精品解析：广东省江门市怡福中学2024-2025学年九年级下学期第二次模拟考试数学试题

2024-2025学年第二学期九年级数学科第二次学科素养练习 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 已知x与y互为倒数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知正多边形的每一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 4. 当时，下列函数值y随x增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的方程，则下面说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 6. 车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在第二象限，，，连接交y轴于点P，若，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 12. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为__________． 13. 如图，点A，B，C在圆O上，若，则的度数等于_____． 14. 代数式与代数式的和为1，则_____． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别是边上的点，，，，，则的长是______． 三、解答题（本大题共3小题，每小题-7分） 16. （1）计算： （2）解方程： 17. 【课本再现】 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 【定理证明】 （1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） 【知识应用】 （2）如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是、、的中点，则__________． 18. 据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． （1）问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 19. 某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组号 成绩 频数 频率 1 2 0.04 2 0.1 3 18 0.36 4 9 0.18 5 6 2 0.04 其中这一组的数据如下： 61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表格中______，______，______； （2）这一组数据的众数是_____，中位数是_____，平均分是_____； （3）若全校共有1500名学生参与竞赛，试估计成绩不少于80分的学生人数． 20. 如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F （1）求证：； （2）如图2，若，，求的半径． 21. 如图，直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______． 22. 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级数学科第二次学科素养练习 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 已知x与y互为倒数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，是解决问题的关键． 【详解】解：∵与互为倒数， ∴． 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂除法，积和幂的乘方，合并同类项，根据同底数幂除法，积和幂的乘方，合并同类项法则逐项判断即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误正确，符合题意； 故选：． 3. 已知正多边形的每一个内角为135°，则该正多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先求出每一外角的度数是45°，然后用多边形的外角和为360°÷45°进行计算即可得解． 【详解】解：∵所有内角都是135°， ∴每一个外角的度数是180°-135°=45°， ∵多边形的外角和为360°， ∴360°÷45°=8， 即这个多边形是八边形． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，也是求解正多边形边数常用的方法之一． 4. 当时，下列函数值y随x增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，据此逐项分析，进行作答即可． 【详解】解：A、一次函数的，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的； B、反比例函数的，当时，函数值y随x增大而增大，故该选项是正确的； C、二次函数的，开口向下，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的； D、二次函数的，开口向下，对称轴，当时，函数值y随x增大而减小，故该选项是错误的； 故选：B 5. 已知关于x的方程，则下面说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据方程可得，据此可得答案． 【详解】解：， ， 有两个不相等的实数根， 故选：B． 6. 车间准备加工个零件，在加工了个零件后，引进了新工艺，每天的工作效率提高为原来的倍，结果共用天完成了任务．若设该车间原来每天加工个零件，则由题意可列出方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，得到合适的等量关系是解决问题的关键．根据共用天完成任务，等量关系为：先加工的个零件用的时间引进后新工艺后加工的个零件用的时间，即可列出方程． 【详解】解：设该车间原来每天加工个零件， 根据题意得：， 故选：D． 7. 如图，在中，，，把绕点逆时针方向旋转到，点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理可求，由旋转的性质可得，，，在中，由勾股定理可求的长． 【详解】解：，，， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用等知识，由旋转的性质得出是直角三角形是解题的关键． 8. 如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的应用，熟练掌握一次函数的图像性质是解题的关键． 根据一次函数的交点求出点P的坐标，据此解答即可． 【详解】解：把点代入与得， ， ， ， 直线与相交于点， 关于的方程的解是， 故选：B． 9. 如图，平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，点B在第二象限，，，连接交y轴于点P，若，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，解直角三角形等，求得A点的坐标是解题的关键．根据题意求得，过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，根据平行线分线段成比例定理求得，则，然后通过证得，得出，从而求得m的值，即可求得和 的长，从而求得B点的坐标． 【详解】解：过B点做轴，过A点做轴，它们的交点为D，则，如图： ∵轴，轴， ∴， 设 ，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴或（舍去）， ∵， ， ∴，， ∴， 故选∶C． 10. 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断．利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线与轴的另一个交点为在和之间， 时，，故③错误， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】x≥ 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴5x-1≥0， 解得，x≥， 故答案为：x≥． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 某路口交通信号灯的一个完整周期为60秒．在每个周期中，绿灯时长为25秒，黄灯5秒，红灯30秒．出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，某事件的概率这个事件发生的结果数除以总的结果数．直接利用概率公式计算． 【详解】解：出租车司机小李在通过该路口时，刚好遇上绿灯的概率为． 故答案为：． 13. 如图，点A，B，C在圆O上，若，则的度数等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据圆周角定理，得，再根据三角形内角和性质，列式得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 代数式与代数式的和为1，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据题意得出方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的和为1， ∴， 去分母得，， 解得，，， 经检验，，均为原方程的解， 故答案为：或． 15. 如图，在矩形中，点E，F分别是边上的点，，，，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】作于，设，解直角三角形得出，，从而推出，作于，作于，延长交于，证明出四边形为正方形，再证明，由相似三角形的性质得出，求出，结合正方形的性质得出，同理可得：四边形、为矩形，由矩形的性质得出，，再结合，求出，即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 如图：作于， 则， 设， 在中，，则，， 在，，则， ∴， 作于，作于，延长交于， 则， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：四边形、为矩形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 三、解答题（本大题共3小题，每小题-7分） 16. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）2（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元二次方程： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）移项，利用提公因式法进行因式分解，再进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， ∴或， ∴． 17. 【课本再现】 已知：如图，是的中位线．求证：，且． 【定理证明】 （1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接．请你根据图1中添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线） 【知识应用】 （2）如图②，已知矩形中，，，点P在上从B向C移动，R、E、F分别是、、的中点，则__________． 【答案】 （1）证明：如图①，延长至点F，使得，连接． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴，； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得出，，证明四边形为平行四边形，得出，，即可得解； （2）由矩形的性质可得，，由勾股定理可得，再由三角形中位线定理即可得解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接， ， ∵四边形为矩形，为的中点， ∴，， ∴， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 18. 据工信部有关信息显示，预计到2030年，我国新能源汽车保有量将达到6420万辆．为顺应时代发展，加快公共领域充电基础设施建设，某社区计划在社区相关区域建设一些充电基础设施，经过工程招标，拟定购买A型慢充桩和B型快充桩两种型号．已知A型慢充桩比B型快充桩的单价少1.1万元，且用6.4万元购买A型慢充桩与用24万元购买B型快充桩的数量相等． （1）问A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）社区计划共建设50个A，B型充电桩，平均每个充电桩场地建设费用为5000元，且本项目预算建设总费用不超过60万元，那么安装购买A型慢充桩最少要有多少个？ 【答案】（1）A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元 （2）安装购买A型慢充桩最少个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键 （1）等量关系式：B型快充桩的单价A型慢充桩的单价1.1万元，6.4万元购买A型慢充桩的数量用24万元购买B型快充桩的数量，列出分式方程，即可求解； （2）不等关系式：购买A型慢充桩的费用购买B型快充桩的费用充电桩的场地费，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是（）万元，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义， （万元）， 答：A种型号充电桩的单价是万元，B种型号充电桩的单价是万元； 【小问2详解】 解：设安装购买A型慢充桩个，由题意得 ， 解得：， 是整数， 取， 故安装购买A型慢充桩最少个． 19. 某学校为了解本校学生对我国航天事业的了解情况，在全校范围内开展了航天知识竞赛，学校随机抽取了50名学生的成绩，整理并制成了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图． 组号 成绩 频数 频率 1 2 0.04 2 0.1 3 18 0.36 4 9 0.18 5 6 2 0.04 其中这一组的数据如下： 61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）表格中______，______，______； （2）这一组数据的众数是_____，中位数是_____，平均分是_____； （3）若全校共有1500名学生参与竞赛，试估计成绩不少于80分的学生人数． 【答案】（1）5，14，0.28 （2）64分，63.5分，64分 （3）估计成绩不少于80分的学生人数约为480人． 【解析】 【分析】（1）根据频数频率总数及各组频数之和等于总数求解即可； （2）根据众数、中位数、平均数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：5，14，0.28； 【小问2详解】 解：根据这一组的数据：61，61，61，62，62，63，63，63，63，64，64，64，64，64，67，68，69，69， 可知众数为64（分； 中位数是：（分， 平均数（分， 故答案为：64分，63.5分，64分； 【小问3详解】 解：（人， 答：估计成绩不少于80分的学生人数约为480人． 【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 20. 如图1，是直径，点C在上，连接，过点A作的切线交延长线于点D，点E在上，连接，且，连接交线段于点F （1）求证：； （2）如图2，若，，求的半径． 【答案】（1）证明：∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴； （2）的半径为 【解析】 【分析】（1）由是的切线可求是的切线，由是直径可求，由圆周角定理可证，从而可证； （2）先求出，在中，根据勾股定理求出，证明，利用相似三角形的性质求出，进而可求出半径的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ∵， ∴． ∵是直径， ∴ ∴ 在中，根据勾股定理得 ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解答本题的关键． 21. 如图，直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集______． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式，组成方程组求解即可； （3）利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线经过点、， ∴， 解方程组得． ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与直线相交于点， ∴， 解得． ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知：点C(-3,2)，如图， 由图象可得不等式的解集为． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与不等式的关系，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式、两直线交点坐标就是两直线解析式组成方程组的解、用图象法求不等式解集是解题的关键． 22. 【问题提出】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边和对角线上，，点G，H分别在边和上，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，，点E，F分别在边和对角线上，，求的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在平行四边形中，，点E，F分别在边和对角线上，，，试求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）1； （3） 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，熟练相似三角形的判定和解直角三角形是解题的关键． （1）证明，，即可证明结论； （2）在上截取，连接，作，得到，证明，，证明，得到，则，作于W，设，则，得到，得到，解方程即可； （3）在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设，证明是等边三角形，，，则，得到，同理（2）可得， ，则，作于V，则，得到，则，，得到，，得到，进一步即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图1， 在上截取，连接，作， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于W，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图2， 在上截取，连接，作，作，交的延长线于X，设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形，，， ∴，， 同理（2）可得， ， ∴， 作于V， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $