专题08 全等三角形期末复习(九大题型+过关检测)-2024-2025学年七年级数学下学期期末重点题型复习与过关检测（北师大版2024）

专题08 全等三角形期末复习（九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 全等三角形的概念 1 题型二 全等三角形的性质 2 题型三 用SSS证明三角形全等(SSS) 2 题型四 尺规作图--作三角形 3 题型五 三角形的稳定性及应用 4 题型六 用ASA (AAS)证明三角形全等 5 题型七 用SAS证明三角形全等 5 题型八 添加条件使三角形全等 6 题型九 全等三角形综合问题 7 过关检测 9 题型一 全等三角形的概念 例1：下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 变式训练一 1．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   2．如图，已知，试找出对应边，对应角． 题型二 全等三角形的性质 例2：如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 变式训练二 1．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 题型三 用SSS证明三角形全等(SSS) 例3：如图，，，求证：． 变式训练三 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，，．求证：． 题型四 尺规作图--作三角形 例4：作图：已知线段a和，作一个，使得，．． 变式训练四 1．如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 2．如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 题型五 三角形的稳定性及应用 例5：如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 变式训练五 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 2．如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 题型六 用ASA (AAS)证明三角形全等 例6：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 变式训练六 1．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 2．如图，已知点，在线段上，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 题型七 用SAS证明三角形全等 例7：如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 变式训练七 1．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 题型八 添加条件使三角形全等 例8：如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 变式训练八 1．如图，已知，请再添加一个条件 ，使（无需添加任何辅助线或点）． 2．如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 题型九 全等三角形综合问题 例9：（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 变式训练九 1．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 2．如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 一、单选题 1．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 2．2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 4．同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 5．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心、长为半径画弧、与第（2）步中所画的弧相交于点； 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，若，，，则的长是 ． 8．如图，在中，，，，则 ． 9．如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 10．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 三、解答题 11．已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 12．如图，，．求证：． 13．如图，在中，，点在边上，，过点作，截取，连接．求证：． 14．如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 15．如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 16．问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则______； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价为______． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 全等三角形期末复习（九大重点题型+过关检测） 重点题型 1 题型一 全等三角形的概念 1 题型二 全等三角形的性质 2 题型三 用SSS证明三角形全等(SSS) 4 题型四 尺规作图--作三角形 6 题型五 三角形的稳定性及应用 7 题型六 用ASA (AAS)证明三角形全等 9 题型七 用SAS证明三角形全等 10 题型八 添加条件使三角形全等 13 题型九 全等三角形综合问题 15 过关检测 20 题型一 全等三角形的概念 例1：下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．能够完全重合的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．两个等边三角形全等 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的定义等知识点，掌握全等三角形的概念是解题的关键． 根据全等三角形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，原说法错误，应该是形状相同且大小也相同的两个图形全等，故不符合题意； B、能够完全重合的两个三角形全等，说法正确，符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意； D、两个等边三角形不一定全等，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 变式训练一 1．如图，，点C和点B是对应顶点，则边的对应边是（　　） A． B． C． D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据点C和点B是对应顶点，可得A和D是对应顶点，据此可得答案． 【详解】解：∵，点C和点B是对应顶点， ∴边的对应边是， 故选：B． 2．如图，已知，试找出对应边，对应角． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的相关概念．把两个全等的三角形重叠到一起时，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．据此即可解答． 【详解】解：对应边是与，与，与． 对应角是与，与，与． 题型二 全等三角形的性质 例2：如图，已知（与，与分别对应），，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 变式训练二 1．如图，，若，，则的长度为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键． 根据全等三角形的性质得到，由即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：D ． 2．如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当与全等时，运动时间t的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算． 首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，则有，即， 解得， 当时，则，即， 解得， 故答案为：1或3． 题型三 用SSS证明三角形全等(SSS) 例3：如图，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，由两个三角形全等判定定理得到，再由两个三角形全等的性质即可得证．熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 变式训练三 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 2．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先得到，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 题型四 尺规作图--作三角形 例4：作图：已知线段a和，作一个，使得，．． 【答案】答案见解析 【分析】本题考查了作角等于已知角，作线段等知识，熟练掌握作角等于已知角，作线段是解题的关键． 本题根据作角等于已知角，作线段等知识，进行画图，即可求解； 【详解】解：①先作线段， ②然后以点为顶点，以为边作， ③以点为顶点，以为边作，射线、相交于点C，就是所求作的三角形；如图： ； 变式训练四 1．如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【详解】解：如图，即为所求． 2．如图，在如图1中已知，，线段m，求作． 作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，与的另一边交于点C．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：∵，， ∴这样作图的依据是， 故选：C． 题型五 三角形的稳定性及应用 例5：如图是太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：太原北中环桥的斜拉索，能确保桥面的稳定性和安全性．那么其中运用的数学原理是：三角形具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 变式训练五 1．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，采用如图的设计是构造三角形，应用了三角形的稳定性，理解题意是解题关键． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是：三角形的稳定性， 故选：C． 2．如图，工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形具有稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形的稳定性即可求解．熟知三角形的稳定性是解题关键． 【详解】解：工人师傅在砌门时，常用木条固定长方形门框，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选C． 题型六 用ASA (AAS)证明三角形全等 例6：如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（   ） A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 故选：C． 变式训练六 1．如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．利用可得出，（答案不唯一）进而证明，即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， 利用证明，需添加的条件是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 2．如图，已知点，在线段上，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】解：与的数量关系为，理由如下： ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 题型七 用SAS证明三角形全等 例7：如图，已知点B，F，C，E在一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先证明，再由平行线的性质可得，据此根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ∴． 变式训练七 1．测量锥形瓶底面内径的方案：如图，用螺丝钉将两根小棒的中点固定，只要测得之间的距离，就可知道锥形瓶底面内径的长度．此方案中，判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的应用，根据题意，利用“”证明即可． 【详解】解：由题意，，，又， ∴， 故选：B． 2．如图，点A、、、在同一条直线上，点、分别在直线的两侧，且，，． (1)求证： (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，根据即可证明，即可得出结论； （2）由，得到，根据即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型八 添加条件使三角形全等 例8：如图，已知，，欲证，需补充的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 本题可根据三角形全等的判定定理，结合已知条件分析补充条件，逐项判断即可． 【详解】解:A．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； B．，结合，，是“”，不能判定全等，故本选项不符合题意； C．，则，即，结合，，用“”可判定，故本选项符合题意； D．，这是同一个角，无法补充有效条件判定全等，故本选项不符合题意； 故选：C． 变式训练八 1．如图，已知，请再添加一个条件 ，使（无需添加任何辅助线或点）． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，添加条件或或，根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：添加， 理由是：在和中， ， ∴； 添加， ∵， ∴； 添加， ∵， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 2．如图，在和中，，点A、B、C、D在同一直线上，，若______，则.请从①，②这两个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选，见解析 【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可． 本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当选择①时，与的夹角为，不是， 故无法判定； 不选择①； 当选择②时， 则， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：②． 题型九 全等三角形综合问题 例9：（1）如图1，在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，求证：； 【变式探究】 （2）如图2，在中，，直线经过点，点，分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．设的面积为，的面积为，请猜想，大小关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析  （2）；证明见解析  （3）；理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据不同图形条件，准确找到全等三角形的对应角和对应边，利用 AAS 等判定定理证明全等，进而推导边的关系和面积关系。 （1）根据垂直定义得，则，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等； （2）根据三角形外角性质得，再根据得，进而可依据判定和全等得，，由此可得出，，的数量关系； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而可依据判定和全等，则，同理可证明得，则，然后再根据三角形的面积公式即可得出，大小关系． 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，，的数量关系是：，证明如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3），大小关系是：，理由如下： 过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵，， ∴． 变式训练九 1．为测量某一水池两端，之间的距离，小涵，小宇两位同学分别设计出如下两种方案： 课题 测量水池两端、之间的距离 测量示意图 步骤说明 在平地上取一点，分别连接，并延长到，两点，使得，，测量的距离即可． 在平地上取一点，连接，，在的延长线上取一点，使得，测量的距离即可． 数学老师看过后指出其中一种测量方案不可行，请你回答下面的问题： (1)以上两位同学方案可行的是________的方案； (2)请你选择可行的方案，并说明它可行的理由． 【答案】(1)小涵 (2)见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． （1）根据已知条件分析即可得可行方案； （2）根据全等三角形的判定与性质可得小涵同学的方案可行． 