1 探索勾股定理-【魔力暑假A计划】2024-2025学年新教材七年级下册数学暑假作业（北师大版2024）

4.解：原式=(-m)m1 m+,n为奇数， 一m*,n为偶数。 第五章图形的轴对称 5.解：)原式=()广·a8=6。 1.C2.D3.D4.C5.D6.B7.55°8.C9.D (2)原式=(-1)°·(x)°·(y)=-x“y°. 第会章变量之间的关系 6.解：原式=(3)×(3)2÷31=3+4-=3， 1.D2.B3.D4.B5.A6.A 7.解：原式=-2x2y·3.xy-(-2xy)·2y:十 (-2xy)·1 第四部分新知预习 =-6.x2ye+4x2yg-2x2y. 八年级上册 8.解：m=3,n=5. 第口章 相交线与平行线 第●章勾股定理 1.A2.C3.D 1探索勾股定理 4.D【解析】①如图①，因为AC∥BE,所以∠1=∠A= 1.D2.B3.C4.D5.36.207.13 50.因为BF⊥AD,所以∠AFB=90°，所以∠2=180 8.解：(1)因为在长方形纸片ABCD中，AD∥BC, -∠1-∠AFB=40°，所以∠EBF=180°-∠2= 所以∠B'EF=∠EFB. 140':②如图②，因为AC∥BE,所以∠4=∠A=50, 由折叠的性质，得∠BFE=∠EFB, 因为BF⊥AD.所以∠DFB=90°，所以∠B=90°-50 所以∠B'FE=∠BEF. =40°，综上所述，∠B=40或140， (2)由折叠的性质，得A'B'=AB=4,A'E=AE=3, 所以在Rt△A'B'E中，BE=A'B2+A'E=42+3 =25, 所以BE=5. 周① 图2 9.解：如图，作AD⊥BC于点D.设 5.D6.C7.D8.D BD=x,则CD=14-x. 第目章 概率初步 因为AD=AB-BD,AD=AC -CD. 1.D2.D3.A4.②③5.D6.D 所以AB-BD=AC-CD 第四章三角形 因为AB=15,AC=13. 1.C2.C3.D4.B5.C6.B7.4或88.C 所以15-x2=13-(14-x), 9.C 解得x=9,所以BD=9. 10.D【解析】由全等三角形的判定条件“SAS”证得图中 在R1△ABD中，AD=AB-BD=15-9=144, 两个小三角形全等，A选项不符合题意：由全等三角 所以AD=12, 形的判定条件“SAS”证得图中两个小三角形全等，B 选项不符合题意：如图①，因为∠DEC十∠DEB=∠B 所以Sm=号BC·AD=号×14X12=8L. +∠BDE+∠DEB=180°，所以∠DEC=∠B+ 2一定是直角三角形吗 ∠BDE=a十∠FEC.因为∠B=∠C=a,所以∠BDE 1.B2.A3.C4.C5.C6.1207.45°8.180 =∠FEC,因为BD=CE=3,所以由全等三角形的判 9.1810.90°-a11.√65 定条件“ASA”判定图中两个小三角形全等，C选项不 12.解：(1)在Rt△ABC中，AC=AB十BC=3十4 符合题意：如图②，因为∠DEC+∠DEB=∠B+ ∠BDE+∠DEB=18O°，所以∠DEC=∠B+∠BDE =25, =a+∠FEC.因为∠B=∠C=,所以∠BDE= 所以AC=5. ∠FEC,所以其对应边应该是BE和CF或BD和CE, 因为CD=12,AD=13, 而已知给的是BD=CF=3,所以不能判定两个小三 所以AC+CD=5+12=169=AD, 角形全等，D选项符合题意. 所以△ACD是直角三角形. (2)如图，过点C作CH⊥AD于点H, BS版·参考答案 93第四部分 新知预习 八年级上册 分第白章 勾股定理 1 探索勾股定理 勾股定理时，先拼出图形，找出面积相等，再由 新知导航 面积之间的等量关系，并结合图形特征进行适 一、勾股定理 当变形，进而推导出勾股定理。 直角三角形两直角边 拼图验证勾股定理时，要拼出符合要求的 的平方和等于斜边的平方. c(孩) a(勾） 图形，关键是要注意两点：一是在拼接过程中 如右图所示，如果用a,b和 b(段)C 每一小块图形的位置可以变化，但每块与每块 c分别表示Rt△ABC的两 之间在拼接处线段的长度要相等：二是要尽量 学 直角边和斜边，那么a十b=c2.我国古代把直 拼成规则的图形 七 角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角 年 边称为股，斜边称为弦.因此，上面的结论称为 典例导学 级 勾股定理 【例1】如右图，在 1.勾股定理只有在直角三角形中才适用， △ABC中，AB=AC=20, 如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有 BC=32,D是BC上的一 这种关系。 点，且AD⊥AC.求BD的长 2.运用勾股定理时，一定要先弄清楚哪条 【分析】过点A作AE LBC于点E.根据等 边是斜边，不要混淆斜边和直角边.一般情况 腰三角形的性质，得BE=EC=2BC,再根据 下，在直角三角形中，a,b表示直角边，c表示斜 勾股定理求出AE的长，设DE=x,则CD=16 边，但有时也需要考虑特殊情况， 十x.在Rt△ADE与Rt△ACD中根据勾股定 3.勾股定理的形式：在Rt△ABC中，∠C 理即可得出x的值，进而求出BD的长. =90°，∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,则 c2=a2+b2,a2=c2-b2,b2=c2-a2. 【解】如图，过点A作 AE⊥BC于点E. 二、勾股定理的验证 因为AB=AC 勾股定理的证明方法有很多，可以用测量 计算，也可以用几何证明，还可以用面积法证 所以BE=EC-2BC-2×32=16. 