精品解析：安徽省安庆市民办同安普通高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷 一、选择题 1. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. －2 B. －1 C. －2i D. －i 2. 已知向量，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 3. 四川省成都市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则这6年的常住人口的第35百分位数为（ ） A. 1633万 B. 1658.1万 C. 2093.77万 D. 2119.2万 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 6. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B. 这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C. 这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D. 这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11. 在三棱锥中，.记二面角、、的大小分别为、、，V为三棱锥的体积，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 13. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 14. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________. 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 16. 《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行.该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远.某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数； （2）在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差. 17. 在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）求第一次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率． 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 设，已知向量，，且. （1）求的值； （2）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷 一、选择题 1. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. －2 B. －1 C. －2i D. －i 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，所以，所以z的虚部为． 故选：B 2. 已知向量，，下列说法错误的是（ ） A. B. C. 与向量平行的单位向量是 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示，结合垂直向量数量积的坐标表示，可得A的正误；结合向量模长的坐标表示，可得B的正误，由数乘计算单位向量，可得C的正误；由投影向量的计算，可得D的正误. 【详解】对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，易知与向量平行的单位向量为，则为或，故C错误； 对于D，易知向量在向量的投影向量为，故D正确. 故选：C. 3. 四川省成都市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则这6年的常住人口的第35百分位数为（ ） A. 1633万 B. 1658.1万 C. 2093.77万 D. 2119.2万 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义，结合图中的数据即可求解. 【详解】因为6×0.35=2.1，取第3年的数据. 所以这6年的常住人口的第35百分位数为1658.1万. 故选：B. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，如图，，此时，故A错误； 对于B，若，面内可以找一条直线，使得； 而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确； 对于C， 如图，，此时，故C错误； 对于D， 如图，，此时，故D错误． 故选：B. 5. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 6. 在中，若，，，则边上的高为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据求出，，由余弦定理求出，根据等面积法求解边上的高. 【详解】设中角所对边为 依题意，，而， 解得，，由余弦定理 故，设边上的高为 故，即， 解得. 故选：B 【点睛】此题考查利用余弦定理解三角形，求出三角形的基本量，通过等面积法求边上的高，根据正切值求正余弦值的时候注意角的取值范围对正余弦值的符号的限制. 7. 已知，若向量与向量互相垂直，则（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得、、、均不为，将两式相除得到，再由及两角和的正切公式计算可得. 【详解】因为，，显然、、、均不为， 所以，即，所以， 所以， 因为向量与向量互相垂直， 所以 则，又，解得. 故选：C 8. 山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处（B，C，N在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为和，在A处测得木塔顶部M的仰角为，则可估算木塔的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，得，在中，得，在中得，代入数值即可求得的值. 【详解】， 在中，， 在中，， 则， 由正弦定理，得，所以， 在中，. 故选：D. 二、多项选择题 9. 某教育行政部门为了解某校教师“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的50位教师，这50位教师12月份的日均得分单位：分统计情况如下表： 得分 频数 5 15 20 10 根据表中数据，下列结论正确的是（ ） A. 这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25 B. 这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例超过 C. 这50位教师12月份的日均得分的极差介于20至40之间 D. 这50位教师12月份的日均得分的平均值介于30至35之间同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数判断A；利用比例判断B；利用极差判断C；利用平均数判断D 【详解】对于A，这50位教师12月份的日均得分在的人数为， 日均得分在的人数为， 因此这50位教师12月份的日均得分的中位数不低于25，A正确； 对于B，这50位教师12月份的日均得分不低于15分的比例为： ，B正确； 对于C，这50位教师12月份日均得分的极差属于，C正确； 对于D，这50位教师12月份的日均得分的平均值为： ，D错误． 故选：ABC 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 11. 在三棱锥中，.记二面角、、的大小分别为、、，V为三棱锥的体积，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三垂线法求二面角，结合垂直关系以及锥体的体积公式逐项分析判断. 【详解】过点作平面，垂足为，过分别作棱的垂线，垂足分别为，连接， 因为平面，平面，则， 又因为，，平面， 所以平面，且平面，可得， 同理平面，， 所以， 可得，且， 即， 整理得，故A正确； 又因为 ， 所以，故C正确； 同选项A分析得：，则， 因为不一定相等，即不一定相等，则不一定相等， 所以不一定相等，故B错误； 同选项C分析得：，显然不一定相等， 所以与不一定相等，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点睛：过点作平面，通过三垂线法求二面角，并建立一个共高的几何关系，根据这个关系分析说明. 三、填空题 12. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解. 【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高， 因为， 则， 故，则， 所以所求体积为. 故答案为：. 13. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 14. 如图，在正方体中，异面直线与所成角的大小为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据异面直线的定义，由，得即为异面直线与所成角的平面角，从而得出所求. 【详解】解：在正方体中， 因为， 所以即为异面直线与所成的角， 所以异面直线与所成角的大小为. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小． （2）若，的面积为，求的周长． （3）若为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合二倍角公式可得，由此可得结果. （2）根据面积公式可得，利用余弦定理求得，即可得到三角形的周长. （3）根据，利用两角差的余弦公式及辅助角公式化简，结合的范围即可求出答案. 【小问1详解】 ∵，∴，即， ∵，∴， ∴，故. 【小问2详解】 由（1）得，， ∵的面积为，∴，即，解得， 由余弦定理得，， ∴，故的周长为. 【小问3详解】 由得，则， ∴ . ∵为锐角三角形，∴，故， ∴，故， ∴，即的取值范围是. 16. 《中华人民共和国爱国主义教育法》已于2024年1月1日起施行.该法以法治方式推动和保障新时代爱国主义教育，对于传承和弘扬民族精神，凝聚力量，推进强国建设、民族复兴，意义重大而深远.某社区为了了解社区居民对《中华人民共和国爱国主义教育法》的了解，针对社区居民举办了一次关于《中华人民共和国爱国主义教育法》的知识竞赛，满分100分（95分及以上为优秀），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据频率分布直方图，估计这20人的年龄的第74百分位数； （2）在第四组和第五组中随机抽取3人，记这3人中年龄在第四组中的人数为X，求X的分布列和数学期望； （3）若第二组社区居民的年龄的平均数与方差分别为26和2，第三组社区居民的年龄的平均数与方差分别为32.5和3.75，求这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差. 【答案】（1）36 （2）X的分布列为： X 1 2 3 P 2 （3）【解析】 【分析】（1）结合频率分布直方图中每组的频率，利用百分位数的定义求解即可； （2）先求出两组的频数，然后确定随机变量的取值及对应的概率，即可求出分布列，根据数学期望的定义求解即可； （3）根据频率比得第二组和第三组分别抽取了7人和6人，结合题目数据根据分层方差公式求解计算即可. 【小问1详解】 由于；， 所以这20人的年龄的第74百分位数为：； 【小问2详解】 由频率分布直方图可知，第四组的人数为人，第五组的人数为人， 随机变量X的取值为1，2，3， 有，， ， 随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 有； 【小问3详解】 由频率分布直方图得各组人数之比为， 故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第二组和第三组分别抽取7人和6人， 设第二组、第三组的社区居民的年龄的平均数分别为，，方差分别为，， 则，，，， 设第二组和第三组所有社区居民的年龄平均数为，方差为， 则， ， 因此，这20人中年龄在区间上的所有人的年龄的方差为. 17. 在一个盒子中有3个红球（分别用，，表示）和2个黑球（分别用，表示），这5个球除颜色外没有其他差异．现采用不放回方式从中依次随机地取出2个球． （1）求第一次取到红球的概率； （2）求两次取到的球颜色相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式求解. 【小问1详解】 两次取球的基本事件为，，共20个， 所以第一次取到红球的概率. 【小问2详解】 两次取到的球颜色相同，分全取红球与全取黑球两个互斥事件， 由（1）可知两次取到红球的概率， 两次取到黑球的概率， 所以两次取到的球颜色相同的概率. 18. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面； （2）证明：由平面，平面，得， 连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 在中，， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】 19. 设，已知向量，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出及的坐标，再根据两向量垂直其数量积为0计算即可； （2）当时，分别求出，及，再根据向量夹角的公式求解即可. 【小问1详解】 由题得， 因为， 所以， 所以， 解得或， 又，所以. 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以， ， 又因为，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $