专题09 图形的轴对称期末复习(十大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题09 图形的轴对称期末复习（十一大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 求对称轴条数 2 题型三 折叠问题 3 题型四 画对称轴 3 题型五 画轴对称图形 4 题型六 三线合一 5 题型七 线段垂直平分线的性质 6 题型八 作已知线段的垂直平分线 6 题型九 角平分线的性质定理 7 题型十 作角平分线(尺规作图) 8 题型十一 最短路径问题 9 过关检测 10 题型一 轴对称图形的识别 例1：下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 变式训练一 1．以下是四款的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．下列选项分别是扬州大学、扬州五亭桥、扬州中国大运河博物馆、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 题型二 求对称轴条数 例2：下列图形中，对称轴最少的是（    ） A． B． C． D． 变式训练二 1．数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有 条对称轴． 2．下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A．B．C． D． 题型三 折叠问题 例3：如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 变式训练三 1．如图，将一张试卷沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为 ． 2．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，，则的周长为 ． 题型四 画对称轴 例4：下列哪些图形是轴对称图形？如果是，画出所有对称轴． 变式训练四 1．如图，与关于直线l对称，在图中作出直线l． 2．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 题型五 画轴对称图形 例5：①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 变式训练五 1．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 题型六 三线合一 例6：如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 变式训练六 1．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 2．如图，已知：，，．求度数． 题型七 线段垂直平分线的性质 例7：如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 变式训练七 1．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 题型八 作已知线段的垂直平分线 例8：如图，已知线段，作线段的垂直平分线． 变式训练八 1．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 题型九 角平分线的性质定理 例9：如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 变式训练九 1．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 2．如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，，，求的面积是多少？ 题型十 作角平分线(尺规作图) 例10：尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 变式训练十 1．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 题型十一 最短路径问题 例11：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 变式训练十一 1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   2．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 一、单选题 1．生成式人工智能是指一类能够自主生成新内容的人工智能技术，这些内容可以包括文本、图像、音频和视频等多种形式．近年来，我国在生成式人工智能领域不断取得进展，很多公司也推出了各自的通用大模型，呈现出“百模争鸣”的繁荣局面，下列人工智能助手图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A．B．C． D． 2．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 3．如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 4．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 8．下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 9．如图，在中，，平分，且，，则点到的距离为 ． 10．如图，用尺规作图作已知角的平分线，原理是构造两个三角形全等．它所用到的判别方法是 ． 11．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 三、解答题 12．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 13．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 14．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 15．如图，将长方形沿折叠，点落在，点落在处，的延长线交于点，若，求、的度数． 16．如图；在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）； (2)在上画出点P，使最小； (3)若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积． 17．已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 18．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 图形的轴对称期末复习（十一大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 轴对称图形的识别 1 题型二 求对称轴条数 3 题型三 折叠问题 5 题型四 画对称轴 7 题型五 画轴对称图形 8 题型六 三线合一 10 题型七 线段垂直平分线的性质 13 题型八 作已知线段的垂直平分线 15 题型九 角平分线的性质定理 17 题型十 作角平分线(尺规作图) 19 题型十一 最短路径问题 21 过关检测 24 题型一 轴对称图形的识别 例1：下列四个图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知轴对称图形的概念是关键；根据轴对称图形的定义：如果将一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，逐项判断即可得到答案. 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项符合题意； C、是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B. 变式训练一 1．以下是四款的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选C． 2．对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上．下列选项分别是扬州大学、扬州五亭桥、扬州中国大运河博物馆、扬州志愿服务的标识．其中的轴对称图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，即如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键．根据轴对称图形的定义，判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选B． 题型二 求对称轴条数 例2：下列图形中，对称轴最少的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数对称轴数量问题；如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫作对称轴，根据题意找出图中对称轴数量，比较对称轴数量，即可求解． 【详解】 解：A． 圆形的对称轴有无数条     B． 正方形的对称轴有4条     C． 五角星的对称轴有5条     D． 对称轴有1条， 对称轴最少的是D选项， 故选：D． 变式训练二 1．数学中有许多精美的曲线．如图，这是“三叶玫瑰线”，该图形有 条对称轴． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称图形，熟练掌握定义是关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可． 【详解】解：该图形有3条对称轴． 故答案为：3． 2．下列轴对称图形中，有两条对称轴的是（   ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了确定轴对称图形的对称轴，关键是掌握轴对称图形的概念．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形有两条对称轴，故此选项符合题意； B、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； C、图形有一条对称轴，故此选项不符合题意； D、图形有六条对称轴，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型三 折叠问题 例3：如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上的点处，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：． 变式训练三 1．如图，将一张试卷沿折痕翻折，使点分别落在点的位置，且，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质；由折叠的性质得，由平行线的性质得，即可求解；能熟练利用折叠的性质，平行线的性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 由折叠得：， ， ， ， ； 故答案为：． 2．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合．已知，，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了折叠的性质，由由折叠的性质得出，然后根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：由折叠的性质得出， ∴得周长为：， 故答案为：18． 题型四 画对称轴 例4：下列哪些图形是轴对称图形？如果是，画出所有对称轴． 【答案】等腰梯形和五角星是轴对称图形，画图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此判断即可；是轴对称图形的画出对称轴即可． 【详解】解：根据轴对称图形的意义可知： 平行四边形和直角三角形不是轴对称图形，等腰梯形和五角星是轴对称图形． 如图： 变式训练四 1．如图，与关于直线l对称，在图中作出直线l． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查的是画对称轴，根据对应线段或对应线段所在的直线的交点在对称轴上作图即可． 【详解】解：如图，延长与交于，延长与交于点，过，作直线，则直线即为对称轴． ； 2．下图中的图形都是轴对称图形，请画出它们的对称轴． 【答案】见详解 【分析】该题考查了画轴对称图形的对称轴，根据轴对称图形的性质，找到图形中的一组对应点，连接对称图形的两个对应点，作这个线段的垂直平分线就是这个图形的对称轴． 【详解】解：画图如下： 题型五 画轴对称图形 例5：①在图中画出与关于直线成轴对称的； ②在直线上找到一点，使最短. 【答案】①见解析；②见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键；①根据轴对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解；②连接，则，则，根据线段最短，即可求解． 【详解】解：如图，即为所求 ②如图所示，点即为所求； 变式训练五 1．在如图所示的正方形网格中，画出格点，使得与成轴对称，则不同位置的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】此题考查利用轴对称设计图案，解题关键在于掌握作图法则．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 因此共有6个不同位置， 故选：D． 2．如图．在方格纸上画出了一棵树的一半，请你以树干为对称轴画出树的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，根据轴对称的性质画出图形即可． 【详解】解：如图所示： 题型六 三线合一 例6：如图，在中，于点，点，是上的两点，若，则图中阴影部分的面积是（　　） A． B．6 C． D．15 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后利用证明，从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴的面积的面积， ∵，， ∴的面积， ∴图中阴影部分的面积的面积， 故选：C． 变式训练六 1．如图，在中，，，于点E，若，且的周长为8，则的长为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】 解：∵，且的周长为8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 2．如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．延长到点E，使得，证明，得到，推出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即点C为的中点， ， ， 是等腰三角形， 是底边上的中线， ， ． 题型七 线段垂直平分线的性质 例7：如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长等于， ， ，即， ， 故选：B． 变式训练七 1．如图，在中，的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．已知的周长为，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得，结合的周长，得出，即可得解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∵是的垂直平分线， ， ∵的周长， ， ， ， 故选：D． 2．如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为4， 的周长的最小值为， 故答案为：7． 