第04讲 二次函数的应用（知识清单+6必考题型）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第04讲 二次函数的应用 题型梳理 题型方法 题型一 实际问题中的面积问题 题型二 距离问题 题型三 利润问题 题型四 抛物线形问题 题型五 二次函数与一元二次方程的综合问题 题型六 二次函数与不等式的综合问题 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】实际问题中的面积问题 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【答案】D 【分析】设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【答案】192 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，设该饲养室的宽为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出下部分矩形的长，并熟练掌握二次函数的性质． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【题型二】距离问题 【例2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（    ） A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米 【答案】A 【分析】先根据滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，求出函数的解析式，然后求出函数的最大值即可． 【详解】解：∵时，；时，， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴当时，S最大，且最大值为600， 即飞机的最大滑行距离为600米，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式和最大值，根据题意求出二次函数解析式，是解题的关键． 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·浙江杭州·期末）如图，在坡比为的斜坡上架设某种电缆，电缆两端挂起时下垂部分可近似看成抛物线的形状已知距离左侧塔柱水平距离15米处，电缆最低点到坡面的铅锤高度为米，则左侧塔柱电缆悬挂点A到塔柱底部C点的距离为（    ） A．17米 B．米 C．20米 D．米 【答案】C 【分析】以点C为原点，CD方向为轴建立直角坐标系，设最低点为M，过M作一条与轴垂直的直线，与斜坡交于，与x轴交于点F，设抛物线的解析式为，根据题意可得对称轴和点M的坐标，代入求出c的值即可． 【详解】解：如图，以点C为原点，CD方向为轴建立直角坐标系，设最低点为M，过M作一条与轴垂直的直线，与斜坡交于，与x轴交于点F， 设抛物线的解析式为， 根据题意可知，， 且抛物线的对称轴为，可得， ∵斜坡的坡比为， ∴，可得， ∴， ∴点M的坐标为， 将代入二次函数解析式可得：， 解得， 即， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意在图中建立合适的坐标系是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为 米． 【答案】12 【分析】本题考查二次函数的应用，根据二次函数图象与x轴的交点问题，由求得x值，进而可求解． 【详解】解：对于， 令，由得，， ∴足球从离地到落地的水平距离为米， 故答案为：12． 【变式3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【答案】(1)排球不能打过网 (2)当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高 (3)排球落在界内 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的值与排球的高度的关系及二次函数的性质是解题的关键． （1）计算当时的函数值，将函数值与比较即可解答； （2）将二次函数解析式化成成顶点式，再根据二次函数的性质求解即可； （3）计算当时的函数值，当时，排球将落在界内；当时，排球落在边界上；当时，排球落在界外，据此判定即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 故排球不能打过网． （2）解：∵， ∴当排球走过的水平距离是时，排球距离地面最高． （3）解：当时，， ∴排球落在界内． 【题型三】利润问题 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【详解】解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元． 答：每顶头盔降了5元， 故答案为：5． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【答案】(1) (2)当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元 (3)该商店每周至少可获得3000元利润 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据利润=每盒利润×数量求出函数解析式，再利用二次函数的性质求解； （3）结合（2）所求函数解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设，把，和，代入，得 ， 解得， 所以y关于x的函数关系式为． （2）解：设每周出售糕点所获利润为w元 ， 当时w的最大值为5400． 所以，当销售单价为70元时，每周出售这种糕点所获利润最大，最大利润为5400元． （3）解：由（2）可知，销售利润w与售价x之间关系为， 该二次函数图象开口向下，且对称轴为， 所以当时，， 因此该商店每周至少可获得3000元利润． 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表： 售价x（元/件） 30 40 60 80 周销售量y（件） 210 120 60 周销售利润w（元） 2100 4800 3600 (1)________，________； (2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值． 【答案】(1)180，3600 (2)4080 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求出，然后将代入即可求出a的值；然后求出该商品的进价，然后表示出，然后将代入即可求出b的值； （2）首先表示出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设 根据题意得， 解得 ∴ ∴当时，； ∵该商品的进价为元/件， ∴ ∴当时，； （2）根据题意得， ∵ ∴开口向下 ∵规定该商品售价x不得超过60， ∴当时，． ∴当售价为60元时，周销售利润的最大值为4080元． 【题型四】抛物线形问题 【例4】（20-21九年级上·浙江·阶段练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出解析中h＝0时t的值即可得． 【详解】在h＝30t−5t2中，令h＝0可得30t−5t2＝0， 解得：t＝0或t＝6， 所以水流从抛出至落到地面所需要的时间是6s， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确解析式中水流落到地面所对应的函数值为0． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为 米． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用抛物线形的图形建立直角坐标系，并求解解析式是解题的关键．以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，设抛物线的解析式为，将代入求出解析式，再利用，长米，将代入求出即可． 【详解】解：如图，以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， ∵的宽度为米，高度为米， ∴，，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得， 解得：， 所以抛物线的解析式为， ∵，长米， ∴将代入， 得：， 即离地面的垂直高度为米， 故答案为：． 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）安装在某喷灌器立柱上的喷头A高出水平地面，喷出的水流呈抛物线形从高的小树上面的点D处飞过，点D在直线BC上，与点C间的距离为，测得点B与点O相距，水流最后落在距O点远的点E处．为进一步探究有关结论，小敏以地面水平线为轴建立了如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)求喷出的水流距地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，，，，进而可知，两点关于直线对称，由对称轴及，利用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）由（1）可知直线为抛物线的对称轴，将其代入解析式即可求得水流距地面的最大高度． 【详解】（1）解：由题意得：，，， ∵A，D两点又在抛物线上， ∴，两点关于直线对称． 即直线为抛物线的对称轴． 故可设抛物线的解析式为，则． 将代入抛物线解析式可得，解得：． 所以抛物线的解析式为． （2）由（1）知：，直线为抛物线的对称轴． ∴当时，， ∴喷出的水流距地面的最大高度为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． 【题型五】二次函数与一元二次方程的综合问题 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在直线和直线之间，再由二次函数与x轴交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点的横坐标在直线和直线之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在直线和直线之间， ∴关于x的方程的正数解的范围是， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（    ） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握二者之间的关系是解本题的关键． 由表格信息得出当时的函数值为0，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可得出结果． 【详解】解：由表格信息可得：当时的函数值为0， ∴当时，则，即， ∴是的一个解， 故选：B 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，则它的图像与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与坐标轴的交点的计算方法是解题的关键．根据函数图象与轴相交，则，由此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象与轴的交点的横坐标为0，则令， ∴， 交点坐标为， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球运动路线的函数表达式． (2)球被抛出多远？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：， 把代入得， 抛物线解析式为：； （2）解：由（1）， 令，则， 解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 球被抛出． 【题型六】二次函数与不等式的综合问题 【例6】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，，即， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的不等式的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对称轴，先求出该抛物线的表达式，再求出抛物线上函数值等于的点，利用函数图像即可进行解答． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴，解得：， ∴该抛物线的表达式为：， 当时，，解得：，， 画出该函数的图像，如图： 由图可知，当时，函数值小于， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的相关知识，会根据图像求解不等式的解集是解题的关键 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与不等式（组）的综合应用，二次函数图象上点的坐标特征． 由图象可得抛物线位于x轴下方的自变量的取值范围即可解题． 【详解】解：由图象可知，关于x的不等式 的解集是： ， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：二次函数． (1)求此二次函数的对称轴以及与轴的交点坐标； (2)直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1)该抛物线与轴的交点坐标为，；对称轴为直线； (2)． 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． （1）先令，解一元二次方程即可求出抛物线与轴的交点坐标，再根据二次函数性质求解即可得到对称轴； （2）根据二次函数的性质得到时，y随x的增大而减小，当时，；当时，；即可解答． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到，即， 解得：或， 则该抛物线与轴的交点坐标为，；对称轴为直线； （2）解：二次函数中，且抛物线对称轴为直线， 则时，y随x的增大而减小， 当时，；当时，； 当时，的取值范围为． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入抛物线的方程中求出y的值即可． 本题考查二次函数图象点的坐标特征，解题的关键将代入抛物线中，本题属于基础题型． 【详解】解：将代入， ∴， ∴抛物线与y轴的交点为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题列出二次函数，由题意可得销售每件的利润为，每星期的销售量为，再根据每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量即可得解． 【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出5件． ∴销售每件的利润为，每星期的销售量为， 由题意可得， 故选：A． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数和一次函数的图象和性质等知识点，根据两函数的图象和A、B的坐标得出即可． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点A、B的坐标分别为，， ∴当时，x的取值范围是或， 故选：C． 4．（20-21九年级上·浙江温州·期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（　　　） 　　　　 A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据抛物线形状建立二次函数模型，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，通过已知线段长度求出A(1，0)B(-1,O)，由二次函数的性质确定y＝ax2－a，利用PQ＝EF建立等式，求出二次函数中的参数a，即可得出EF的值． 【详解】 解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1,O)， 设抛物线的方程为y=ax2+bx+c ∴抛物线的对称轴为x=0，则＝0，即b＝0． ∴y＝ax2 +c． 将A(1，0)代入得a+c＝0,则c＝－a． ∴y＝ax2－a． ∵OH＝2××＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0） 同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）． ∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a． 又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a ∴1＋0.96a＝－0.64a． 解得a＝． ∴y＝x2＋． ∴EF＝（）×（-0.6）２＋＝． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能在几何图形中建立适当的坐标系并结合图形的特点建立等式求出二次函数表达式． 二、填空题 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了一元二次方程的实际问题及二次函数的综合运用，设篱笆的宽为x米，长为米，列出面积S与x的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值即可． 【详解】解：设篱笆的宽为x米，长为米， ， ∵墙长不限， 当时，，S值最大，此时． 故答案为：48． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 【答案】150 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用．核心知识点是利用二次函数模型解决最值问题．解题关键在于建立正确的二次函数表达式，通过分析函数对称轴与开口方向，结合自变量实际取值范围，求出日营业收入最大时的房价．设房价提高x个10元，日营业收入为y元，进而构建日营业收入的二次函数关系式．再依据二次函数性质，找到对称轴，结合房价的取值范围，确定使日营业收入最大的房价． 【详解】解：设房价提高x个10元，日营业收入为y元． 此时房价为元，日均入住数为间． 日营业收入，展开并整理： 对于二次函数，函数图象开口向下，在对称轴处取得最大值． 对称轴为． 当时，房价为元，且150元在元范围内． 综上，该宾馆将标准房价格提高到150 元时，客房的日营业收入最大， 故答案为：150． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，先求出点C的坐标，根据点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，得到点B的坐标，再根据图象即可解答． 【详解】解：∵二次函数的图象与y轴交点C， ∴， ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， ∵二次函数与一次函数的图象经过点和点， ∴不等式的解集为二次函数在一次函数的图象下方时，自变量x的取值范围，即， 故答案为：． 8．（22-23九年级下·浙江温州·期中）二次函数（，a，c是常数）图像如图所示，它与x轴的一个交点A的横坐标，由图像可知，方程的近似解约为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．利用二次函数的性质得到对称轴为，结合与x轴的一个交点A的横坐标，利用二次函数的对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 设二次函数图像与x轴的另一个交点的横坐标为， 由对称性得，， ， ， 二次函数与x轴的两个交点的横坐标，， 方程的近似解约为，． 故答案为：，． 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)与轴的交点坐标为，与轴的交点为， (2)或 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点以及根据交点确定不等式的解集，熟记相关知识及求解方法即可； （1）分别令、即可求解； （2）根据抛物线开口向上，与轴的交点为，即可求解； 【详解】（1）解：∴令，则； ∴与轴的交点坐标为， 令，解得：，， 与轴的交点为，． （2）解：∵抛物线开口向上，与轴的交点为，． ∴当时，的取值范围是或． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线 (1)求出该抛物线与轴两个交点的坐标； (2)自变量在什么范围内，随的增大而增大？ (3)在抛物线上有两个点、，比较、大小． 【答案】(1)和 (2) (3) 【分析】本题考查求抛物线与轴的交点坐标，二次函数的图象和性质，比较二次函数值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）令，求出x的值，即得出该抛物线与轴两个交点的坐标； （2）求出其对称轴，结合开口方向为向上即得出答案； （3）将点、代入，求出、的值，再比较即可． 【详解】（1）解：令，则， 解得：，， ∴该抛物线与轴两个交点的坐标分别为和； （2）解：∵该抛物线解析式为， ∴其对称轴为直线，图象开口向上， ∴当时随的增大而增大； （3）解：分别将、代入， 得：，， ∴． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． (1)当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； (2)当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)此时每台笔记本电脑的售价为4200元； (2)当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，正确列式计算是解题关键． (1)根据题意设未知数，利用等量关系列出方程，求出方程的解，即可求出每台笔记本电脑的售价； (2)设未知数，根据题意列出函数关系式，利用二次函数的性质求出最值，即可求出每台笔记本电脑的售价． 【详解】（1）解∶设每台笔记本电脑降价元， 根据题意得， 整理得， 解得， 当时，． 当时，不符合题意． 答∶此时每台笔记本电脑的售价为4200元； （2）解∶ 设每台笔记本电脑降价a个100元，每月的销售利润为y元， 根据题意得∶， 整理得． ． 当时，有最大值，最大值为121000， 此时每台笔记本电脑的售价为 (元) 答∶当每台笔记本电脑售价为4900元时，每月的销售利润最大． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【答案】(1) (2)当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）先结合图形得出下部分矩形的长为，再根据矩形的面积公式求解即可； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，下部分矩形的长米， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴当时，y最大，最大值为， ∴当时，透光面积最大，最大透光面积是平方米． 13．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，k的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将分别代入抛物线和直线，即可求解； （2）先求出比火箭运行的最高点低的高度，然后代入解析式，即可求解； 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得：，； （2）解：由①知：，， ∴， ∴最大值， 当时，， 解得：，， 又∵火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．而火箭第二级的引发点的高度为， ∴不合题意舍去； ∴当火箭第二级高度时，在第二级则， 解得：， ∴， ∴这两个位置之间的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用 题型梳理 题型方法 题型一 实际问题中的面积问题 题型二 距离问题 题型三 利润问题 题型四 抛物线形问题 题型五 二次函数与一元二次方程的综合问题 题型六 二次函数与不等式的综合问题 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】实际问题中的面积问题 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，有长为的篱笆，现一面完全利用墙（墙的最大可用长度a为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，围成的花圃的面积最大时的长是（    ）米．    A．4 B．5 C．3 D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为米，该窗口的透光面积为平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 【题型二】距离问题 【例2】（21-22九年级上·浙江金华·期末）飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）关于滑行时间t（单位：秒）的函数表达式为，当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米；当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则飞机的最大滑行距离为（    ） A．600米 B．800米 C．1000米 D．1200米 【举一反三】【变式1】（20-21九年级下·浙江杭州·期末）如图，在坡比为的斜坡上架设某种电缆，电缆两端挂起时下垂部分可近似看成抛物线的形状已知距离左侧塔柱水平距离15米处，电缆最低点到坡面的铅锤高度为米，则左侧塔柱电缆悬挂点A到塔柱底部C点的距离为（    ） A．17米 B．米 C．20米 D．米 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足，则足球从离地到落地的水平距离为 米． 【变式3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某排球队员站在发球区发球，排球发出后向正前方行进，行进高度与水平距离之间函数的表达式是 求： (1)已知发球点到排球网的水平距离为，网高，排球是否能打过网？ (2)当排球走过的水平距离是多少时，排球距离地面最高？ (3)已知排球场地的长为，排球将落在界内还是界外？ 【题型三】利润问题 【例3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【变式2】（24-25九年级上·浙江金华·期末）某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量y（盒）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示： 销售单价x（元） … 60 65 70 … 周销量y（盒） … 240 210 180 … (1)求y关于x的函数表达式． (2)当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？ (3)若规定销售单价需满足，则每周至少可获得多少利润？ 【变式3】（24-25九年级上·浙江台州·期末）经市场调查发现，某商品的周销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，该商品的售价x（元/件），周销售量y（件），周销售利润w（元）三者对应值如下表： 售价x（元/件） 30 40 60 80 周销售量y（件） 210 120 60 周销售利润w（元） 2100 4800 3600 (1)________，________； (2)因该商品原材料上涨，进价提高了6元/件，商场为稳定销量，规定该商品售价x不得超过60，求进价提高后周销售利润的最大值． 【题型四】抛物线形问题 【例4】（20-21九年级上·浙江·阶段练习）某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线状，一条水流的高度与水流时间之间的解析式为，那么水流从抛出至落到地面所需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江·阶段练习）如图1，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图2，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部的宽度为米，高度为米，，长米，则离地面的垂直高度为 米． 【变式3】（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）安装在某喷灌器立柱上的喷头A高出水平地面，喷出的水流呈抛物线形从高的小树上面的点D处飞过，点D在直线BC上，与点C间的距离为，测得点B与点O相距，水流最后落在距O点远的点E处．为进一步探究有关结论，小敏以地面水平线为轴建立了如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)求喷出的水流距地面的最大高度． 【题型五】二次函数与一元二次方程的综合问题 【例5】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，且与x轴的负半轴交于点A，则关于x的方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江湖州·期末）小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（    ） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数，则它的图像与y轴的交点坐标是 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，当球离抛出地的水平距离为时，达到最大高度，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求球运动路线的函数表达式． (2)球被抛出多远？ 【题型六】二次函数与不等式的综合问题 【例6】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，抛物线与直线交于A，B两点，它们的横坐标分别为和4，则不等式的解集是(   ) A． B． C．或 D． 【举一反三】【变式1】（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的不等式的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【变式3】（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）已知：二次函数． (1)求此二次函数的对称轴以及与轴的交点坐标； (2)直接写出当时，的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润（单位：元）与每件涨价（单位：元）之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，抛物线与直线的交点为，．当时，x的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．（20-21九年级上·浙江温州·期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（　　　） 　　　　 A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 5．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，有长为的篱笆，一边利用墙（墙长不限），则围成的花圃的面积最大为 ． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明单间房价在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到 元时，客房的日营业收入最大． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，二次函数的图象经过点且与y轴交点C，点B和点C关于该二次函数图象的对称轴对称，一次函数的图象经过点A及点B，则不等式的解集为 ． 8．（22-23九年级下·浙江温州·期中）二次函数（，a，c是常数）图像如图所示，它与x轴的一个交点A的横坐标，由图像可知，方程的近似解约为 ． 三、解答题 9．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）已知二次函数． (1)求函数图象与坐标轴的交点坐标． (2)当时，直接写出的取值范围． 10．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）已知抛物线 (1)求出该抛物线与轴两个交点的坐标； (2)自变量在什么范围内，随的增大而增大？ (3)在抛物线上有两个点、，比较、大小． 11．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某电商计划售卖一批笔记本电脑，每台售价为5000元，每月可售出100台．为了促进销售，决定将笔记本电脑降价销售，但不能亏本，且降价需大于0元．经调查发现：每台降价100元，每月可多售出10台．已知笔记本电脑的成本为每台3800元． (1)当每月获利72000元时，求此时每台笔记本电脑的售价； (2)当每台笔记本电脑售价多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？ 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，某房间的窗户上部分由2个全等的正方形组成，下部分是一个矩形．已知制作一个这样的窗户边框，所需要的材料的总长度为10米，设小正方形的边长为x米，该窗中的透光面积为y平方米（计算透光面积时材料忽略不计）． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当x取何值时，透光面积最大？最大透光面积是多少？ 13．（24-25九年级上·浙江台州·期末）二级火箭的始祖“火龙出水”的第一级火箭点燃后，会推动整个装置飞行，形成一个抛物线轨迹．当第一级火箭燃料耗尽时，火箭会下降到某个高度（这个高度低于最高点），此时自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．可用函数图像模拟火箭的运行过程：如图，以发射点为原点，地平线为x轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级．若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求出a，k的值； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$