第三部分 13.3 三角形的内角与外角-【假期成才路·暑假】2025年七年级数学假期总复习与衔接（人教版）

假期成才路·七年级数学(RJ) 第三部分 八年级上册新课预习 八年级入学测试卷 第十三章三角形 一、选择题 1.B2.B3.A4.B5.D6.A7.D8.B 13.1三角形的概念 9.C10.C11.B12.D 二填空题 自主训练 13.-214.80°15.x<-1 1.D2.D3.C 16.217.150018.b≤-2 4.(1)△ABD 三、解答题 (2)∠ADE,∠AED,∠DAE AE (3)△ACE,△ACD.△ACB(4)6 19.1)-5-3(2/r=3 ly=-1 20.解：不等式组的解集为一2<x≤4，不等式组 13.2与三角形有关的线段 的非负整数解是0,1,2,3,4. 21.(1)解：∠A=∠ADE, 13.2.1三角形的边 .DE∥AC,∴.∠EDC+∠C=180°， ,∠EDC=4∠C.∴.4∠C+∠C=180°， 自主训练 解得，∠C=36°： 1.B2.D3.B4.C5.等腰锐角 (2)证明：，DE∥AC,∴.∠E=∠ABE, 6.4x<10 ,∠C=∠E,.∠C=∠ABE,∴.BE∥CD 7.(1)5cm<BC<11cm (2)BC 6cm.8cm, /x-1=0 10cm(3)周长为19cm 22.解：根据题意得： 3.x+y-1=0 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 x=1 解得： y=-21 自主训练 则√5x+y=3. 1.D2.A3.A 23.解：(1)60,72(2)图略 4.ADAD△ACF与△ACB、△BCF (3)C组占比为36÷60=0.6=60%， 5.BE∠CAD90°6.AC-AB=3 估计我校初一年级学生答题成绩处于C组和 13.3三角形的内角与外角 D组的共有：(60%十10%)×1200=840（人） 24.解：(1)图略：A(1,5),B1(一1,1)，C1(3,2). 13.3.1三角形的内角 (2△AB,C,的面积为：4×4-2×1X4- 2×2×3-号×2X4=16-2-3-4=7 第1课时三角形的内角和 25.解：(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1 自主训练 辆B型车装满货物一次可运4吨 1.D2.B3.404.280°5.略 (2)有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆： 第2课时直角三角形 方案二：A型车5辆，B型车4辆： 方案三：A型车1辆，B型车7辆. 自主训练 (3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆， 1.B2.A3.C4.∠BCD5.50或90 B型车7辆，最少租车费为940元. 6.(1)∠DCE=15°(2)证明略 26.【探究】(1)50115 13.3.2三角形的外角 (2)∠P=号∠A+90 自主训练 【应用】 ∠Q=90°-2∠A 1.B2.B3.83°70°4.30°5.∠ADB =105° ·60·假期成才路·七年级数学(RJ) 13.3三角形的内角与外角 建立方程模型，这是用代数知识解决几何 13.3.1三角形的内角 问题常用的方法，这里隐含的相等关系是 “三角形三个内角的和等于180”. 第1课时三角形的内角和 有主网-练上 础 L.在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则 1.三角形中相邻两边组成的角，叫做 ∠A的度数为 () 三角形的内角， A.30°B.40 C.50° D.60 2.三角形三个内角的和等于180°. 2.已知△ABC中，∠A=∠B=∠C则 典例探究 △ABC是 ( 考点：三角形内角和定理 A.锐角三角形 B.直角三角形 【例1】如图所示，已知△ABC,试说 C.钝角三角形 D.不能确定 明∠A+∠B+∠C=180°. 3.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A 证明：在BC上任取 落在点F处，BC∥DE,若∠A十∠B 一点D,作DE∥AC, 110°，则∠FEC= DF∥AB,分别交AB, AC于点E,F ,DE∥AC,DF∥AB. ∴.∠1=∠C,∠3=∠B, 3 ∠2=∠4=∠A. 第3题图 第4题图 又.∠1+∠2+∠3=180°， 4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4 .∠A+∠B+∠C=180°. 【例2】在△ABC中，已知∠A= ,5.已知：如图，△ABC中，∠ABC=∠C ∠B=号∠C,求∠A,∠B,∠C的度数。 BDLAC于D,求证：∠DBC=∠A 分析：由∠B,∠C与∠A之间的数量 关系，用∠A分别表示∠B,∠C,然后根据 三角形的内角和定理列出方程即可求出 ∠A,∠B,∠C的度数. 解：由已知得∠B=3∠A,∠C=5∠A. 设∠A=x,则∠B=3x,∠C=5x 由三角形内角和定理知x十3x十5.x =180°， 解得x=20°， .3.x=60°，5.x=100°， ∴.∠A=20°，∠B=60°，∠C=100. 规律与方法：根据三角形内角和定理 ·46· 第三部分八年级上册新课预习 考点2：直角三角形的判定 第2课时直角三角形 【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC 础子净上 于点D,∠1=∠B.试说明：△ABC是直角 三角形 1.直角三角形可用符号“Rt△”表示， 直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.直角三角形的性质：直角三角形的 两个锐角互余. 3.有两个角互余的三角形是直角三角形. 分析：要证明△ABC是直角三角形，可 典例探究上 证明∠1+∠BAD=90°，也可证明∠B与 ∠C互余 考点1：直角三角形的性质 解：在Rt△ABC中， 【例1】如图，在△ACB中，∠ACB= ∠1+∠C-90°. 90°，CD⊥AB于D 又.∠B=∠1，.∠B+∠C=90°， .△ABC是直角三角形. 旬宝网陈上 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于 (1)求证：∠ACD=∠B: 27°，则另一个锐角的度数是 () (2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC 于E,F,求证：∠CEF=∠CFE. A.73°B.63 C.53 D.43° 分析：(1)由于∠ACD与∠B都是 2.如图，AB∥DF,AC⊥CE于C,BC与DF ∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得 交于点E,若∠A=20°，则∠CEF等于 () 证：(2)根据直角三角形两锐角互余得出 ∠CFA=90°-∠CAF,∠AED=90° ∠DAE,再根据角平分线的定义得出∠CAF =∠DAE,然后由对顶角相等的性质，等量 D 代换即可证明∠CEF=∠CFE. A.110°B.100° C.80° D.70 证明：(1)，∠ACB=90°，CD⊥AB 3.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为 于D, ( ∴.∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD A.锐角三角形 B.钝角三角形 =90°， C.直角三角形 D.以上都有可能 ∴.∠ACD=∠B: 4.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D, (2)在Rt△AFC中，∠CFA=90° 那么图中与∠A相等的角是 -∠CAF, 同理在Rt△AED中，∠AED=90° -∠DAE 又，AF平分∠CAB, .∠CAF=∠DAE, 第4题图 第5题图 ∴.∠AED=∠CFE, 5.如图，已知∠AON=40°，OA=6,点P是 又·∠CEF=∠AED, 射线ON上一动点，当△AOP为直角三角 ∴.∠CEF=∠CFE. 形时，∠A= ·47· 假期成才路·七年级数学(RJ) 6.在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B= 典例探宽 30°，CD LAB于D,CE是△ABC的角平 考点1：利用三角形的外角性质进行 分线。 计算 (1)求∠DCE的度数. 【例1】如图所示，∠BAC=50°，∠B (2)若∠CEF=135°，求证：EF∥BC =40°，∠C=30°，求∠BDC的度数. 解：方法一：如图①所示，连接AD并延 长到E,根据三角形的外角的性质，有 ∠BDE=∠B+∠BAD,∠CDE=∠CAD +∠C, .∠BDC=∠BDE+∠CDE =∠B+∠BAD+∠CAD +∠C =∠B+∠BAC+∠C =40°+50°+30 =120°. ① 方法二：如图②所示，延长BD交AC于 E,则有 ∠BEC=∠B+∠A, ∠BDC=∠BEC+∠C, ∴.∠BDC=∠A+∠B+∠C 13.3.2三角形的外角 =50°+40°+30° 础图学 =120°. 规律与方法：三角形外角的性质不但 1.三角形的一边与另一边的延长线组 体现出角度的具体数量关系，而且还反映 成的角，叫做三角形的外角。 出角度的大小关系.在运用性质解答问题 2.三角形外角的性质 时，要注意区分外角、内角与所在的三角形 (1)三角形的一个外角等于与它不相 的位置关系及题中的已知条件和要求 邻的两个内角的和. 考点2：利用三角形的外角进行大小 (2)三角形的一个外角大于任何一个 比较 与它不相邻的内角， 【例2】如图，CE为△ABC的外角平 3.三角形的外角和等于360°. 分线，交BA的延长线于E,求证：∠BAC ·48· 第三部分八年级上册新课预习 >∠B. 解：，CE为△ABC的外角平分线， 含∠ABC,∠BCD-3∠ACD.则∠E为 ∴.∠ACE=∠ECD, () ,∠BAC>∠ACE, A.22 B.26 .∠BAC>∠ECD C.28 D.30° D :∠ECD>∠B, 3.如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则 ∴.∠BAC>∠B. ∠ADB ,∠AEB= 规律与方法：有关三角形中角的大小比 较常用方法是利用三角形的一个外角大于与 0 它不相邻的任一内角这一性质. B 考点3：利用三角形的外角和进行计算 第3题图 第4题图 【例3】如图，点D,E,F分别是 4.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP △ABC的边BC,AC,AB上的点，则∠1+ 是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP= ∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于() 20°，∠ACP=50°，则∠P= 5.如图，△ABC中，∠ABC=∠C=70°，BD 平分∠ABC,求∠ADB的度数， 2 A.180 B.240° C.360 D.540 解：C 规律与方法：利用三角形的一个外角 等于与它不相邻的两个内角的和，将多个 内角的和进行转化，再利用三角形的外角 和求解.三角形的外角和是一个确定值，不 因三角形形状的变化而改变. 旬主网练上 1.如图所示，∠A,∠1，∠2的大小关系是 A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 第1题图 第2题图 2.如图所示，在△ABC中，∠A=78°， ∠ACD是△ABC的一个外角，∠EBC= ·49·