自主培优3 函数奇偶性的拓广性质及应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 自主培优3　函数奇偶性的拓广性质及应用 对应学生用书P30 　　函数的奇偶性是高考的重点内容之一，特别是与函数其他性质的综合应用更加突出，这类问题从通性通法的角度来处理，显得较为繁琐，若能灵活利用函数的奇偶性的性质，常能达到化难为易、事半功倍的效果.以下归纳出奇、偶函数的一组性质及其应用. 性质一　　若函数f（x）是奇函数，且g（x）＝f（x）＋c，则g（－x）＋g（x）＝2c [典例1]　（1）设函数f＝的最大值为a，最小值为b，则a＋b＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 解析　∵f＝＝1＋， 函数u＝为奇函数， 由于奇函数的图象关于原点对称，∴u＋u＝0， 从而f＋f＝a＋b＝＋＝2，故选D. 答案　D （2）设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1，x2∈D，且x1＋x2＝2a，恒有f＋f＝2b，则称函数f（x）具有对称性，其中点（a，b）为函数y＝f（x）的对称中心.研究函数f（x）＝x＋1＋＋tan（x－1）的对称中心，则f＋f＋f＋…＋f＝ （　　） A.2 022 B.4 043 C.4 044 D.8 086 解析　令函数g（t）＝t＋＋tan t，则g＝－t－＋tan＝－＝－g， 所以函数g（t）为奇函数，其图象关于原点对称， 可得f（x）＝x－1＋＋tan（x－1）＋2的图象关于点（1，2）中心对称， 即当x1＋x2＝2时，可得f＋f＝4. ＋…＋ ＝2 022×4＝8 088，所以f＋f＋f＋…＋f＝4 044. 答案　C ⁠ 解决这类问题的关键在于仔细观察，洞彻函数的结构，然后对函数进行变形，构造出一个奇函数，利用函数值的特征求值. 性质二　若函数f（x）为偶函数，则f（x）＝f（｜x｜） [典例2]　（1）函数f（x）＝2｜x｜＋x2，则不等式f（2x－1）＜f（x－2）的解集为 　　　　⁠.  解析　显然f（－x）＝2｜－x｜＋（－x）2＝2｜x｜＋x2＝f（x），f（x）是偶函数， 当x≥0时，f（x）＝2x＋x2是增函数， 所以不等式f（2x－1）＜f（x－2）⇔f（｜2x－1｜）＜f（｜x－2｜），即｜2x－1｜＜｜x－2｜， （2x－1）2＜（x－2）2，3x2－3＜0，解得－1＜x＜1. 答案　（－1，1） （2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x＜0时，f（x）单调递增.若实数a满足f（3－｜a＋1｜）＞f，则a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意可知，f（x）为偶函数，且在（－∞，0）上单调递增， 所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.又因为f（3－｜a＋1｜）＞f＝f， 所以0＜3－｜a＋1｜＜，化简整理，得3－｜a＋1｜＜， 所以－｜a＋1｜＜－，解得a＜－或a＞－， 故a的取值范围为∪. 答案　∪ ⁠ 利用偶函数f（x）的性质f（x）＝f（｜x｜）可以避免繁杂的讨论，减少计算量，在解函数不等式中经常用到. 性质三　函数f（x＋a）是偶函数可得函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；函数 f（x＋a）是奇函数，可得函数f（x）的图象关于点（a，0）对称 [典例3]　（1）已知定义在R上的函数y＝f（x）满足f（－x）＝－f（x），函数y＝ f（x＋1）为偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x＋a），则f（2 022）＋ f（2 023）＝ （　　） A.－1 B.1 C.504 D.无法确定 解析　因为函数y＝f（x）的定义域为R，且f（－x）＝－f（x）， 所以函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数， 所以f（0）＝log2a＝0，解得a＝1， 即f（x）＝log2（x＋1），f（1）＝log22＝1. 因为y＝f（x＋1）为偶函数，所以f（x＋1）＝f（－x＋1）， 即y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称. 又y＝f（x）满足f（－x）＝－f（x）， 所以f（x＋1）＝－f（x－1），则f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝ f（x）， 即函数y＝f（x）是周期函数，周期为4，则f（2 022）＋f（2 023）＝f（2）＋f（3）＝－f（0）－f（1）＝－1. 答案　A （2）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x＋a）－b为奇函数.由此结论可求f（x）＝＋＋…＋的对称中心为（　　） A.（1 011，1 011） B.（－1 011，2 021） C. D. 解析　由题知，设f（x）的对称中心为（a，b），则y＝f（x＋a）－b为奇函数. 即[f（－x＋a）－b]＋[f（x＋a）－b]＝0，即f（x＋a）＋f（－x＋a）－2b＝0. 又f（x）＝＋＋…＋＝2 021－， 所以f（x＋a）＝2 021－， f（－x＋a）＝2 021－＝2 021－， 则f（x＋a）＋f（－x＋a）－2b ＝4 042－－2b＝0恒成立， 则a＝－1 011，b＝2 021. 答案　B ⁠ 函数的奇偶性是特殊的对称性，利用f（x＋a）是奇函数或偶函数可以得到函数f（x）图象的对称性，进而可以结合图象求解问题. $$