3 勾股定理的应用-【魔力暑假A计划】2024-2025学年新教材七年级下册数学暑假作业（北师大版2024）

则Sm=2AD.CH=合AC.GD, 3勾股定理的应用 1.C2.D3.C4.D5.D6.B7.A8.12 所以CH=ACCD_5X2-0 AD 13 9号10.10111.16 所以点C到AD的距离为智 12.解：(1)如图①，等腰直角三角形MON即为所求. 13.解：如图，连接AE.设CE=a,则BC Aa,BE=3a. 因为四边形ABCD为正方形， 所以AB=AD=CD=BC=4a,∠B= ∠C=∠D=90. 图① (2)如图②，图③所示（画出其中一种即可） 因为F为CD的中点， 所以DF=CF=2a, 在Rt△ADF中，AF=AD+DF=(4a)F+(2a) =20a2. 同理可得，EF=5a2,AE=25a2. 因为AF+EF=20a+5a2=25a, 图2 即AF+EF=AE, 13.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 所以△AEF为直角三角形，∠AFE是直角。 D 14.解：△ABC是等腰直角三角形.理由如下： 因为△ACE2△BCD, 所以∠EAC=∠DBC,AE=BD,AC=BC 因为CA⊥CB, 又因为AD+BD=DE, 所以∠ACB=90, 所以AD+AE=DE, 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=400m,AC= 所以△AED是直角三角形，且∠EAD=90. 300m, 又因为∠EAD=∠EAC+∠CAB=∠DBC 所以由勾股定理，得AB=AC+BC=3002+400 +∠CAB, =5002, 所以∠ACB=180°-∠DBC-∠CAB=180°一 所以AB=500m. ∠EAD=180°-90°=90°， 因为S△= 所以△ABC是直角三角形. ABCD=2BC·AC 又因为AC=BC, 所以CD= BC·AC400×300 AB 500 =240(m). 所以△ABC是等腰直角三角形 因为240<250， 15.解：因为AC=BC,∠ACB=90°， 所以公路AB段需要暂时封锁. 所以将△ACM绕点C逆时针旋转90°，可得△BCD, 14.解：这辆卡车能通过该工厂的 连接ND,如图， 门.理由如下： 0 则∠A=∠CBD,CM=CD,AM 如图，设点D距厂门的中心线 =BD=a,∠MCD=90° 0.8m,过点D作CH⊥AB,与地23 因为∠MCN=45, 面交于点H,与厂门上方圆弧交 所以∠DCN=∠MCD-∠MCN=45°=∠MCN. 于点C,连接OC. H 又因为CN=CV,所以△MCN≌△DCN(SAS), 2 m 4 易知OC=1m,OD=0.8m,DH=2.3m. 所以MN=DN=x. 在R△OCD中，由勾股定理，得CD=(OC一OD= 因为在等腰直角三角形ABC中，∠A=∠CBA= 1-0.8=0.36, 45,所以∠CBD=∠A=45. 所以∠NBD=∠CBA十∠CBD=90, 所以CD=0.6m, 所以△NBD为直角三角形. 所以CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9(m). 故以x,a,b为边长的三角形是直角三角形. 因为2.9>2.5，所以这辆卡车能通过该工厂的厂门. 94 数学·七年级3勾股定理的应用 【例2】某校计划把一块三 新知导航 角形的废地开辟为植物园，如 勾股定理的实际应用 右图，测得AC=80m,BC= 解决有关勾股定理的实际应用题的关键 60m,AB=100m. 是利用数学中的建模思想构造直角三角形，再 (1)若入口E在边AB上，且与A,B两端 利用勾股定理解决问题。 点的距离相等，求从入口E到出口C的最短路 运用勾股定理及直角三角形判定条件解 线的长（提示：直角三角形斜边上的中线等于 决实际问题的方法： 斜边的一半)： 1.在求高度、长度、距离、宽度时，首先要结 (2)若线段CD是一条水渠，且点D在边 合题意画出符合要求的直角三角形，就是把实 AB上，则点D距点A多远时，水渠最短？ 际问题转化为数学问题，进而把要求的量看成 【分析】解实际生活中的问题，需先将实际 直角三角形的一条边长，然后利用勾股定理进 问题通过建立数学模型转化为数学问题，再利 行求解 用数学知识进行解答.本题转化：在△ABC中， 2.判断一个角是否为直角时，除了根据已 学 AC=80 m,BC=60 m,AB=100 m.(1)AE 知条件推理出这个角为90°外，还可以通过计 =EB,求CE的长：(2)若CD⊥AB,求AD 七 算这个角所在三角形的三条边的长度，结合 的长. 级 “勾股定理的逆定理”来判断. 【解】(1)因为AC=80m,BC=60m,AB= 典例导学 100m,所以AC2+BC=802+602=6400+ 3600=1002=AB, 【例1】在一张长方形纸片 所以△ABC为直角三角形，且AB为 ABCD中，AD=4,AB=8.若 斜边 按如右图所示的方式沿着EF 又因为AE=EB, 折叠，使点B与点D重合，则 DE的长是 所以CE-2AB=号×10=50(m. A.5 R号 c号 D.6 故从入口E到出口C的最短路线的长为 50m. 【分析】根据折叠的性质可知，DE=BE.设 (2)当CD⊥AB时，CD最短. DE=BE=x,则AE=8-x.在Rt△ADE中， 因为∠ACB=90°，CD⊥AB, AD2十AE=DE,即42+(8-x)2=x2,解得x =5.故DE的长是5. 所以Sar=号AB·CD=号AC·BC. 【答案】A 所以CD=48m. 【点拨】在利用勾股定理解决折叠问题时， 在R1△ACD中，因为AC=AD+CD, 常需要列方程求解，利用折叠前后的两个图形 即802=AD十482，所以AD=64m, 全等寻找相等的边，找准直角三角形，将该直 即点D距点A64m时，水渠最短. 角三角形的各边长求出或表示出来，再列方程 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，掌 求解 握勾股定理是解题的关键 64 那么标牌上？处的数字是 达标导练 A.3 B.4 C.5 D.6 一、选择题 1.如图，在水塔O的东北方向24m处有一抽 水站A,在水塔的东南方向18m处有一建筑 工地B.若在AB间建一条直水管，则直水管 AB的长为 ( 24m 第5题图 第6题国 A.40mB.45m C.30mD.35m 6.如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC =4cm,BC=3cm.若将斜边AB翻折，使点 B落在直角边AC的延长线上的点E处，折 痕为AD,则CD的长为 第1题图 第2题因 A.1 cm B.gcm 2.如图，一棵高为8m的树被台风刮断.若树 Cfom D.2 cm 在离地面3m处折断，树顶端刚好落在地面 服 上，则折断后树顶端离树底部 ( 7.如图，有一个由传感器A 第 A.6 m B.3 m C.5m D.4 m 控制的灯，安装在门上方 4.5m 部 3.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的 离地高4.5m的墙上，任 莲花，它高出水面30cm.突然一阵大风吹 何东西只要移至该灯5m 新 及5m以内时，灯就会自 第7随图 过，莲花被吹至一边，花朵（花朵大小忽略不 计)刚好齐及水面，若莲花移动的水平距离 动发光.要使灯刚好发光，一个身高1.5m 习 为60cm,则水深是 ( 的学生要走到离门 A.35 cm B.40 cm C.45 cm D.50 cm A.4m处 B.3m处 C.5m处 D.7m处 30 cm 域二、填空题 8.如图，为测得池塘两岸点A和点B间的距 第3题图 幕4题图 离，一个观测者在C点设桩，使∠ABC= 4.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的 90°，并测得AC=20m,BC=16m,则A,B 内部底面直径是9cm,内壁高12cm.若这支 两点间距离是 m. 铅笔长为18cm,则这支铅笔在笔筒外面部 分的长度不可能是 A.3 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm 5.小颖在家从窗户向外望，看到一人快速地从 第8题图 第9题围 A处到达居住楼B处（如图），直接从边长为 9.如图，在等腰三角形纸片ABC中，AC=BC 24m的正方形草地中穿过.为保护草地，小颖 5,AB=6,D,E分别为AB,AC边上的点，将 计划在A处立一个标牌，并写上标语“少走？ AD边沿DE折叠，使点A落在CD上的点F 米，踏之何忍”.已知B,C两处的距离为7m, 处.当点F与点C重合时，AD= 65 10.《九章算术》是古代 形ABCD的面积没有剩余（画出一种 数学著作，书中记 即可). 1门橙E 载：“今有开门去阔 2 13.公路旁有一块山地正在开发，现有C处需 (kn)一尺，不合二 第10题图 要爆破.已知点C与公路上的停靠站A的 寸.问：门广几何？”题目大意：如图①、图② 距离为300m,与公路上的另一停靠站B的 (图②为图①的俯视示意图)，今推开双门， 距离为400m,且CA⊥CB,如下图.为了安 门框上点C和点D到门槛AB的距离DE 全起见，爆破点C周围250m内不得进入. 为1尺(1尺=10寸)，双门间的缝隙CD为 在进行爆破时，公路AB段是否需要暂时封 2寸，求门宽AB的长.门宽AB的长是 锁？请通过计算进行说明. 寸 11.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会， 点A到MN的直线距离为120m.公路PQ 上点A处距离点O处240m.如果火车行 驶时，周围200m以内会受到噪声的影响， 那么火车在铁路MN上沿ON方向以 数 72km/h的速度行驶时，点A处受噪声影响 的时间为 七 级 P 第11题图 :三、解答题 14.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5m,宽 12.图①、图②是2张形状、大小完全相同的方 1.6m.某工厂的厂门形状及尺寸如下图所 格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均 示（上部是半圆形，下部是长方形）.这辆卡 为1，每个小正方形的顶点叫作格点。 车能否通过该工厂的厂门？请说明理由， 21 图① 围② (1)在图①中，画出等腰直角三角形MON, 使点N在格点上，且∠MON=90°： (2)在图②中，以格点为顶点画出1个正方 形ABCD,使正方形ABCD的面积等于(1) 中等腰直角三角形MON面积的4倍，并将 正方形ABCD分割成以格点为顶点的4个 全等的直角三角形和1个正方形，且正方 66