第05讲 乘法公式（4知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第05讲 乘法公式（4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：平方差公式 1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 知识点02：平方差公式的应用 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03：完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 知识点04：完全平方公式的应用 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【例1-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【例1-2】运用乘法公式计算的结果是 ． 【例1-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）以下能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）计算： . 【变式1-3】（22-23七年级上·上海静安·期中）简便运算：． 【变式1-4】（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【题型2平方差公式与几何图形】 【例2-1】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【变式2-1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【例3-1】（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【例3-2】（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【例3-3】（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【变式3-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 【例4-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 【例4-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，求与的值． 【例4-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【变式4-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若满足，求的值． 【题型5完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 【例5-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【例6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果整式是一个完全平方式，那么常数 ． 【例6-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 【例6-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若整式是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是 ． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若是一个完全平方式，则 ． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【题型7 整式的混合运算】 【例7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【例7-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：． 【例7-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【例7-4】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【变式7-2】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【变式7-3】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，下列计算中错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 8．（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 9．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算 ． 10．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 11．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，则的值是 ． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 13．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是 ． 14．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 三、解答题 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 16．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 17．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 18．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 19．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 20．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 乘法公式（4知识点+7大核心考点+过关测） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：平方差公式 1、平方差公式定义：两数和与这两数差相乘，等于这两个数的平方差．． （1）．可以表示数，也可以表示式子（单项式和多项式） （2）有些多项式相乘，表面上不能用公式，但通过适当变形后可以用公式： 如： 2、平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． （2）右边是乘式中两项的平方差． 知识点02：平方差公式的应用 （1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）． （2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释． 知识点03：完全平方公式 1、完全平方公式定义：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍．、 2、完全平方公式的特征： （1）左边是两个相同的二项式相乘； （2）右边是三项式，是左边两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍； （3）公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式． 知识点04：完全平方公式的应用 （1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释． （2）常见验证完全平方公式的几何图形 （a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系） 【题型1 运用平方差公式进行运算】 【例1-1】（24-25七年级上·上海黄浦·期中）计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 利用平方差公式计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【例1-2】运用乘法公式计算的结果是 ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式．解题的关键是掌握平方差公式的特征，题中的是公式中的，4是公式中的． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例1-3】（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式进行计算．平方差公式为，解题的关键是把看作公式里的“a”，把看作公式里的“b”，再运用平方差公式进行计算即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【变式1-1】（23-24七年级上·上海青浦·期中）以下能用平方差公式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的特点：两数的和与这两个数的差的积，是解决问题的关键． 利用平方差公式的特点，对每个选项进行分析，即可得出答案． 【详解】A、，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； B、，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； C、，能用平方差公式，故此选项符合题意； D、，不能用平方差公式，故此选项不符合题意； 故选C． 【变式1-2】（22-23七年级上·上海杨浦·期末）计算： . 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查平方差公式，解题关键在于掌握公式的运算法则． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-3】（22-23七年级上·上海静安·期中）简便运算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键． 【变式1-4】（23-24七年级上·上海崇明·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】利用平方差公式逐步计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式，解题的关键是根据算式的形式逐步运用公式计算． 【题型2平方差公式与几何图形】 【例2-1】在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，分别表示出图甲和图乙中的阴影部分面积，再根据图甲和图乙中阴影部分面积相等，即可得到答案． 【详解】解：图甲中阴影部分面积等于大正方形面积减去小正方形面积，即为； 图乙中阴影部分面积为一个长为，宽为的长方形面积，即为； ∵图甲和图乙中阴影部分面积相等， ∴， 故选：C． 【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用，解题的关键是用含、的代数式表示出阴影部分的面积．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为6，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故阴影部分的面积为3． 故答案为：． 【变式2-1】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图①），把余下的部分拼成一个长方形（如图②），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：图甲中阴影部分的面积，图乙中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， 阴影部分的面积． 故选：C． 【变式2-2】（2024七年级上·上海·专题练习）如图，在边长为的正方形正中间剪去一个边长为的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式，利用两种方法表示出图形的面积即可． 【详解】解：第一个图形的面积是， 第二个图形的大平行四边形的面积为， ． 故选：C． 【变式2-3】（24-25七年级上·上海·期中）如图，正方形与正方形的面积之差为，那么阴影部分的面积 ． 【答案】4 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式在几何图形中的应用．设正方形与正方形的边长分别为和，根据两者面积差为8，可得．利用含、的代数式表示出阴影部分的面积，将整体代入即可求解． 【详解】解：设正方形与正方形的边长分别为和， 由题意得：． 由图形可得： ． 故答案为：4． 【题型3 运用完全平方公式进行运算】 【例3-1】（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【例3-2】（23-24七年级上·上海嘉定·阶段练习）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】利用完全平方公式进行计算即可． 本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例3-3】（22-23七年级上·上海普陀·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】先将（a-b）作为一个整体，利用完全平方公式进行展开，再利用完全平方公式和单项式乘多项式将（a-b）去括号，即可得出． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式，能熟练理解和灵活运用完全平方公式是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）下列各式中，能用完全平方公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 利用平方差公式，及完全平方公式判断即可． 【详解】解：A．，此项符合题意； B．，此项不符合题意； C．，此项不符合题意； D．，此项不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】（23-24七年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的乘法运算，，，即可． 【详解】 ． 【变式3-3】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、单项式乘多项式的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式和单项式乘以多项式的计算，先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3-4】（24-25七年级上·上海静安·期末）计算：． 【答案】 【知识点】计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算完全平方公式和多项式乘以多项式，然后合并即可． 【详解】 ． 【题型4 通过对完全平方公式变形求值】 【例4-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）已知，，则 ． 【答案】20 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．根据，结合，，进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：20． 【例4-2】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，，求与的值． 【答案】25，57 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式乘法的完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．根据完全平方公式的变形整体求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例4-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）如图，已知正方形的边长为a，正方形的边长为b，且，点G在边上，连接，交于点H，连接． (1)求阴影部分的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)连接，当，三角形的面积时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、单项式乘多项式的应用 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，完全平方公式的变形求值； （1）根据割补法，结合图形列式，进行计算即可求解； （2）先求出，，根据，将式子的值代入，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）∵， ∴， 由（1）可得 ． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知，，下列计算中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式4-2】（24-25七年级上·上海·期中）已知：，，则代数式的值为 【答案】 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的应用．根据题意得出，求得，将化简为，再整体代入，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式4-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，多形式与多项式的乘法计算，先根据完全平方公式求出，，然后根据多相式的乘法法则把化简后代入计算即可． 【详解】解：当，时 原式 ． 【变式4-4】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）若满足，求的值． 【答案】8 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，先配方得到，进而得出，，再求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵． 【题型5完全平方公式在几何图形中的应用】 【例5-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，点D是线段上一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，设，两个正方形的面积之和，则的面积为 ． 【答案】7 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何应用，找到边与边关系是解答的关键．设，，根据题意得到，，利用完全平方公式求得，进而利用三角形的面积公式可求解． 【详解】解：设，， ∵，两个正方形的面积之和， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴， 故答案为：7． 【例5-2】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）我们知道，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题： (1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积．可以得到代数恒等式：______； (2)若、满足：，，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，代数恒等式与图形的面积，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的几何背景． （1）利用面积相等求解即可； （2）利用（1）的结论，得到方程，求出t的值，再由，求符合条件的t的值即可． 