第三章 图形的平移与旋转（单元检测）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

第三章 图形的平移与旋转单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将绕点B顺时针旋转得，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连结．下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长大于的周长 6．在平面直角坐标系中，若A，两点的坐标分别是，，将点向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点A与点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对 7．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为（   ） A． B． C． D． 8．俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 9．如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 10．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 11．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 12．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 13．如图，将直角三角形沿方向平移后，得三角形．已知，四边形的面积为60，则的长为 ． 14．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 15．如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 16．如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 18．如图，将绕点B逆时针旋转得到． (1)如图1，当点C的对应点E恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，，求的度数． 19．如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 20．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． (1)将向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度得到，请画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)判断的形状：____________． 21．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为，，．    (1)直接写出点D的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，，将长方形沿轴向左平移个单位长度，得到长方形，记长方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，在图中画出长方形，并用“O”标出区域W内的整点； ②若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围． 22．综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．已知等腰中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得线段．连接，连接． (1)操作判断：如图，的形状是 ，线段与的数量关系是 ； (2)性质探究：点运动时，的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由； (3)拓展应用：若，当时，请直接写出的长． 23．我们知道，点动成线，就是一条直线由无数个点组成的．在平面直角坐标系中，一条直线上的所有的点的横、纵坐标都满足一个固定的关系式，反过来，如果一个点的横、纵坐标满足这个关系式，那么这个点就在这条直线上．如果一个点在一条直线上，我们称这个点是这条直线的“在线点”． 如图，在平面直角坐标系中，直线上任意一点的横、纵坐标都满足．例如：点的横、纵坐标满足，所以点是直线的“在线点”． (1)请写出一个不同于点的直线的“在线点”的坐标为 ； (2)判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由； (3)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，它们的坐标如下表： 三角形三个顶点 三角形三个顶点 其中，点在第一象限，且是直线的“在线点”，． ①若点是直线的“在线点”，且三角形的面积为，求的值； ②若点在轴上，判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由． 试卷第24页，共26页 4 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转单元检测 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把点先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，掌握坐标系中点平移的变化规律“横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减”是解题的关键． 根据坐标系中点的平移变换规律直接得出平移后点的坐标即可． 【详解】解：把点向右平移3个单位长度， 可得横坐标为：， 再向下平移2个单位长度， 可得纵坐标为：， 则得到的点的坐标是． 故选C． 2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．如图，若图①中点的坐标为，则它在图②中的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据图形上点的平移规律：上加下减，左减右加，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，图2是由图1向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到， ∵图1中点P的坐标为， ∴图2中点的坐标为， 故选：D． 4．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，掌握关于原点对称的点、它们的坐标符号相反是解题的关键． 根据“两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反”即可解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 5．如图，将绕点B顺时针旋转得，点C的对应点E恰好落在的延长线上，连结．下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D．的周长大于的周长 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的性质，解题的关键是利用旋转前后对应角相等，对应边相等的性质分析各选项． 根据旋转性质，分析旋转角与各角的关系，结合全等三角形性质判断选项． 【详解】A、由旋转可知，而（旋转角），，A错误； B、（旋转角），，由于，，B错误； C、因为旋转角为，所以，即，C正确； D、旋转前后与全等，全等三角形周长相等，D错误． 故选：C． 6．在平面直角坐标系中，若A，两点的坐标分别是，，将点向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点，则点A与点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了点的平移规律、点的对称性等知识点，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．