∠BDC=90°， ∵∠DBC=∠OAC，∠BDC=∠AOC，∴△DBC∽△OAC. ∵在Rt△AOC中，有勾股定理得 ：AC= 在Rt△BOC中，有勾股定理得： ∴ ∴△BCD与△ACO的周长之比为： (3)存在.理由如下： 作点C关于抛物线的对称轴x=2的对称点C',连接AC ∵C (0，-2) ，C' (1 ， -2)， ∵C' Cll AB， ∵BC，AC'关于直线x=对称， ∴CB=AC'， ∴四边形ABCC'是等腰梯形， ∴∠CBA= ∠C' AB， ∵∠DBC=∠OAC=45°， ∴∠ABD=∠CAC', ∴当点P与点C'重合时满足条件， :.P (1, -2). 作点P关于直线AC的对称点E(0，-1)， 则∠EAC=∠PAC=∠ABD，作直线AE交抛物线于P'，点P'满足条件， :A (2， 0)， E (0， -1), 可得：直线AE的解析式为y=x-1， 由，解得：（即点A）或 ∴ 综上所述，满足条件的点P的坐标为(1，-2)或. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 概率与统计 题型概览 题型01统计 题型02概率 题型03 概率和统计综合 ( 题型01 )统计 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表．关于这10户家庭的月用电量说法正确的是（ ） 月用电量（度） 25 30 40 50 60 户数 1 4 2 2 1 A．平均数是 B．众数是4 C．中位数是40 D．极差是3 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，_________，________； (2)根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 3.（2025·内蒙古通辽·二模）年横空出世的可以在多个方面帮助中小学生提高能力，通过人机互动，学生可以学会如何提出问题、分析信息和评估答案，从而培养批判性思维能力，意义非凡．某校对学生进行了的相关培训，并对培训效果进行了检测，并随机抽取了若干名同学的成绩，形成了如下的调查报告，请根据调查报告，回答下列问题： 课题 ××学校学生对掌握情况 调查方式 抽样调查 调查对象 ××学校学生 数据的整理与描述 分组 成绩/分 频数 频率 调查结论 … (1)上述表格中，______，______，______； (2)所抽取学生成绩的中位数落在______组；补全频数分布直方图； (3)若该校有名学生参加了此次检测活动，请你估计成绩不低于分的学生有多少名？ ( 题型02 )概率 1.（2025·内蒙古通辽·二模）泡泡玛特“《哪吒之魔童闹海》天生羁绊系列”手办盲盒中有8个基本款，分别是“捣蛋哪吒”、“牵手哪吒”、“藕粉哪吒”、“战斗敖丙”、“牵手敖丙”、“乖巧敖丙”、“藕粉敖丙”、“太乙真人”，在每个盲盒中随机放入其中一款，小亮购买一个盲盒，买中“藕粉哪吒”的概率是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·内蒙古赤峰·二模）在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（    ） A．4个 B．5个 C．不足4个 D．6个或6个以上 3.（2025·内蒙古包头·二模）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常，随机闭合开关，，中的两个，能让灯泡发光的概率是（　　） A． B． C． D． 4.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 5.（2025·内蒙古锡林郭勒·二模）小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局． (1)一次出牌小刚出“象”牌的概率是多少． (2)如果用A，B，C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?用列表法或画树状图法加以说明． (3)你认为这个游戏对小刚和小明公平吗?为什么? ( 题型 )统计和概率综合 1.（2025·内蒙古赤峰·二模）年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； (2)估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； (3)若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 2.（2025·内蒙古·二模）为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：    (1)本次共调查了_________名学生； (2)请补全条形统计图； (3)学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率． 3.（2025·内蒙古包头·二模）某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 机器人台数（台） 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 方差 A型号 和 b B型号 请你根据以上数据，解答下列问题： (1)填空：表中_____________，_______________； (2)若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． (3)若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 4.（2025·内蒙古赤峰·二模）人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息． 八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下： 84，85，86，88，88，88，88，89． 八、九年级被抽取学生的测试得分统计表 平均数 中位数 众数 八年级 79 84 九年级 79 88 请根据所给信息，解答下列问题： (1)上述图表中，___________，___________，___________． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由． (3)本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$