题型八 作已知线段的垂直平分线 例8：如图，已知线段，作线段的垂直平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规基本作图-作线段的垂直平分线，熟练掌握尺规基本作图-作线段的垂直平分线是解题的关键． 利用尺规基本作图-作线段的垂直平分线的方法，作出直线即可． 【详解】解：作法：（1）分别以点A，点为圆心，取大于长为半径，作两段相交的弧，交点记为，． （2）作直线，与交于点． ∴直线即为所求． 变式训练八 1．如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等， 则， ∴点在线段、的垂直平分线上， 即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔， 选项B符合题意． 故选：B． 2．如图，已知在中，，．请用尺规作图法，在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写做法．） 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，作线段的垂直平分线，交于点，连接，由线段垂直平分线的性质可得，故点即为所求，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 题型九 角平分线的性质定理 例9：如图，在中，是角平分线，若，的面积是12，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过点D作与点E，由角平分线的性质定理可得出，再根据三角形面积即可得出，进而可得出． 【详解】解：过点D作与点E， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3． 变式训练九 1．如图，平分，点P在上，于D，，点E是射线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：过点作于，如图，   平分，，， ， 点是射线上的动点， 的最小值为． 故答案为：3． 2．如图所示，点O是的角平分线和的交点，，，，，，求的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了三角形内心的性质.根据题意得到点O到，的距离均，根据三角形面积公式计算即可. 【详解】解：∵点O是的角平分线和的交点，， ∴点O到，的距离均， ∴； 故答案为：. 题型十 作角平分线(尺规作图) 例10：尺规作图：如图，已知，请作出它的对称轴（不写作图步骤，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图-作角平分线，轴对称的定义．作直线平分，则直线为的对称轴． 【详解】解：的对称轴如图所示， 变式训练十 1．如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，即可得出结果． 【详解】解∶由作图过程可得， ∴ 故选：B． 2．如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 【答案】(1)见解析； (2)①∠B；②∠C；③两直线平行，同位角相等；④∠EAC；⑤等量代换． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）利用平行线的性质和角平分线进行证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：， ∴（两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，同位角相等）． 平分（已知）， ． （等量代换）． 题型十一 最短路径问题 例11：如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 变式训练十一 1．某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短的方案是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】用轴对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离． 【详解】解：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于M， 根据两点之间线段最短，可知机场M到A、B两个城市之间的距离之和最短． 故选：B． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是两点之间，线段最短，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别． 2．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图．直线是一条输气管道，，是管道同侧的两个村庄，现计划在直线上修建一个供生站，向两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（　　） A. B.C.  D. (2)如图，草地边缘与小河河岸在点处形成夹角，牧马人从地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地．请在图中设计一条路线，使其所走的路径最短，并说明理由． 【答案】(1) (2)最短路径如图，理由见详解 【分析】本题主要考查了轴对称的最短路线问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）作点关于直线的对称点，连接，根据轴对称和垂直平分线的性质可得正确选项． （2）作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，根据轴对称和垂直平分线的性质可得最短路径． 【详解】（1）解：∵作点关于直线的对称点，连接，故直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴铺设管道最短的是选项， 故选：． （2）解：作点关于直线和的对称点和，连接和，连接，分别交直线和于点和，连接和，如图： 根据对称的性质可得直线和分别是和的垂直平分线， ∴， ∴ ， 根据两点之间线段最短，即可得出路径最短为． 一、单选题 1．生成式人工智能是指一类能够自主生成新内容的人工智能技术，这些内容可以包括文本、图像、音频和视频等多种形式．近年来，我国在生成式人工智能领域不断取得进展，很多公司也推出了各自的通用大模型，呈现出“百模争鸣”的繁荣局面，下列人工智能助手图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．掌握轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故符合题意； D、不是轴对称图形，不故符合题意； 故选：C． 2．下列轴对称图形中，对称轴条数最多的是（   ） A．圆形 B．等边三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】A 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键；因此此题可根据轴对称图形的性质进行求解即可． 【详解】解：圆形有无数条对称轴，等边三角形有3条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，正五边形有5条对称轴；所以对称轴条数最多的是圆形； 故选A． 3．如图，在等边三角形网格中，已有三个小等边三角形被涂黑，再将图中其余小等边三角形一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，这样的方法有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】本题考查了利用轴对称设计图案，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称的概念解答即可．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：如图所示： 将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有4种，即数字1，2，3，4位置， 故选：D． 4．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 5．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，．则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长， 故选：B． 6．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．如图所示，两个图形成轴对称的有 只填写序号 【答案】 【分析】本题考查了两个图形成轴对称，两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，两个图形折叠后可重合．根据两个图形成轴对称的概念求解即可． 【详解】解：根据两个图形成轴对称的概念可得：的两个图形成轴对称， 故答案为： 8．下列说法正确的有 个 （1）线段的对称轴有两条， （2）角是轴对称图形，它的角平分线就是它的对称轴， （3）到直线的距离相等的两个点关于直线对称， （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点一定位于对称轴的两侧． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称的性质：关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此对各说法依次分析即可． 【详解】解：（1）线段的对称轴有两条，故原说法正确； （2）角是轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是它的对称轴，故原说法错误； （3）对应点的连线与直线的位置关系是互相垂直，且到直线距离相等的两个点关于直线对称，故原说法错误； （4）若两个图形关于某直线对称，则它们的对应点不一定位于对称轴的两侧，故原说法错误； ∴说法正确的只有1个． 故答案为：1． 9．如图，在中，，平分，且，，则点到的距离为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过D作于E，根据角平分线性质得出，求出长即可． 【详解】解：如图，过点D作于E． ∵，， ∴． 又∵，平分， ∴． 即点到的距离为5 故答案为：5． 10．如图，用尺规作图作已知角的平分线，原理是构造两个三角形全等．它所用到的判别方法是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查了作图，全等三角形的判定与性质．利用作图痕迹得到，，加上为公共边，则根据可判断，从而得到． 【详解】解：由作图痕迹得到，， ∵， ∴， ∴， 即平分． 故答案为：． 11．如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，连接，过点作，可得，根据垂线段最短可知当、、三点共线且时，的最小值为，结合面积法求解即可． 【详解】解：连接，过点作， ，，，， ，， ， 当、、三点共线且时，的最小值为， ， ，即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 12．如图，16个相同的小正方形拼成一个正方形网格，其中的两个小方格已涂黑．请用三种不同的方法分别在图中再涂黑两个小方格，使整个网格成为轴对称图形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了设计轴对称图案，熟知轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行设计图案即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：如图，（答案不唯一） 13．已知，分别平分，，且与互余，试说明． 【答案】见解析． 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 先证明，，结合，可得，从而可得结论． 【详解】证明：∵，分别平分， ∴，， ∵与互余， ∴， ， ∴． 14．如图，已知，点在的内部，且；是的角平分线． (1)用量角器画； (2)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (3)若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向，则射线表示 方向． 【答案】(1)图形见解析； (2)图形见解析； (3)北偏东． 【分析】（1）以为边，在的内部画； （2）利用尺规作图的方法，作的角平分线； （3）把、看作方向标，求出的度数即可求解． 【详解】（1）解：以为边，在的内部画，如图所示； （2）解：画出的角平分线如图所示； （3）解：若射线、分别表示从点出发的北、东两个方向， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线表示北偏东方向． 故答案为：北偏东． 【点睛】此题考查了作图基本作图，方向角，涉及画已知度数的角；利用尺规作图画角的平分线；根据方向标和角的度数表示方向；以及求一个角的余角和补角的方法的灵活应用． 15．如图，将长方形沿折叠，点落在，点落在处，的延长线交于点，若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查平行线的性质，利用两直线平行，内错角相等得到，再由折叠得等角，即可求出，最后再由两直线平行，同旁内角互补求． 【详解】∵为长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴． 16．如图；在正方形网格上有一个． (1)画关于直线的对称图形（A与，B与，C与对应，不写画法）； (2)在上画出点P，使最小； (3)若网格上每个小正方形的边长为1，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路径问题等知识，解题关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）作出、、关于直线的对称点， ，即可； （2）连接交于，点即为所求； （3）利用割补法求面积即可； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：连接交于，点即为所求； （3）解：． 17．已知：如图，等腰中，，腰的垂直平分线分别交、于E、D，连接． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出，掌握等边对等角． （1）由线段垂直平分线的性质推出，即可得到的周长； （2）由等腰三角形的性质推出， ， 即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ， ∴． 18．已知点，在直线两侧，点，在直线上，点为上一动点，连接，，且． (1)如图（）所示， 当点在线段上时， 若，，则 （选填“”“”或“”）； (2)如图（）所示，当点在延长线上时，若，，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)如图（）所示，当点在线段上时，若，将沿直线l对折得到，此时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由如下见解析 (3)，理由如下见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）可证明从而得出结果； （）可证明从而得出，进而得出结论； （）证明从而得出，从而得出 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，，， ∴， 由折叠得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$