先将向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点写出来，然后根据对称规律作出判断即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到点， ∴点C坐标为， ∵， ∴点A，C关于原点轴对称． 故选：C． 7．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则与所在直线的夹角（锐角）的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．延长交于点E，根据题意求出，由旋转的性质得：，再利用三角形内角和定理得到，推出，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵，， ∴， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴则与所在直线的夹角（锐角）的度数为， 故选：B． 8．俄罗斯方块游戏中出现的图案可进行向左、向右平移，也可以顺时针、逆时针旋转．小海在玩游戏时，想把正在下降的“L”型插入下方空缺部分，正确的是（　　） A．绕点P旋转，再向右平移 B．绕点P按逆时针方向旋转，再向右平移 C．绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移 D．直接向右平移 【答案】C 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，将常见的游戏和旋转平移的知识相结合，有一定的趣味性，要根据平移和旋转的性质进行解答． 在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把每行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到． 【详解】解：消除界面中的三行方块，需要绕点P按顺时针方向旋转，再向右平移． 故选C． 9．如图，长为2，宽为1的长方形始终以右下角的顶点为中心在x轴上顺时针翻转，每次翻转．例如：第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为．则翻转次后点A的坐标应为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解第2次翻转后、第3次翻转后、第4次翻转后点A的坐标，再探究总结规律，利用规律解决问题即可．本题考查坐标规律的探究，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考填空题中的压轴题． 【详解】解：∵第1次翻转是以点C为中心，翻转后点A的坐标为． ∴第2次翻转后点A的坐标为， ∴第3次翻转后点A的坐标为， ∴第4次翻转后点A的坐标为， ∴第5次翻转后点A的坐标为， 依次类推：发现点A的纵坐标4次翻转为一个循环，长方形旋转一周，横坐标增加6， ∵， ∴则翻转次后点A的纵坐标与第2次翻转后点A的纵坐标相等，即为0， 则横坐标， ∴则翻转次后点A的坐标应为 故选：D． 10．对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（    ） A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5 【答案】A 【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可． 【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是， 如图，   ， 当线段在线段的下方时，此时， 点，，， ，，， ， 点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移个单位长度， 沿轴正方向平移， ， ， 当线段在线段的上方时，此时， 同理可得：点到的距离为， 可将线段沿轴正方向平移，即， 综上所述，的取值范围为：或， 的值可以是0.5， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，三角形的面积，采用分类讨论与数形结合的思想解题是解此题的关键． 11．如图，在平面直角坐标系 中，直线 与坐标轴交于 两点， 于点 是线段 上的一个动点，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 ，得到线段 ，连接，则线段的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由点的运动确定的运动轨迹是与轴垂直的一段线段 ，当线段与垂直时，线段的值最小； 【详解】解：将绕点 逆时针旋转 得到 ，则点 在线段上；如图： 两点是直线与坐标轴的交点 ∴ ∴ 是等腰直角三角形 ∵ ∴ ， ， 所在的直线为： 的最小值为点到的距离： 故选：B． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系动点问题，找出点的运动轨迹是解题的关键． 12．两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 13．如图，将直角三角形沿方向平移后，得三角形．已知，四边形的面积为60，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平移变换，全等三角形的性质，梯形的面积等知识，解题的关键是证明． 首先证明，由此构建方程，可得结论． 【详解】解：由平移可知，， ，， ， ，，， ， ． 故答案为：12． 14．如图，三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上，将三角形同样向左平移3个单位长度得到三角形．若点的坐标是，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查平移的性质，y轴上点的坐标特点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：根据平移的性质得到，求出m的值即可得到点的对应点的坐标． 【详解】解：∵三角形中任意一点向左平移3个单位长度后，点的对应点恰好在轴上， ∴， 得， ∴点的坐标是，则点的对应点的坐标是， 故答案为． 15．如图，点沿x轴正方向向右上方做“跳马运动”（即中国象棋“日”字型跳跃）．若跳到位置，称为做一次“正横跳马”；若跳到位置，称为做一次“正竖跳马”，当点P连续做了a次“正横跳马”和b次“正竖跳马”后，到达点，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了坐标系中点平移以及二元一次方程组的应用．由题意可得：做一次“正横跳马”横坐标增加2，纵坐标增加1，做一次“正竖跳马”横坐标增加1，纵坐标增加2，据此列方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，当点先连续做了a次“正横跳马”，再连续做b次“正竖跳马”后，到达点，则： ， ，得：， ∴； 故答案为：． 16．如图，在边长为4的等边三角形中，是中线，将绕点顺时针旋转得到，连接，则 ． 【答案】 【分析】过点E作交延长线于点H，由等边三角形的性质得到，继而由三线合一得到，，由勾股定理得到，旋转得到，，则，继而，即可求解面积． 【详解】解：过点E作交延长线于点H， ∵为等边三角形 ∴， ∵是中线， ∴，， ∴由勾股定理得：， 由旋转得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，旋转的性质，正确构造辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共7小题，共62分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，且点，，在同一条直线上，连接． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，进而根据旋转的性质得出，，根据等边对等角得出，再根据三角形内角和定理得出旋转角，即可求解； （2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而根据得出，根据，即可求解． 【详解】（1）， 由旋转得， 点在同一条直线上， ， ， 旋转角的度数是，即， 的值为120． （2）， ， 由（1）知， ， ， 的长为6． 18．如图，将绕点B逆时针旋转得到． (1)如图1，当点C的对应点E恰好落在上时，若，求的长； (2)如图2，，若，，求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了图形的旋转性质，平行线的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些性质和定理进行线段长度和角度的计算． （1）根据旋转性质得到，，再通过线段的和差关系求； （2）先利用三角形内角和求出，再根据平行线性质和旋转性质求出． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， 故的长为：3； （2）解：∵， ， ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ， ， ． 的度数为． 19．如图1，与全等，且，，．如图2，将沿射线方向平移得到，连接，． (1)求证：且； (2)试说明沿射线方向平移的距离等于多少时，点与点之间的距离最小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质，平移的性质证明,根据全等的性质即可得到结论； （2）根据平移的距离即为的长即可求解． 【详解】（1）证明：由图可知，， ， 由平移的性质可知，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 且； （2）解：∵ ∴当点与点重合，点与点之间的距离最小， 沿射线方向平移的距离等于． 20．如图，在平面直角坐标系中的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为． (1)将向下平移4个单位长度、再向左平移2个单位长度得到，请画出； (2)将绕点逆时针旋转得到，请画出； (3)判断的形状：____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)等腰直角三角形 【分析】本题考查了作图-旋转变换：平移变换，勾股定理逆定理． （1）利用点平移的坐标变换规律得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点、，从而得到； （3）连接，利用勾股定理求出，即可判断． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵即， ∴是等腰直角三角形． 21．如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点为，，．    (1)直接写出点D的坐标； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点，，将长方形沿轴向左平移个单位长度，得到长方形，记长方形和重叠的区域（不含边界）为． ①当时，在图中画出长方形，并用“O”标出区域W内的整点； ②若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据长方形的顶点为，，，即可得点的坐标； （2）①根据平移的性质即可完成作图；②根据整点定义结合平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：长方形的顶点为，，， 点的坐标为； （2）①当时，如图，长方形即为所求，点“”为区域内的整点；    ②如图，区域内恰有3个整点，    由图形可知：的取值范围是． 【点睛】本题考查了长方形的性质，坐标与图形变换平移，解决本题的关键是掌握平移的性质． 22．综合与实践：综合与实践课上，老师让同学们以“线段的旋转”为主题开展数学活动．已知等腰中，．点是射线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得线段．连接，连接． (1)操作判断：如图，的形状是 ，线段与的数量关系是 ； (2)性质探究：点运动时，的度数是否发生变化？若不变化，求它的度数；若变化，说明理由； (3)拓展应用：若，当时，请直接写出的长． 【答案】(1)等腰直角三角形，相等 (2)点运动时，的度数不变化， (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据旋转可得的形状，根据证明，即可得证； （2）根据等腰三角形的可得，再证明，可得，即可得解； （3）分两种情况讨论，当点D在线段上时， 当点D在线段的延长线上时，再由全等三角形的性质求出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将线段绕点逆时针旋转90°得线段，， ， ，是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：等腰直角三角形，相等； （2）解：点运动时，的度数不发生变化，理由如下： 和都是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）解：当点D在线段上时， ， ， ， ， ， ， 当点D在线段的延长线上时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 23．我们知道，点动成线，就是一条直线由无数个点组成的．在平面直角坐标系中，一条直线上的所有的点的横、纵坐标都满足一个固定的关系式，反过来，如果一个点的横、纵坐标满足这个关系式，那么这个点就在这条直线上．如果一个点在一条直线上，我们称这个点是这条直线的“在线点”． 如图，在平面直角坐标系中，直线上任意一点的横、纵坐标都满足．例如：点的横、纵坐标满足，所以点是直线的“在线点”． (1)请写出一个不同于点的直线的“在线点”的坐标为 ； (2)判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由； (3)在平面直角坐标系中，将三角形平移得到三角形，点、、的对应点分别是点、、，它们的坐标如下表： 三角形三个顶点 三角形三个顶点 其中，点在第一象限，且是直线的“在线点”，． ①若点是直线的“在线点”，且三角形的面积为，求的值； ②若点在轴上，判断点是否是直线的“在线点”，并说明理由． 【答案】(1) (2)点是直线的“在线点”，见详解 (3)①3；②点是直线的“在线点”，见详解 【分析】本题考查了新定义，平面直角坐标系中点的平移，二元一次方程，解一元一次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据“在线点”的定义求解即可； （2）根据“在线点”的定义求解即可； （3）①根据“在线点”的定义以及点的平移得到，，，过点A作于点K，则，得到，则，求解即可；② 确定将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则可得，由点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点，则，，将分别代入得，即可证明． 【详解】（1）解：当时，代入得，解得：， ∴是“在线点”， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解：点是直线的“在线点”， ∵当时，， ∴点满足的关系式， ∴点是直线的“在线点”； （3）解：①∵点在第一象限， ∴， 又∵点是直线的“在线点”， ∴， ∴， ∴， ∵点是直线的“在线点”， ∴， 解得， ∴， 将三角形平移得到三角形，点的对应点分别是点，∵，， ∴是将三角形向右平移m个单位， ∴点A向右平移m个单位得到点D， ∴点， ∵， ∴轴，， 如图，过点A作于点K，则， ∵三角形的面积为， ∴， 则，由得； ②∵点F是直线直线的“在线点”，点E在x轴上， ∴，点平移得到点， ∵， ∴是将三角形向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点， ∴， ∴， ∵点向右平移m个单位，向下平移b个单位得到点， ∴，， 将，代入得， ∴点满足，即点是否是直线的“在线点”． 试卷第24页，共26页 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$