【详解】（1）解：∵小涵的方案可以证明，即，而小宇的方案无法证明，也就不能证明， ∴小涵同学方案可行． （2）解：小涵同学方案可行，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， 故小涵同学方案可行． 2．如图所示，已知四边形中，，，，，点E为线段的中点，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 cm/s时，能够使与全等． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．设点的运动速度为，运动的时间为，则，，由点为线段的中点得到，由于，根据全等三角形的判定得到当，时，，即，；当，时，，即，，然后分别求出即可． 【详解】解：设点的运动速度为，运动的时间为，则，， 点为线段的中点， ， ， 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 当，时，， 即，， 解得，， 即此时点的运动速度为； 综上所述，点的运动速度为或． 故答案为：或． 一、单选题 1．如图，两个三角形与全等，观察图形，判断在这两个三角形中边的对应边为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边的含义．注意最长边与最长边对应，最短边与最短边对应．观察图形，找到与长度相等的边即可． 【详解】解：观察图形可知：，， ∴和是对应边， 而显然和是两个三角形中最短的边，是对应边， ∴边的对应边为． 故选D． 2．2023年8月2日，成都大运会射击项目中国队选手顶住压力，包揽10米气步枪和10米气手枪混合团体两枚金牌，为他们的大运会之旅画上圆满的句号，射击队员在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这种方法应用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查三角形的稳定性，根据三角形的稳定性进行作答即可． 【详解】解：这种方法应用的几何原理是三角形的稳定性； 故选：A． 3．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4．同学们在学习完全等三角形之后，体会到了全等具有转化等线段的作用．如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，如图所示的这种方法，只需测量（）就可得到A、B间的距离． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质. 证明，得到即可． 【详解】解：观察图形发现：，，， ∴． ∴． 故选：C． 5．小明在用尺规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的： 作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心、长为半径画弧、与第（2）步中所画的弧相交于点； 根据以上的作法，能得到，你认为全等的理由是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、尺规作一个角等于已知角，根据作图过程，利用可证明． 【详解】解：根据作图过程，得，，， ∴， 故选：C． 6．如图，在3×3的正方形网格中，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格与全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定是关键． 根据题意可得，，，则，，，则，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题 7．如图，若，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键，先根据全等三角形的性质求出，再计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2． 8．如图，在中，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可得解． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，在和中，，，若要用“”直接证，则还需补充的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法．由，要用“”直接证，则需要补充即可． 【详解】解：补充， ∵，， ∴， 故答案为：． 10．如图，，且，且，，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积是 ． 【答案】50 【分析】题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形面积，解答本题的关键是根据三角形全等求出的长，本题比较简单，但是计算时要细心． 由，可以得到，而，由此可以证明，所以；同理证得，进而求出FH，然后利用面积的割补法和梯形、三角形面积公式即可求出图形的面积． 【详解】因为， 所以，，所以， 因为， 所以， 所以． 同理证得， 所以， 所以， 所以． 三、解答题 11．已知：如图，等腰三角形的一个底角为锐角，腰为，求作这个等腰三角形． 【答案】图见解析 【分析】本题考查作图，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键，根据题意底角为锐角，腰为，即可得到等腰三角形． 【详解】解：如图所示， 即为所求，，， 12．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可得到结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，在中，，点在边上，，过点作，截取，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行线的性质得到，再利用证明，即可证明． 【详解】证明：， ． 在与中，，，， ， ． 14．如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作合适的辅助线是解题关键． 过点作于点，得，通过平行线的判定与性质得，结合题意则可证得，可得，通过即可求解的长． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 15．如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等： （1）根据，，得到可以利用或使，据此添加条件即可； （2）利用或证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，利用可以使； 当时，利用可以使； 故答案为：①③； （2）选①时， 在和中， 所以； 选③时， 在和中， 所以． 16．问题提出： （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”．如图1，中，，，，为上一点，当______时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图2，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点作交的延长线于点，则______； 问题解决： （3）如图3，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，． ①与是偏等积三角形吗？请说明理由； ②已知，的面积为．如图4，计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价500元，请计算修建小路的总造价为______． 【答案】（1）；（2）6；（3）①与是偏等积三角形，见解析；②40000元 【分析】(1)当时，则，证，再证与不全等，即可得出结论； (2)由偏等积三角形的定义得，则，再证，则，．得，然后由三角形的三边关系求解即可； (3)①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论； ②过点作，交的延长线于，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得， ，求出，即可求解. 【详解】解：（1）当时，与是偏等积三角形， 理由如下： 设点到的距离为，则，， ， ，， ， 、， 与不全等， 与是偏等积三角形， 故答案为：； （2）设点到的距离为，则，， 与是偏等积三角形， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， 线段的长度为正整数， 的长度为偶数， 在中，，， 即：， ； （3）①与是偏等积三角形， 理由如下： 过作于，过作于，如图3所示： 则， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ，， 与不全等， 与是偏等积三角形； ②如图4，过点作，交的延长线于， 则， 点为的中点， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 由①得：与是偏等积三角形， ，， ， 修建小路的总造价为：（元）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$