专题02 方程与不等式5大题型-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题02 方程与不等式 题型概览 题型01一元一次方程 题型02二元一次方程组 题型03一元一次不等式（组） 题型04分式方程 题型05一元二次方程 ( 题型0 1 )一元一次方程 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）一元一次方程的解是 ． 2.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）若是关于x的方程的解，则的值是 ( 题型0 2 )二元一次方程（组） 1.（2025·内蒙古通辽·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 2.（2025·内蒙古包头·二模）若、满足，则代数式的值为 ． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)求A，B两种书架的单价； (2)设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 4.（2025·内蒙古包头·二模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车，若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车共200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半． ①设购买种电动车辆，求的取值范围； ②当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ ( 题型0 3 )一元一次不等式（组） 1.（2025·内蒙古包头·二模）已知关于 x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（         ） A． B．0 C．2 D．3 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）解不等式组，并写出它的整数解． ( 题型0 4 )分式方程 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）解方程：． 2.（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·内蒙古包头·二模）随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ ( 题型0 5 )一元二次方程 1.（2025·内蒙古包头·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 4.（2025·内蒙古通辽·二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 5.（2025·内蒙古·二模）已知 是一元二次方程的两个根，且该方程的两根满足，则的值为 ，方程的两根为 ． 6.（2025·内蒙古包头·二模）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7.（2025·内蒙古赤峰·二模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（   ） A． B． C． D． 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 方程与不等式 题型概览 题型01一元一次方程 题型02二元一次方程组 题型03一元一次不等式（组） 题型04分式方程 题型05一元二次方程 ( 题型0 1 )一元一次方程 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）一元一次方程的解是 ． 【答案】-4 【详解】解： 0.5x-3x=10 -2.5x=10 x=-4 故答案为：-4 2.（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模）若是关于x的方程的解，则的值是 【答案】2021 【详解】解：将x=2代入方程，得 =2025-（4a-2b）=2025-5=2021 故答案为：2021. ( 题型0 2 )二元一次方程（组） 1.（2025·内蒙古通辽·二模）已知是二元一次方程的一个解，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：是二元一次方程的一个解， 将代入得：， 解得：， 故答案为：2． 2.（2025·内蒙古包头·二模）若、满足，则代数式的值为 ． 【答案】-6 【详解】解：∵x-2y=-2，x+2y=3， ∴x2-4y2=（x+2y）（x-2y）=3×（-2）=-6， 故答案为：-6． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）【问题背景】 2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍． 【素材呈现】 素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高； 素材二：购买3个A种书架和2个B种书架共需要2300元； 素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的． 【问题解决】 (1)求A，B两种书架的单价； (2)设购买个A种书架，购买书架的总费用为元，求与的函数关系式，并求出总费用最少时的购买方案． 【详解】（1）解：设种书架的单价为元，种书架的单价为元． 由题意，得 解得 答：种书架的单价为500元，种书架的单价为400元． （2）由题意，得， 种书架的数量不少于种书架数量的， ，解得， 与的函数关系式为（，且是整数）． 对于（，且是整数），由可知随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时，， 费用最少时的购买方案是购买种书架5个、种书架15个． 4.（2025·内蒙古包头·二模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车，若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． (1)求、两种电动车的单价分别是多少元？ (2)为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车共200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半． ①设购买种电动车辆，求的取值范围； ②当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ 【答案】C 【详解】解：（1）设A、B两种电动车的单价分别为x元、y元。 由题意得：，解得： 答：A、B两种电动车的单价分别为1000元，3500元。 （2） ①设购买A种电动车m辆，则购买B种电动车（200-m）辆。 ∵ ∴m≤ ②设所需购买总费用为w元。 则 = ∵-2500＜0，∴w随m的增大而减小 ∵m取正整数，∴当m=66时，w最小， -2500×66+700000=535000（元） 答：购买A种电动车66辆时，总费用最少，最少为535000元。 ( 题型0 3 )一元一次不等式（组） 1.（2025·内蒙古包头·二模）已知关于 x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为（         ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：解x-a＞0，得，x＞a， 解x-b≤b得，x≤b， 所以不等式的解集为：a＜x≤b，由数轴可知，不等式组的解集为：-3＜x≤5， ∴a=-3，b=5 ∴a+b=-3+5=2. 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）解不等式组，并写出它的整数解． 【详解】 解不等式，得 解不等式，得 原不等式组的解集为． 则不等式组的整数解为 ( 题型0 4 )分式方程 1.（2025·内蒙古呼和浩特·二模）解方程：． 【详解】解：2x=3（x-3） 2x=3x-9 x=9 经检验得：x=9是原分式方程的解。 2.（2025·内蒙古·二模）某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为千米/时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 3.（2025·内蒙古包头·二模）随着新能源汽车的逐渐增加，为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩，已知甲型充电桩比乙型充电桩的单价多万元，用16万元购买甲型充电桩与用12万元购买乙型充电桩的数量相等． (1)甲、乙两种型号充电桩的单价各是多少？ (2)该停车场计划购买甲、乙两种型号的充电桩共30个，且乙型充电桩的购买数量不超过甲型充电桩购买数量的2倍，则如何购买所需总费用最少？ 【详解】（1）解：设乙型充电桩的单价是万元，则甲型充电桩的单价是万元， 由题意得： 解得： 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲型充电桩的单价为万元，乙型充电桩的单价为万元． （2）设购买甲型充电桩的数量为个，则购买乙型充电桩的数量为个， 由题意得：， 解得：， 设所需总费用为万元， 由题意得： ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 此时， 答：购买甲型充电桩10个，乙型充电桩20个，所需总费用最少． ( 题型0 5 )一元二次方程 1.（2025·内蒙古包头·二模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值可以为 （写出一个即可）． 【答案】1 【详解】解：由于完全平方式是一个非负数，所以c≥0均可，答案不唯一。 2.（2025·内蒙古巴彦淖尔·二模）已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 3.（2025·内蒙古赤峰·二模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案为： 4.（2025·内蒙古通辽·二模）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以 a，b，c 为边长的三角形说法正确的是 （   ） A．三角形是锐角三角形 B．三角形是钝角三角形 C．边长c所对的角是 D．边长a所对的角是 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴ ∴， 所以以正数a，b，c为边长的三角形为直角三角形，且边长a所对的角是． 故选：D． 5.（2025·内蒙古·二模）已知 是一元二次方程的两个根，且该方程的两根满足，则的值为 ，方程的两根为 ． 【答案】 ， 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解． ∴原方程， 解得：，， 故答案为：；，． 6.（2025·内蒙古包头·二模）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的最小整数值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 解得， ∴k的最小整数值是3， 故选：D． 7.（2025·内蒙古赤峰·二模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万次 ∴ 故答案选C。 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$