15.5三角形中位线定理巩固强化练习2024-2025学年北京版数学八年级下册

15.5三角形中位线定理 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　）    A．1 B． C． D． 2．已知△ABC的各边长度分别为3cm，4cm，5cm，则连接各边中点的三角形的周长为（  ） A．2cm B．7cm C．5cm D．6cm 3．如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是的中点，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，点E、F、G、H分别是边、、、的中点，四边形是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 5．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为【 】 A．5 B．10 C．20 D．40 6．如图所示，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，若平分的周长，则的长是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，ABC中，AB＝4，AC＝3，AD、AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（    ）      A． B．1 C． D．7 8．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC＝60°，BC＝2AB＝4，则下列结论：①AD＝4OE；②BD＝2；③30°＜∠BOE＜45°；④S△AOP＝．其中正确的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． 10．如图，菱形的对角线相交于点，点分别为边中点，连接．若，则菱形的周长为（    ）      A． B． C． D． 11．如图，点O是矩形ABCD的对角线BD的中点，点E为AD的中点，连接OE、OC、CE，若BC＝12，CD＝5，则△COE的周长为（    ） A．12 B． C．21 D． 12．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点为的中点，若，则菱形的周长为（    ） A．48 B．32 C．24 D．16 二、填空题 13．如图，在中，D、E、F分别是的中点．若的面积为3，则的面积为 ． 14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ． 15．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若AC＝4，则EF的长是 ． 16．如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点，若，且，则的长为 ． 17．如图，在中，点，分别是边，的中点，点是线段上的一点.连接，，，且，，则的长是 . 三、解答题 18．取任意一张三角形纸片，你能把它剪成四个全等的三角形吗？说明你的方法，并画出示意图． 19．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，延长EO交△ABC的外角平分线于点F． (1)求证：EO=OF； (2)连接BF，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论． 20．如图，图1中ΔABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF. (1)求证：BE=EF； (2)若将DE从中位线的位置向上平移，使点D、E分别在线段AB、AC上(点E与点A不重合)，其他条件不变，如图2，则(1)题中的结论是否成立？若成立,请证明；若不成立.请说明理由. 21．如图所示，已知四边形，，点F在的延长线上，连接交于E，E刚好为的中点． (1)求证：； (2)若点B为线段的中点，且，求的长． 22．如图，、分别是不等边三角形（即）的边、的中点，是内的动点，连接、，点、分别是、的中点，顺次连接点、、、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？并说明理由． 23．如图，是的中位线，点为射线上的一个动点（不与点E重合），作交边于点，连结． (1)如图1，当点M与点D重合时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当四边形是菱形时，，求菱形的面积； (3)如图3，，在延长线上（可以与点D重合），使得四边形为矩形，求的度数范围． 24．已知：如图，在中，∠BAC=90°，DE、DF是 的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 《15.5三角形中位线定理》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D C C D A A C D 题号 11 12 答案 D B 1．C 【分析】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题．如图，取的中点M，连接，作于N．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点M，连接，作于N．    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， 易知的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 2．D 【详解】如图，D，E，F分别是△ABC的三边的中点， 则DE=AC，DF=BC，EF=AB， ∴△DEF的周长=DE+DF+EF=（AC+BC+AB）=6cm， 故选D． 3．D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，三角形中位线性质；熟练掌握这些知识是关键．由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ； 平分， ， ， ； ； E是的中点，， ； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了菱形的判定以及三角形的中位线定理，顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形，再根据即可证明结论． 【详解】解：∵点E、F、G、H分别是边、、、的中点， ∴，，，，， 且， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 故选：C． 5．C 【详解】由已知，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC分别是FE、DF、DE的两倍．因此，由△DEF的周长为10，得△ABC的周长为20．故选C． 6．D 【分析】延长到点F，使，连接AF，过点作于点H，根据DE平分的周长， D为中点，推出，得到，推出是的中位线．得到，，根据三角形外角性质和等边对等角，， =1，得到，推出，推出，得到． 【详解】延长到点F，使，连接AF，过点作于点H， 平分的周长，且D为中点    是的中位线． ， ， =1， ， ∴， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线，等腰三角形，三角形外角，含30°角的直角三角形，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握三角形中位线的判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，含30°角的直角三角形边的性质． 7．A 【分析】先证明△AGC是等腰三角形，再利用中线的性质计算即可； 【详解】解：∵AD是△ABC角平分线，CG⊥AD于F， ∴△AGC是等腰三角形， ∴AG＝AC＝3，GF＝CF， ∵AB＝4，AC＝3， ∴BG＝1， ∵AE是△ABC中线， ∴BE＝CE， ∴EF为△CBG的中位线， ∴EF＝BG＝， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形角平分线和中线的性质，准确计算是解题的关键． 8．A 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：∠BAE＝∠BEA，则AB＝BE＝2，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，即可得到E为BC中点，再根据中位线定理得到AB=2OE，即AD=4OE ；②先根据三角形中位线定理得：OE＝AB＝1，OE∥AB，根据勾股定理计算OC，OD的长，即可求BD的长；③根据大角对大边进行计算求解即可得到答案；④过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N可以得到即可求得，由此求出即可得出结论． 【详解】解：∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC＝60°，AD=BC,OA=OC, ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE＝2， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝BE＝2， ∵BC＝4， ∴EC＝2， ∴AE＝EC， ∴∠EAC＝∠ACE， ∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE＝60°， ∴∠ACE＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACE＝30°， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∵CE＝BE＝2 ∴E为BC的中点 ∴OE为△ABC的中位线 ∴OE=AB=1，OE∥AB， ∴∠EOC＝∠BAC＝90°， ∵BC＝2AB ∴BC=4OE ∴AD=4OE ∴①正确 Rt△EOC中，OC＝， 在Rt△OCD中，OD＝ BD＝2OD＝2 故②正确 在Rt△AOE中，∵AE是斜边 ∴AE＞AO ∴AB＞AO ∴∠AOB＞∠ABO ∴∠AOB＞45° ∴∠BOE=90°-∠AOB＜45° ∵OE= ∴∠BOE＞∠OBE ∵∠ACB=30°，∠EOC=90° ∴∠OEC=60° ∴∠OEB=120° ∴∠BOE +∠OBE=60° ∴∠BOE＞30° ∴③正确 过点P分别作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N ∴PM=PN（角平分线的性质） ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AO=OC=， ∴ ∴④正确 综上，正确的个数是4个 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积，角平分线的性质，三角形中位线定理，大角对大边等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 9．C 【分析】连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P，证明△BRM≌△HEM(AAS)，推出RM=EM，BR=EH=2，同理可得△APN≌△FEN，推出PN=EN，AP=EF=2，勾股定理求出PR，根据三角形中位线的定义及性质求出MN． 【详解】解：如图，连接EM并延长交BC于点R，连接EN并延长交AB于点P， ∵正方形EFGH在正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB， ∴BCEH， ∴∠RBM=∠EHM，∠BRM=∠HEM， ∵BM=MH， ∴△BRM≌△HEM(AAS)， ∴RM=EM，BR=EH=2， ∵EFAB， 同理可得△APN≌△FEN， ∴PN=EN，AP=EF=2， ∴BP=AB-AP=6-2=4， 在Rt△BPR中，BP2+BR2=PR2， ∴42+22=PR2， ∴PR=2， ∵RM=EM，PN=EN， ∴MN是△PRE的中位线， ∴MN=PR=， 故选：C． 【点睛】此题考查了正方形及平移的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的定义和性质，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键． 10．D 【分析】根据中位线的性质可求的长度，根据菱形的性质，勾股定理可求的长，由此即可求解． 【详解】解：∵点分别为边中点， ∴是的中位线，且， ∴，则， ∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∴菱形的周长为， 故选：． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，中位线的性质，勾股定理的综合，掌握菱形的菱形，三角形中位线的性质，勾股定理求边长等知识的综合是解题的关键． 11．D 【分析】由勾股定理可求BD，由中位线，中线的性质求OE、EC，进而可求△COE的周长； 【详解】解：在矩形ABCD中，， ∴， ∵点O是BD的中点， ∴， ∵点E为AD的中点， ∴，， ∴， ∴△COE的周长为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用、中位线的性质、中线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 12．B 【分析】由菱形的性质先证明再求解 从而可得到答案． 【详解】解：菱形ABCD中，对角线相交于点O，E是的中点， 菱形ABCD的周长为 故选：B． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”是解题的关键． 13．/0.75 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由三角形的中位线定理得到，继而四边形均为平行四边形，则，即可求解． 【详解】解：∵D、E、F分别是的中点， ∴， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．10.5 【分析】将求GE+FH的最大值转化为GH-EF的值，因为EF是△ABC的中位线，EF=，AB的长度不变，所以只要GH的长最大即可，当GH为直径时，其长度最大. 【详解】如图，连接OA，OB， ∵∠ACB=30°， ∴∠AOB=60°． ∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形． ∴OA=OB=AB=7． ∵E、F是AC、BC的中点， ∴EF==3.5． ∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，∴要使GE+FH最大，即要GH最大． ∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14-3.5=10.5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和三角形的中位线的性质.将求GE+FH的最大值转化为求GH-EF的最大值，是解题的关键. 15．2 【分析】连接BD，由矩形的性质可得AC=BD=4，由三角形的中位线定理可求解． 【详解】解：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=4， ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴EF=BD=2， 故答案为:2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，掌握矩形对角线相等是解题的关键． 16．4 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理和菱形的判定方法，题目比较典型，又有综合性，难度较大．根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，根据菱形的性质得到，再由勾股定理得出的长，从而得到答案． 【详解】解：如图，设和相交于点O． ∵E、F、G、H分别是边，，，的中点， ∴分别是的中位线，分别是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：4． 17．3 【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC=14， ∴DE=BC=7， ∵∠AFB=90°，AB=8， ∴DF=AB=4， ∴EF=DE-DF=7-4=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 18．见解析 【分析】先取的三边的中点D、E、F，连接、、，即可得出答案． 【详解】解：如图，方法为：取的三边的中点D、E、F，连接、、，沿、、剪开，即可得出四个全等的三角形， 理由如下： ∵D，E，F分别为，，的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和三角形的中位线，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，通过此题培养了学生的思维能力和动手操作能力． 19．(1)见解析 (2)四边形AEBF是矩形，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CE=BE，∠AEB=90°，由三角形的中位线定理可得EO∥AC，由直角三角形的性质和平行线的性质可证OE=OF； （2）由矩形的判定可得结论． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，AE是∠BAC的角平分线， ∴CE=BE，∠AEB=90°， ∵点O是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线，EO=AO=BO， ∴EO∥AC， ∴∠EFA=∠FAD， ∵AF平分∠BAD， ∴∠FAD=∠FAB， ∴∠FAB=∠EFA， ∴OF=AO， ∴OE=OF； （2）解：四边形AEBF是矩形，理由如下： 如图， ∵AO=BO，EO=FO， ∴四边形AEBF是平行四边形， ∵∠AEB=90°， ∴四边形AEBF是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 20．(1)证明见解析；(2)结论仍然成立；(3) 【分析】(1)利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论; (2)由中位线的性质、平行线的性质,等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明 【详解】(1)证明：∵ΔABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠ACB=，AB=BC=AC ∵DE是中位线， ∴E是AC的中点， ∴BE平分∠ABC，AE=EC ∴∠EBC=∠ABC= ∵AE=CF， ∴CE=CF， ∴∠CEF=∠F ∵∠CEF+∠F=∠ACB=， ∴∠F=， ∴∠EBC=∠F， ∴BE=EF (2)结论仍然成立. ∵DE是由中位线平移所得； ∴DE//BC， ∴∠ADE=∠ABC=，∠AED=∠ACB=， ∴ΔADE是等边三角形， ∴DE=AD=AE， ∵AB=AC， ∴BD=CE， ∵AE=CF， ∴DE=CF ∵∠BDE=-∠ADE=，∠FCE=-∠ACB=， ∴∠FCE=∠EDB， ∴ΔBDE≌ΔECF， ∴BE=EF 【点睛】此题考查等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理和全等三角形的判定与性质，解题关键在于利用三线合一证明得出结论 21．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）利用平行线的性质，可得，即可求证； （2）根据三角形中位线的性质，可得，由（1）可得，则 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵为的中点，点B为线段的中点， ∴为的中位线，， ∴， 由（1）得， ∴，即， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 22．(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）首先利用三角形中位线的性质得出，，，，从而得出，，即可证得四边形是平行四边形； （2）由四边形是菱形，可得，再根据三角形中位线的性质可得，，从而得出． 【详解】（1）证明：∵D、E分别是边、的中点． ∴，， ∵点G、F分别是、的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： 连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵D是的中点，点G、F分别是、的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及平行四边形与菱形的关系，熟记相关的定理和性质是解题的关键． 23．(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，中位线的性质等综合题型，解题的关键对菱形性质和图形变化极值情况的熟练掌握． （1）根据平行四边形判定及性质进行证明即可； （2）如图，连接，由菱形知，可证，四边形是平行四边形，于是，由勾股定理中，，所以菱形的面积即可求得； （3）如图，点在延长线上(可以与点重合)，得；随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，由矩形性质得，进一步证得，由三角形内角和定理，得，于是． 【详解】（1）证明：∵是的中位线， ∴是中点， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，即四边形是平行四边形； （2）解：如图2，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为2； （3）解：如图，点在延长线上（可以与点重合）， ∴， 随着的减小，点逐渐向点接近，当点与点重合时，最小，如图，四边形是矩形， ， 而， ， ， ， ． 24．见解析 【分析】由DE、DF是△ABC的中位线，得出DE∥AB，DF∥AC，进而证明四边形AEDF是平行四边形，再根据条件∠BAC=90°，证得平行四边形AEDF是矩形即可得出结论． 【详解】证明：∵DE，DF是△ABC的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC=90°， ∴平行四边形AEDF是矩形， ∴EF=AD． 学科网（北京）股份有限公司 $$