第1讲 导数的概念及运算-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第三章　一元函数的导数及其应用 第1讲　导数的概念及运算 ⁠ 1.通过实例分析，了解平均变化率、瞬时变化率，了解导数概念的实际背景. 2.通过函数图象，理解导数的几何意义. 3.了解利用导数定义求基本初等函数的导数. 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 5.能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数. ⁠ [对应学生用书P53] 1.导数的概念 （1）如果当Δx→0时，平均变化率⁠⁠　　⁠无限趋近于一个确定的值，即⁠⁠　　⁠有极限，则称y＝f（x）在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f（x）在x＝x0处的⁠⁠　导数　⁠（也称⁠⁠　瞬时变化率　⁠），记作⁠⁠　f'　⁠或⁠⁠　y'　⁠，即f'（x0）＝⁠⁠　　⁠＝⁠⁠　⁠. （2）当x＝x0时，f'（x0）是一个唯一确定的数，当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f（x）的导函数（简称导数），记为f'（x）（或y'），即f'（x）＝y'＝. 　 　 导数　 瞬时变化率　 f'（x0）　 y'　 　 　 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的⁠⁠　斜率　⁠，相应的切线方程为⁠⁠y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）　⁠. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝⁠⁠　0　⁠ f（x）＝xα（α∈R，α≠0） f'（x）＝⁠⁠　α　⁠ f（x）＝sin x f'（x）＝⁠⁠　cos x　⁠ f（x）＝cos x f'（x）＝⁠⁠　－sin x　⁠ 斜率　 y－f（x0）＝f'（x0）（x－x0）　 0　 α　 cos x　 －sin x　 基本初等函数 导函数 f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝⁠⁠　axln a　⁠ f（x）＝ex f'（x）＝⁠⁠　ex　⁠ f（x）＝logax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝⁠⁠　　⁠ f（x）＝ln x f'（x）＝⁠⁠　　⁠ axln a　 ex　 　 　 4.导数的运算法则 若f'（x），g'（x）存在，则有： [f（x）±g（x）]'＝⁠⁠　f'（x）±g'（x）　⁠； [f（x）g（x）]'＝⁠⁠　f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　⁠； '＝⁠⁠　　⁠（g（x）≠0）； [cf（x）]'＝⁠⁠cf'（x）　⁠. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 　 cf'（x）　 5.复合函数的定义及其导数 （1）一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）与u＝g（x）的复合函数，记作y＝⁠⁠f（g（x））　⁠. （2）复合函数y＝f（g（x））的导数和函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为yx'＝⁠⁠　yu'·ux'　⁠，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. f（g（x））　 yu'·ux'　 ⁠⁠ 1.f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数值f（x0）的导数，则（f（x0））'＝0. 2.'＝－（f（x）≠0）. 3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点. 4.函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小｜f'（x）｜反映了变化的快慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) × 答案　(4) × ｜教材衍化｜ 2.（人A选择性必修第二册P62练习T3改编）已知函数f＝xln x，则的值为 （　　） A.2e B.0 C.1 D.e 解析　根据导数定义，得＝f'，又f'＝1＋ln x，所以f'＝1. 答案　C 3.（人A选择性必修第二册P79例6改编）曲线y＝exsin x在x＝0处的切线斜率为（　　） A.0 B.1 C.2 D.－2 解析　y'＝exsin x＋excos x，k＝y'｜x＝0＝1. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（不理解复合函数的导数运算法则致错）函数y＝xln的导数为（　　） A.y'＝2xln B.y'＝ C.y'＝ln＋ D.y'＝ln＋ 解析　因为y＝xln，所以y'＝'＝x'ln＋x'＝ln＋x··'＝ln＋. 答案　D ⁠ [对应学生用书P54] 考点1　导数的运算（题组通关） 1.设函数f（x）满足＝2，则f'＝ （　　） A.－1 B.1 C.－2 D.2 解析　因为＝－2＝－2f'＝2， 所以f'＝－1，故选A. 答案　A ⁠ 4.求下列函数的导数. （1）y＝x2sin x； 解　（1）y'＝（x2）'sin x＋x2（sin x）'＝2xsin x＋x2cos x. （2）y＝ln x＋； 解　（2）y'＝'＝（ln x）'＋'＝－. （3）y＝； 解　（3）y'＝'＝＝－. （4）y＝xsincos. 解　（4）∵y＝xsincos ＝xsin（4x＋π）＝－xsin 4x，∴y'＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x. ⁠ 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 角度3　求参数值（范围） [例3]　（2022·新高考Ⅰ卷T15）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 　　　　　　⁠.  解析　∵y＝（x＋a）ex，∴y'＝（x＋1＋a）ex. 设切点为，则y0＝，切线斜率k＝， 切线方程为y－＝. ∵切线过原点，∴－＝， 整理得＋ax0－a＝0. ∵切线有两条，∴Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0， ∴a的取值范围是∪. 答案　∪ ⁠ 1.处理与切线有关的参数问题，通常利用曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程（组）并解出参数：（1）切点处的导数是切线的斜率；（2）切点在切线上，故满足切线方程；（3）切点在曲线上，故满足曲线方程. 2.求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法. 考点3　导数与函数图象问题（师生共研） [例5]　（1）函数f（x）的图象与其在点P处的切线如图所示，则f－f'＝（　　） A.－2 B.0 C.2 D.4 解析　由题意，切线经过点（2，0），（0，4），可得切线的斜率为k＝＝－2，即f'＝－2. 又由切线方程为y＝－2x＋4，令x＝1，可得y＝2，即f＝2，所以f－f'＝2＋2＝4. 答案　D （2）已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，其中A，B，C为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（　　） A.f'＞f'＞f' B.f'＞f'＞f' C.f'＞f'＞f' D.f'＞f'＞f' 解析　由图可知函数在A点的切线斜率小于0，即f'＜0，在B点的切线斜率等于0，即f'＝0，在C点的切线斜率大于0，即f'＞0， 所以f'＞f'＞f'. 答案　B ⁠ 导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数的大小问题可以用数形结合的思想来解决，观察对应切线的斜率大小即可. 变式训练 1.函数f的图象如图所示，下列数值排序正确的是 （　　） A.f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0 B.f'（1）＜f'（2）＜f'（3）＜0 C.0＜f'（1）＜f'（2）＜f'（3） D.f'（1）＞f'（2）＞0＞f'（3） 解析　由函数f（x）的图象可知， ∵当x≥0时，f（x）单调递增，∴f'（1），f'（2），f'（3）＞0. ∵随着x的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的， ∴f'（1）＞f'（2）＞f'（3）＞0. 答案　A 2.已知函数y＝f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则该函数的图象是 （　　） 解析　由y＝f'（x）的图象是先上升后下降可知，函数y＝f（x）图象的切线的斜率先增大后减小，故选B. 答案　B 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) (3)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (4)若f(x)＝sin (－x)，则f′(x)＝cos (－x).(　　) 5．(混淆“在点”和“过点”而漏解)过点M(1，1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程为________. 解析　因为y＝x3＋1，所以y′＝3x2，设过点M(1，1)的切线与曲线y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)， 根据导数的几何意义，曲线在点P处的切线的斜率为k＝3x， 过点M(1，1)的切线的斜率为， 所以3x＝，解得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝， 因此曲线y＝x3＋1过点M(1，1)的切线方程为y－1＝(x－1)或y＝1，即27x－4y－23＝0或y＝1. 答案　27x－4y－23＝0或y＝1 2.(2023·四川达州·统考一模)已知函数f(x)＝x3－f ′(2)x2＋x－3，则f ′(2)＝(　　) A.－1 B.1 C.－5 D.5 解析　f ′(x)＝x2－2f ′(2)x＋1，令x＝2，得f ′(2)＝4－4f ′(2)＋1，解得f ′(2)＝1. 答案　B 3.(多选)下列各式中正确的有(　　) A.(3x2＋x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x B.(sin )′＝cos C. ＝ D. ＝－ 解析　对于A，因为(3x2＋x cos x)′＝(3x2)′＋(x cos x)′＝6x＋cos x－x sin x，故A正确； 对于B，因为(sin )′＝cos ·()′＝cos ，故B错误； 对于C，因为 ＝＝，故C正确； 对于D，因为 ＝(ln x)′－ ＝＋，故D错误. 答案　AC 考点2 导数的几何意义(多维探究) 角度1　求曲线的切线方程 [例1]　(1)(2023·全国甲卷文科)曲线y＝在点处的切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝x C.y＝x＋ D.y＝x＋ 解析　设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k(x－1)， 因为y＝，所以y′＝＝，所以k＝y′|x＝1＝， 所以y－＝(x－1)，所以曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋. 答案　C (2)(2023·北京东城·统考一模)过坐标原点作曲线y＝ex－2＋1的切线，则切线方程为(　　) A.y＝x B.y＝2x C.y＝x D.y＝ex 解析　由函数y＝ex－2＋1，可得y′＝ex－2， 设切点坐标为(t，et－2＋1)，可得切线方程为y－(et－2＋1)＝et－2(x－t)， 把原点(0，0)代入方程，可得0－(et－2＋1)＝et－2(0－t)，即(t－1)et－2＝1， 解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x. 答案　A 角度2　求切点的坐标 [例2]　(2023·山东烟台·三模)过坐标原点作曲线y＝(x＋2)ex的切线，则切点的横坐标为________. 解析　由y＝(x＋2)ex可得y′＝(x＋3)ex，设切点坐标为(x0，y0)， 所以切线斜率k＝(x0＋3)e.又因为y0＝(x0＋2)e， 则切线方程为y－(x0＋2)e＝(x0＋3)e(x－x0)， 把(0，0)代入并整理可得x＋2x0－2＝0，解得x0＝－1＋或x0＝－1－. 答案　－1＋或－1－ 角度4　公切线问题 [例4]　(2024·新课标全国Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝__________． 解析　由y＝ex＋x得y′＝ex＋1，y′|x＝0＝e0＋1＝2， 故曲线y＝ex＋x在(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1； 由y＝ln (x＋1)＋a得y′＝， 设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)， 由两曲线有公切线得y′＝＝2，解得x0＝－，则切点为， 切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2， 根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. 答案　ln 2 变式训练 1．过点(0，3)且与曲线y＝x3－2x＋1相切的直线方程为(　　) A．x－y－3＝0 B．x－y＋3＝0 C．x＋y＋3＝0 D．x＋y－3＝0 解析　由y＝x3－2x＋1，得y′＝3x2－2.设切点坐标为(x0，x－2x0＋1)，则切线的斜率k＝3x－2，切线方程为y－(x－2x0＋1)＝(3x－2)(x－x0).由切线过点(0，3)，代入切线方程解得x0＝－1，所以切线方程为y－2＝x＋1，即x－y＋3＝0. 答案　B 2．若曲线y＝－3ln x在x＝x0处的切线的斜率为，则x0＝________． 解析　由y＝－3ln x，得y′＝x－(x＞0)，故x0－＝，解得x0＝3或x0＝－2(舍去)，故x0＝3. 答案　3 3．设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为________． 解析　∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax， ∴在点(0，1)处的切线斜率k＝y′|x＝0＝2ae0＝2a， 又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直， ∴2a×2＝－1，∴a＝－. 答案　－ $$