【详解】（1）解：∵图中3个正方形的边长分别为a、b、c， ∴面积分别为， ∵边长为a、b的长方形有两个，边长为a、c的长方形有两个，边长为b、c的长方形有两个， ∴面积分别为， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 解得， ∵， ∴舍去， ∴． 【变式5-1】（24-25七年级上·上海·期中）如图，已知线段，点是线段上一点，分别以、为边作两个正方形． (1)如果，求两个正方形的面积之和； (2)当点是的中点时，求两个正方形的面积之和； (3)当点不是的中点时，比较（1）中的与（2）中的大小． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、列代数式 【分析】此题主要考查列代数式，整式乘法的运算，完全平方公式，解题的关键是熟知完全平方公式的运用． （1）由，则，然后根据代入求解即可； （2）首先求出，然后根据正方形的面积公式求解即可； （3）首先得到，然后计算，进而得到． 【详解】（1）解：∵，则 ∴； （2）解：当点P是的中点时，， ∴； （3）解：当点P不是的中点时，得， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海·期末）图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形． (1)观察图2填空：正方形的边长为________，阴影部分的小正方形的边长为________； (2)观察图2，试猜想式子之间的等量关系； (3)根据（2）中的等量关系，解决如下问题：设，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景进行求解是解决本题的关键． （1）根据图形，正方形的边长为等于小长方形两边的和，阴影部分的正方形的边长等于小长方形两边的差； （2）正方形可以直接用边长的平方求解，也可用阴影正方形的面积加上四个小长方形的面积，由此解答即可； （3）先求得，再利用（2）中的结论求出的值，然后求解即可． 【详解】（1）由图可知 正方形的边长为，阴影部分的正方形的边长为； 故答案为：； （2），理由如下： 由图可知： 正方形的面积为，也等于4个长为m，宽为n的长方形与边长为的阴影部分正方形面积的和，即为， 故得到 （3） ， 又 由（2）得： 【变式5-3】（24-25七年级上·上海·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见，数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在一节数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． (1)情境一：如下图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含a、b的式子分别表示图1和图2中阴影部分的面积，直接写出由此可以得到的乘法公式； (2)情境二：如图3，乙同学用4块A木片、1块B木片和若干块C木片拼成了一个正方形， ①请直接写出所拼正方形的边长（用含a、b的式子表示）：_________． ②直接写出所用C木片的数量：_________块． (3)情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片，2块A，4块B，7块C拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，至少需要从中去掉一块木片才能拼出长方形．你赞同哪位同学的说法，请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形．（要求：所画图形的长宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】(1)图中阴影部分的面积为，图中阴影部分的面积为，乘法公式为 (2)①；②4 (3)长为，宽为，图见解析 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、平方差公式与几何图形、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，等积转换，掌握等积转换的方法是解题的关键． （1）设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； （2）可得，由拼成了一个正方形可得，能用完全平方公式进行因式分解，求解①②即可； （3）能构成长方形，则要能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解． 【详解】（1）解：如图，设等腰梯形的高为，   ， ， 图中阴影部分的面积： ， 图中阴影部分的面积：， ， ， 故可得到的乘法公式为：； （2）解：设乙同学用4块A木片、1块B木片和m块C木片拼成了一个正方形，则该正方形的面积为， 当时，， 所拼正方形的边长为，所用木片的数量为4， 故答案为：①；②4； （3）解：赞同丁同学的说法；去掉个以后， ， 该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图： 【题型6 求完全平方式中的字母系数】 【例6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）如果整式是一个完全平方式，那么常数 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键． 根据完全平方式的结构特征解答即可． 【详解】解：是一个完全平方式， ， ， 故答案为：． 【例6-2】（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）如果关于的整式是完全平方式，那么 ． 【答案】2或． 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解题的关键．根据完全平方式等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案． 【详解】解：∵ ∴ 解得或． 故答案为：2或． 【例6-3】（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）若整式是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式．如果这里首末两项是和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去和1积的2倍，故；如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是，所以；如果该式只有项或1，它也是完全平方式，所以或． 【详解】解：∵；． ∴Q可以是、中任意一个． 故答案为：或． 【变式6-1】（24-25七年级上·上海·阶段练习）若是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题关键．利用完全平方式的结构特征求解即可． 【详解】解：因为是一个完全平方式， 所以， 所以 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个整式的平方，则m的值是 ． 【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方公式“”，熟记完全平方公式是解题关键．根据完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】解：由题意得：， 即， 所以， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海闵行·期中）如果关于的整式是某个整式的平方，那么的值是 ． 【答案】或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查完全平方式，根据是某个整式的平方，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵是某个整式的平方， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：或． 【题型7 整式的混合运算】 【例7-1】（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先利用平方差公式与完全平方公式计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【例7-2】（24-25七年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，先利用平方差公式与完全平方公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 【例7-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，利用平方差公式和完全平方根公式计算即可． 【详解】解： 【例7-4】（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键．先计算完全平方公式、多项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查的是乘法公式的应用，整式的混合运算，先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可． 【详解】解： ； 【变式7-2】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，运用完全平方公式和平方差公式进行计算即可得；掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式7-3】（23-24七年级上·上海·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算，先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开即可． 【详解】解： ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）的运算结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式．变形后根据完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期中）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，根据平方差公式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选C． 3．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列算式中，适合运用完全平方公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式， 先根据整式的乘法法则或公式计算，再根据完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：因为没有运用完全平方公式，所以A不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以B不符合题意； 因为没有运用完全平方公式，所以C不符合题意； 因为运用完全平方公式，所以D符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）我们可以通过拼图、推演得到了整式的乘法法则和公式，通过逆向思考得到了多项式因式分解的方法．如图，将边长为的正方形剪去一个边长为的正方形，再将剩余图形沿虚线剪开，拼成一个长方形，依据这一过程可得到的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，左边一幅图剩下的图形面积等于边长为的正方形面积剪去一个边长为的正方形面积，右边一幅图的面积为一个长为，宽为的长方形面积，再根据左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等即可得到结论． 【详解】解：左边一幅图剩下的图形面积为， 右边一幅图的面积为， ∵左边一幅图剩下的图形面积与右边一幅图的面积相等， ∴， 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）已知，下列计算中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算多项式乘多项式、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查的是完全平方公式及多项式乘以多项式计算，牢记法则和公式是解题关键，根据法则和公式依次计算即可． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故此选项符合题意； D、， ∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 6．（2024七年级上·上海·专题练习）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“友谊数”．下列数中“友谊数”是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式，设较小的奇数为，较大的为，根据题意列出算式，求出解判断即可，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 【详解】解：设较小的奇数为，较大的为， 根据题意得：， 、若，即，不为整数，不符合题意； 、若，即，符合题意； 、若，即，不为整数，不符合题意； 若，即，不为整数，不符合题意； 故选：． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，熟练运用平方差公式是解题关键．根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 8．（24-25七年级上·上海·期中）已知是完全平方式，那么的值为 ． 【答案】1或 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】解：由， ∴，解得或， 故答案为：1或 9．（24-25七年级上·上海静安·期末）计算 ． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完 全平方公式是解题的关键；先将原式变形为，再利用完全平方公式展开得到；然后再次利用完全平方公式展开，从而得到结果． 【详解】原式 故答案为： 10．（24-25七年级上·上海·期中）简便运算： ． 【答案】39996 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，牢记平方差公式的结构特点是解题的关键．利用平方差公式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）已知，，则的值是 ． 【答案】24 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了因式分解的应用．根据平方差公式直接计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：24． 12．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）如果，那么 ． 【答案】/ 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，根据题意得到，利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 13．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）已知，．则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了求整式的值，完全平方公式的应用，非负数的和为零；将两个式子相减得，化为，即可求解；理解非负数的和为零的特征，能将式子化为完全平方和的形式是解题的关键． 【详解】解：①， ② ②①得： ， ， ， ，，，， ，，，， ； 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海·期中）观察下列等式：；；；； 根据上述规律，计算 ． 【答案】 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了平方差公式，认真观察各式，根据指数的变化情况总结规律是解决本题的关键． 观察已知等式得到一般规律：，据此即可计算求值． 【详解】解：由题意可得， ， 故答案为：． 三、解答题 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．运用平方差公式再利用完全平方公式解题即可． 【详解】解： ． 16．（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： 【答案】 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据平方差公式、单项式乘以多项式法则，合并同类法则计算即可． 【详解】解∶原式 ． 17．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，涉及到平方差公式和完全平方公式的应用．按平方差公式特点，把原式变形为，展开后再利用完全平方公式，即可得到结果． 【详解】解： ． 18．（24-25七年级上·上海·期中）利用乘法公式计算： 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题主要考查了乘法公式，先把原式变形为，再利用乘法公式求解即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 19．（24-25七年级上·上海静安·期末）已知，，求的值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方式的知识，掌握以上知识是解题的关键； 本题先求出，再根据完全平方公式拓展公式，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 20．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图3，现有三种类型的卡片： 1号卡片：边长为的正方形卡片； 2号卡片：边长为的正方形卡片； 3号卡片：相邻两边分别为、的长方形卡片，其中． (1)填空：如图4，选取1号卡片1张、2号卡片2张、3号卡片3张，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)．运用面积之间的关系说明图中所表示的数学等式：_____． (2)填空：小明同学想用张1号卡片，张2号卡片，张3号卡片拼出一个面积为的长方形，那么的值为_____． (3)现有1号、2号、3号卡片各5张，请你设计：从这15张卡片中取出若干张，拼成一个最大的正方形(按原纸张进行无空隙、无重叠拼接)，画出你的拼法设计，并写出这个最大的正方形的边长． (4)将某些卡片按照下列两种情形分别放入一个长方形盒子的底部，经测得盒子底部的长方形的长比宽多5． 情形一：将1张1号卡片和1张3号卡片如图5放置，两张卡片的相邻两边分别与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为； 情形二：将1张1号卡片和1张2号卡片如图6放置，两张卡片各有一边与长方形盒子底部的边贴合，纸片间有重叠，记图中阴影部分面积为． 如果，求2号卡片的边长． 【答案】(1) (2)84 (3) (4) 【知识点】单项式乘多项式的应用、多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征以及多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图形的面积即可； （2）根据多项式乘多项式的计算方法求出，再根据各种卡片的面积得出答案； （3）根据完全平方公式以及各个卡片的面积进行解答即可； （4）设长方形的长为，则宽为，分别求出与，再求得，从而得解． 【详解】（1）解：拼成的“大长方形”的长为，宽为，因此面积为，拼成“大长方形”的6个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，所拼成的长方形面积为， 所以需要1号卡片20张，2号卡片21张，3号卡片43张， 即，，， ， 故答案为：84； （3）解：可以拼成边长为的正方形， 答：拼成最大面积的正方形边长为． （4）解：设长方形的长为，则宽为． 由题意：， ， ， ，即2号卡片的边长为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$