明.在这些证明方法中，根据图形的面积之间 在Rt△ABE中，AB=20,BE=16. 的关系来验证“直角三角形两直角边a,b的平 所以AE=AB2-BE=202-162=144, 方和等于斜边c的平方”是最常见的一种方法. 所以AE=12. 面积法验证勾股定理： 设DE=x,则CD=16+x 面积法是探索勾股定理的有效方法，探索 在Rt△ADE中，AD=AE+DE=144 58 +x2. 半圆的面积为S,直角三角形的面积为S, 因为AD⊥AC,所以在Rt△ACD中，AD 由(2)可知，S+S=S6,所以Sms=S十 +AC=CD2, S+5-5=5=2×3x4=6, 即144+x2+202=(16+x)2, 【点拨】与直角三角形三边相连的正方形、 解得x=9,即DE=9, 半圆及正多边形、圆都具有相同的结论：两直 所以BD=BE-DE=16-9=7. 角边上图形面积的和等于斜边上图形的面积， 【点拨】本题考查的是勾股定理，根据题意 【例3】如右图，在 作出辅助线，构造出直角三角形是解本題的 Rt△ABC中，∠C=90°，AM 关键. 是中线，MN⊥AB,垂足为 【例2】观察图形，回答下列问题： V.试说明：AN-BN2=AC (1)如图①，△DEF为直角三角形，正方形 【分析】在Rt△BNM和Rt△ANM中，利 P的面积为9，正方形Q的面积为15，则正方 用勾股定理可以得到BN=BMP一MN,AN 形M的面积为 =AM-MN,所以BN-AN=(BMP (2)如图②，分别以Rt△ABC的三边长为直 MN2)-(AM-MN)BM-AM. 版 径向三角形外作三个半圆，则这三个半圆的面积 Rt△AMC中，AMP=AC+CMP,代入前面的 之间的关系是 (用图中字母表示)： 第 式子中即可得出结论， (3)如图③，如果直角三角形两直角边的 【解】因为MN⊥AB.所以BV=BMP一 部 长分别为3和4，分别以直角三角形的三边长 MN2,AN=AM-MN2, 为直径作半圆.请你利用(2)中得出的结论求 所以BN-ANP=BMF-AMF 知 阴影部分的面积。 又因为∠C=90°，所以A=AC+CM, 习 所以BN-AN=BM-AC-CMP. 又因为AM是中线， 所以BM=CM,所以BN2-AN2= 图 图2 图3 -AC,即AN2-BN2=AC 【分析】(1)根据正方形的面积公式，结合 【点拨】本题考查了勾股定理、三角形的中 勾股定理可得DF=DE十EF,即正方形M 线；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是 解决本题的关键， 的面积=9+15=24：(2)S=·(9)× 达标导练 一、选择题 股定理可知AC十BC=AB,所以S,十S= 1.(广州期中)在△ABC中，∠A=25°，∠B= S:(3)阴影部分的面积=两个小半圆的面积和 65°，则下列式子成立的是 () 十直角三角形的面积一大半圆的面积.由(2)可 A.AC+AB:=BC B.AB2+BC=AC 知两个小半圆的面积和=大半圆的面积，所以 C.AC-BC2=AB2 D.AC+BC2=AB 阴影部分的面积=直角三角形的面积. 2.如图，阴影部分是两个正方 【解】(1)24(2)S:+S:=S 形，图中还有两个直角三角 12 (3)设两个小半圆的面积分别为S,S,大 形和一个大正方形，则阴影 第2题图 59 部分A,B的面积和为 三、解答题 A.16 B.25 8.如右图，把长方形纸片AB C.144 D.169 CD沿EF折叠，使点B落在 D 3.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾 边AD上的点B处，点A落 股定理，它是我国古代数学的骄傲.如图所 在点A'处 示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角 (1)试说明：∠B'FE=∠BEF; 形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设 (2)若AE=3,AB=4,求B'E的长. 直角三角形较长直角边长为a,较短直角边 长为b.若(a十b)=21,大正方形的面积为 13,则小正方形的面积为 A.3 B.4 C.5 D.6 9.如右图，在△ABC中，AB 15,BC=14,AC=13.求 △ABC的面积. 警 第3题围 第4题 某学习小组经过合作交流， 4.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边 给出了下面的解题思路.请你按照他们的解 七 长均为1，点A,B,C都在格点（小正方形的 年 题思路写出解答过程。 级 顶点)上.若BD是△ABC的高，则BD的长 作AD⊥BC 根据勾股 利用勾股 为 于点D.设 定理，利用 定理求出 A8丽B8Ec8ED.B BD=x,用 AD作为 AD的长， 然二、填空题 含x的代 “桥梁”建 再计算 5.如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于 敏式表示 立方程模 △ABC的 点M,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的 CD. 型求出x. 面积 距离为 第5题图 第6题图 6.已知对角线互相垂直的四边形叫作“垂美” 四边形，现有如图所示的“垂美”四边形AB CD,其对角线AC,BD交于点O.若AD=2, BC=4,则AB+CD= 7.已知在R△ABC中，∠C=90°.若a十b 14cm,c=12cm,则Rt△ABC的面积为 cm2. 60