精品解析：2025年河南省商丘市夏邑县中考模拟预测数学试题

夏邑县2025年第二次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，则当（ ）时，． A. B. C. D. 4. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 8. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 4 10. 建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，的电阻值为 B. 随着水位的升高而增大 C. 当，与的关系式为 D. 的电阻值为时，水位的高度 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 12. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 14. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______． 15. 如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最小值是__________，最大值是__________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 17. 某市为了解七年级学生课外阅读情况，从该市甲、乙两个学校七年级学生中各随机抽取20名进行问卷调查，获取了他们某天课外阅读的时间x（分钟） 【收集数据】甲、乙两个学校七年级20名学生某天课外阅读的时间如下： 甲校：12 23 25 31 31 35 35 35 40 41 41 42 42 43 47 48 49 50 51 55 乙校：17 18 19 26 29 34 35 36 36 36 37 37 43 45 49 53 55 56 57 58 【整理数据】甲、乙两个学校七年级20名学生某天课外阅读的时间频数分布表如下： 时间（分钟） 甲校 1 2 5 9 3 乙校 3 2 7 3 5 【分析数据】甲、乙两个学校七年级20名学生的某天课外阅读时间平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 41 a 乙校 b 36 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a的值是_________，b的值是_________； （2）若甲校七年级共有600名学生，请估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数； （3）请你结合分析数据，给甲、乙两校七年级学生某天的阅读情况作出评价，并说明理由． 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 19. 如图，在中，是边的中点． （1）用尺规作图法作线段的中点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积． 20. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． （1）求B，C两处的距离； （2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 21. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 22. 镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 发射时间 … 离地面的高度 … 已知镁球到达最高处后再过会燃烧完． （1）与之间的函数关系是___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． 求与之间的函数关系式． （2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处． （3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了个镁球，第个镁球燃烧完时，第个镁球在第个镁球下方，且这个镁球与地面的高度差为，求这个镁球发射时间相隔多少秒． 23. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如图1，在菱形中，是的中点，连接，将沿翻折到．延长交于点，请写出图中的所有“筝形”； （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； （3）如图3，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，与相交于点，延长交于点．若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 夏邑县2025年第二次模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的． 1. 下列四个数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数，掌握在正数前面加负号叫做负数是解题的关键．先利用绝对值，相反数的定义及有理数乘方的运算法则，计算各数，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A.是负数，故选项A符合题意； B. 是正数，故选项B不符合题意； C. 是正数，故选项C不符合题意； D.是正数，故选项D不符合题意； 故选：A． 2. 如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，从上面看到的该几何体的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图中正方体摆放的位置结合从上面看到的图形形状判定即可． 【详解】解：从上面看，有3列，正方体的数量分别是1、2、1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了从不同方向看几何体，正确把握观察角度得出正确图形是解题关键． 3. 如图，，则当（ ）时，． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角相等，熟练掌握平行线的判定是解题关键．如图（见解析），先根据对顶角相等可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】解：如图，由对顶角相等得：， ∵与是同旁内角， ∴当时，， ∴， 故选：A． 4. 我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示．2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同， 【详解】解：万， 则， 故选：B． 5. 为了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类节目的喜爱情况，班主任对全班50名同学进行了问卷调查（每名同学只选其中的一类），依据50份问卷调查结果绘制了全班同学喜爱节目情况扇形统计图（如图所示）．下列说法正确的是（ ） A. 班主任采用的是抽样调查 B. 喜爱动画节目的同学最多 C. 喜爱戏曲节目的同学有6名 D. “体育”对应扇形的圆心角为 【答案】D 【解析】 【分析】根据全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查，可知班主任采用的是普查，由此可判断A；根据喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，可判断B；用50乘以喜爱戏曲节目的同学所占的百分比计算出喜爱戏曲节目的同学的人数，可判断C；用乘以“体育”所占的百分比求出“体育”对应扇形的圆心角的度数，即可判断D． 本题考查了扇形统计图，从扇形统计图中正确获取信息是解题关键． 【详解】全班共50名学生，班主任制作了50份问卷调查， 所以班主任采用的是全面调查， 故A选项错误； 喜爱娱乐节目的同学所占的百分比最多，因此喜爱娱乐节目的同学最多， 故B选项错误； 喜爱戏曲节目的同学有名， 故C选项错误； “体育”对应扇形的圆心角为， 故D选项正确． 故选：D． 6. 计算的结果等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 7. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．本题计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长． 【详解】解：如图，连接、，相交于点， 点分别是边的中点， ，， ，同理， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，， 对角线互相垂直， ， ， ，， 是等边三角形， ， 在中，，， ， ， ，， 四边形的周长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了中点四边形的知识，解题的关键是灵活运用三角形的中位线定理，菱形的性质及平行四边形的判定与性质进行计算． 9. 如图，为⊙O的直径，弦于点E，直线l切⊙O于点C，延长交l于点F，若，，则的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂径定理求得，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=． 【详解】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，，， ∴ AE=DE=2， ∴∠COD=2∠ABC=45°， ∴△OED是等腰直角三角形， ∴OE=ED=2， ∴， ∵直线l切⊙O于点C， ∴BC⊥CF， ∴△OCF是等腰直角三角形， ∴CF=OC， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键． 10. 建设“海绵城市”，就是在市区内建一些地下蓄水池，当下大雨来不及排走的水会流人地下蓄水池，当池内水位达到一定高度时用水泵把蓄水池内的水排走，如图1是小明设计的地下蓄水池（未画出）水位监测及排水电路，为定值电阻，为置于池底的压敏电阻，其阻值与上方水深度的关系如图2所示，则下列结论不正确的是（ ） A. 当时，的电阻值为 B. 随着水位的升高而增大 C. 当，与的关系式为 D. 的电阻值为时，水位的高度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象与实际问题，一次函数的性质，求一次函数的解析式等．掌握待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：根据图2可得：当时，的电阻值为；故A选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：随着水位的升高而增大，故B选项说法正确，不符合题意； 根据图2可得：当，的增长量是固定的，符合一次函数， 故设与的关系式为， 将，，代入得， 解得：， 即与的关系式为，故C选项说法正确，不符合题意； 当的电阻值为时，将代入， 得， 解得：， 即的电阻值为时，水位的高度鱼约为，故D选项说法错误，符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 13. 某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 14. 如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，．三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为，则它的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，如果周长为，则其中的一段弧长就是，所以根据弧长公式可得，即正三角形的边长为．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 【详解】解： 曲边三角形的周长为，为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最小值是__________，最大值是__________． 【答案】 ①. 1 ②. 3 【解析】 【分析】取的中点F，得到是等边三角形，利用三角形中位线定理推出，当在上方且C、E、F三点共线时，有最小值和最大值． 【详解】解：由旋转的性质可得出． 取的中点F，连接． ∵，， ∴， ∴是等边三角形． ∵E、F分别是的中点， ∴． 如果C、E、F三点共线，则有最小值和最大值， 则， 即，， 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出取最大值和最小值时C、E、F三点的位置关系． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，负整数指数幂和零指数幂，整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算立方根，负整数指数幂和零指数幂，再计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某市为了解七年级学生课外阅读情况，从该市甲、乙两个学校七年级学生中各随机抽取20名进行问卷调查，获取了他们某天课外阅读的时间x（分钟） 【收集数据】甲、乙两个学校七年级20名学生某天课外阅读的时间如下： 甲校：12 23 25 31 31 35 35 35 40 41 41 42 42 43 47 48 49 50 51 55 乙校：17 18 19 26 29 34 35 36 36 36 37 37 43 45 49 53 55 56 57 58 【整理数据】甲、乙两个学校七年级20名学生某天课外阅读的时间频数分布表如下： 时间（分钟） 甲校 1 2 5 9 3 乙校 3 2 7 3 5 【分析数据】甲、乙两个学校七年级20名学生的某天课外阅读时间平均数、中位数、众数、方差如下表： 学校 平均数 中位数 众数 方差 甲校 41 a 乙校 b 36 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：a的值是_________，b的值是_________； （2）若甲校七年级共有600名学生，请估计该校所有七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟的人数； （3）请你结合分析数据，给甲、乙两校七年级学生某天的阅读情况作出评价，并说明理由． 【答案】（1）35， （2）360人 （3） 由于甲、乙两校20名学生某天阅读时间的平均数相同，而甲校阅读时间的中位数比七年级成绩的中位数更高， 因此从中位数得角度看甲校学生课外阅读情况更好些． 【解析】 【分析】本题考查了数据的统计与分析，解题关键是准确从题目中获取信息，按照数据分析有关知识求解计算即可． （1）根据众数、中位数的定义直接解答即可； （2）用600乘以某天阅读时间不少于40分钟学生的百分比，即可求解； （3）根据平均数，中位数，方差判断即可． 【小问1详解】 解：根据题意得:甲校学生某天课外阅读的时间为35的人数最多， ∴甲校某天课外阅读时间的众数为35， 即， 乙校某天课外阅读时间从小到大排列后，位于正中间的两个数分别为36,37， ∴乙校某天课外阅读时间的中位数为， 即； 故答案为：35， 【小问2详解】 解：（人）． 答：该校七年级学生中某天阅读时间不少于40分钟有360人． 【小问3详解】 略 18. 如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键． （1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可． 【小问1详解】 解：点在正比例函数图象上， ，解得， ， 反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：把直线向上平移3个单位得到解析式为， 令，则， ∴记直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， 由题意得：， ∴同底等高， ． 19. 如图，在中，是边的中点． （1）用尺规作图法作线段中点；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）所作的图中，连接，若的面积为12，求的面积． 【答案】（1） 点E即为所求； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； （2）由三角形中位线定理可得，则可证明，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到的面积与的面积关系，据此可得答案． 【小问1详解】 解：如图所示，作线段的垂直平分线交于E，则点E即为所求； 【小问2详解】 解：D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3． 20. 如图，某海域有两灯塔A，B，其中灯塔B在灯塔A的南偏东方向，且A，B相距海里．一渔船在C处捕鱼，测得C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． （1）求B，C两处的距离； （2）该渔船从C处沿北偏东方向航行一段时间后，突发故障滞留于D处，并发出求救信号．此时，在灯塔B处的渔政船测得D处在北偏东方向，便立即以18海里/小时的速度沿方向航行至D处救援，求渔政船的航行时间． （注：点A，B，C，D在同一水平面内；参考数据：，） 【答案】（1）B，C两处的距离为16海里 （2）渔政船的航行时间为小时 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形． （1）根据题意易得，则，再求出（海里），即可解答； （2）过点D作于点F，设海里，则，，则，求出，进而得出海里，海里，根据勾股定理可得：（海里），即可解答． 【小问1详解】 解：过点A作于点E， ∵灯塔B在灯塔A的南偏东方向，C处在灯塔A的北偏东方向、灯塔B的正北方向． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴B，C两处的距离为16海里． 【小问2详解】 解：过点D作于点F， 设海里， ∵， ∴， 由（1）可知，海里， ∴海里， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴海里，海里， 根据勾股定理可得：（海里）， ∴渔政船的航行时间为（小时）， 答：渔政船的航行时间为小时． 21. 某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 （1）求A、B两种型号智能机器人的单价； （2）现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】（1）A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 （2）选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【小问1详解】 解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； 【小问2详解】 解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 22. 镁在燃烧时发出耀眼的白光．某兴趣小组在操场上做镁球的发射与燃烧实验：质量、大小均相同的镁球从发射器（发射器的高度忽略不计）中竖直向上发射（镁球离开发射器即开始燃烧），以下是镁球发射后的相关数据： 发射时间 … 离地面的高度 … 已知镁球到达最高处后再过会燃烧完． （1）与之间的函数关系是___________（填“一次函数”“反比例函数”或“二次函数”）． 求与之间的函数关系式． （2）直接写出发射时间为多少秒时，镁球到达最高处． （3）已知每个镁球发射后的运动轨迹均相同．该小组先后连续发射了个镁球，第个镁球燃烧完时，第个镁球在第个镁球下方，且这个镁球与地面的高度差为，求这个镁球发射时间相隔多少秒． 【答案】（1）与之间的函数关系是二次函数；； （2）发射时间为秒时，镁球到达最高处； （3）秒． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据镁球的运动轨迹是抛物线即可求解； 待定系数法即可求解； （）根据二次函数的性质即可求解； （）当时，最大，镁球到达最高处后再过会燃烧，设第个镁球发射时间为秒，则有，然后解方程并检验即可． 【小问1详解】 解：因为镁球的运动轨迹是抛物线，所以与之间的函数关系是二次函数， 故答案为：二次函数； 设，把，，， 代入得， 将代入后两个方程得， 化简得，两式相减得， 解得， 把代入 得， 解得， 所以； 【小问2详解】 解：由二次函数，其对称轴为， ∴发射时间为秒时，镁球到达最高处； 【小问3详解】 解：当时，最大，镁球到达最高处后再过会燃烧完，所以第个镁球燃烧完的时间为，此时， 设第个镁球发射时间为秒， 则， 即， ， ， 解得或（舍去）， 所以这2个镁球发射时间相隔秒． 23. 定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． （1）如图1，在菱形中，是的中点，连接，将沿翻折到．延长交于点，请写出图中的所有“筝形”； （2）如图2，将（1）中的“菱形”改为“正方形”其他条件不变，求的值； （3）如图3，将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形，与相交于点，延长交于点．若，求的长． 【答案】（1）四边形，四边形，四边形； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由菱形的性质可得，则，四边形是“筝形”； 由折叠的性质可得，则四边形是“筝形”；证明，，得到，则可证明，得到，则四边形是“筝形”； （2）设，则，可求出，连接，证明，得到，证明，进而可证明，则，据此求解即可； （3）如图所示，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，求出，可得，则，证明，得到，则． 【小问1详解】 解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，四边形是“筝形”； 由折叠的性质可得， ∴四边形是“筝形”； ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是“筝形”； 【小问2详解】 解：同理（1）得：四边形是“筝形”， 设，则， 四边形是正方形， ， ， 连接， 四边形是“筝形”， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ，即， 是直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， 将正方形绕点逆时针旋转，得到正方形， ， ， ， ， 四边形筝形； ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确理解“筝形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $