第9讲 函数模型及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第9讲　函数模型及其应用 ⁠ 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异，理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义. 2.通过收集、阅读一些现实生活、生产实际等数学模型，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用. ⁠ [对应学生用书P48] 1.六种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0） “对勾”函数模型 y＝x＋（a为常数，a＞0） 2.三种函数模型性质比较 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0， ＋∞）上的单调性 ⁠⁠　增函数　⁠ ⁠⁠　增函数　⁠ ⁠⁠　增函数　⁠ 增长速度 ⁠⁠　越来越快　⁠ ⁠⁠　越来越慢　⁠ 相对平稳 图象的变化 随x值增大，图象与⁠⁠　y轴 　⁠接近平行 随x值增大，图象与⁠⁠　x轴　⁠接近平行 随n值变化而不同 增函数　 增函数　 增函数 越来越快　 越来越慢　 y轴 x轴 3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 ⁠⁠ 1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 2.“对勾”函数f（x）＝x＋（a＞0）在（0，＋∞）上的性质：在（0，]上单调递减，在[，＋∞）上单调递增，当x＝时，f（x）取最小值2. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) × 3.（人A必修第一册P155习题4.5T9改编）声强级L（单位：dB）与声强I的函数关系式为L＝10 lg，若女高音的声强级是75 dB，普通女性的声强级为45 dB，则女高音声强是普通女性声强的 （　　） A.10倍 B.100倍 C.1 000倍 D.10 000倍 解析　设女高音声强为I1，普通女性声强为I2，则10lg＝75，所以＝107.5①，10lg＝45，所以＝104.5②，则①÷②，得＝1 000，故女高音声强是普通女性声强的1 000倍. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（指数函数、对数函数性质不明致误）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长.已知a个这种病毒在t天后将达到aeλt个，且经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍.若再过t天后病毒的数量达到原来的8倍，则t＝ （　　） A.4 B.8 C.12 D.16 解析　由题意得ae4λ＝2a，∴λ＝，即f＝a. 设经过t天后，病毒的数量达到原来的8倍，则有a＝8a，解得t＝12. 所以再过12－4＝8（天），病毒的数量达到原来的8倍. 答案　B 5.（平均增长率概念不清致误）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为 　　　　⁠.  解析　设年平均增长率为x，则（1＋x）2＝（1＋p）（1＋q），所以x＝－1. 答案　－1 ⁠ [对应学生用书P49] 考点1　用函数的图象刻画变换过程（师生共研） [例1]　（1）如图所示，△OAB是边长为2的等边三角形，直线x＝t截这个三角形位于此直线左方的图形面积为y（见图中阴影部分），则函数y＝f的大致图象为（　　） 解析　根据题意，△OAB是边长为2的等边三角形，则A点的坐标为（1，），B点的坐标为（2，0），所以直线OA的方程为y＝x，直线AB的方程为y＝－（x－2）， 所以当0≤t≤1时，y＝f（t）＝×t×t＝； 当1＜t≤2时，y＝f（t）＝×2×－（2－t）×（2－t）＝－（2－t）2； 当t＞2时，y＝f（t）＝×2×＝，它的图象如D选项所示，故选D. 答案　D （2）某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系 t＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时.已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下三个结论，其中，所有正确结论的个数是 （　　） ①该食品在6 ℃的保鲜时间是8小时； ②当x∈时，该食品的保鲜时间t随着x增大而减少； ③到了此日15时，甲所购买的食品还在保鲜时间内. A.2 B.3 C.0 D.1 解析　由题意可得，当x＝4 ℃时，保鲜时间是16小时，即24k＋6＝16，解得k＝ －0.5， ①当x＝6 ℃时，t＝＝8，故保鲜时间是8小时，故①正确； ②当x∈时，t＝2－0.5x＋6为减函数，则该食品的保鲜时间t随着x增大而减少，故②正确； ③在某日上午10时，温度为8度，此时保鲜时间为2－0.5×8＋6＝4小时，到了此日15时，已经过了保鲜时间，所以甲所购买的食品不在保鲜时间内，故③不正确. 答案　A ⁠ 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法： （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案. ⁠ 已知或选择函数模型解决实际问题的注意点 （1）已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题. （2）选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点（增减、增长快慢）等选用合适的函数模型. 考点3　构建函数模型解决实际问题（多维探究） 角度1　构建二次函数、分段函数模型 [例3]　第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.本届奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目和自由式滑雪大跳台，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪和自由式滑雪大跳台之外的所有雪上项目，冬奥会的举办带动了我国3亿人次的冰雪产业，这为冰雪设备生产企业带来了新的发展机遇，某冰雪装备器材生产企业，生产某种产品的年固定成本为2 000万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（万元）. 经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本C（x）＝x2＋10x＋1 100；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本C（x）＝120x＋－5 400.每千件产品售价为100万元，为了简化运算我们假设该企业生产的产品能全部售完. （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； 解　（1）当0＜x＜100时，L＝100x－x2－10x－1 100－2 000＝－x2＋90x－3 100； 当x≥100时，L＝100x－－2 000＝－20x－＋3 400. 所以L＝ （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？ 解　（2）当0＜x＜100时，L＝－x2＋90x－3 100＝－（x－90）2＋950. 当x＝90时，L取得最大值，且最大值为950； 当x≥100时，L＝－20x－＋3 400＝－20＋1 600≤ －20（2）＋1 600＝1 000，当且仅当x＝105时，等号成立. 因为1 000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1 000万元. 角度2　构建指数、对数函数模型 [例4]　（2023·陕西渭南·二模）近些年，我国在治理生态环境方面推出了很多政策，习总书记明确提出大力推进生态文明建设，努力建设美丽中国！某重型工业企业的生产废水中某重金属对环境有污染，因此该企业研发了治理回收废水中该重金属的过滤装置，废水每通过一次该装置，可回收20%的该重金属.若当废水中该重金属含量低于最原始的5%时，至少需要经过该装置的次数为（参考数据：lg2≈0.301） （　　） A.11 B.12 C.13 D.14 解析　设废水中最原始的该重金属含量为a，则经过x次该装置过滤后，该重金属含量为a·＝a·.根据题意知a·＜0.05a，即＜0.05，两边取常用对数，得x＞＝≈＝≈13.4.所以x取最小整数为14. 答案　D ⁠ （1）在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤： ①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型. ②建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. ③解模：求解函数模型，得出数学结论. ④还原：将数学结论还原为实际意义的问题. （2）通过对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学知识和方法构建函数模型解决问题，提升数学建模核心素养. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)不存在x0，使a<x<logax0.(　　) (3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>1)的增长速度．(　　) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P149例4改编)碳14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物体内的碳14含量大致不变，当生物死亡后，其组织内的碳14开始衰变并逐渐消失．已知碳14的半衰期为5730年，即生物死亡t年后，碳14的残余量C(t)＝C0，其中C0为活体组织中碳14的初始量．科学家一般利用碳14这一特性测定生物死亡年代.2023年科学家发现某生物遗体中碳14的残余量约为初始量的80%，依据计算结果并结合下图中我国历史朝代的时间轴可推断该生物死亡的朝代为(参考数据：lg 2≈0.301 0)(　　) A．西汉 B．东汉 C．三国 D．晋朝 解析　由题意知C0 ＝0.8C0，所以lg ＝lg ， 所以t＝5 730×，所以t≈5 730×≈1 847. 2 023－1 847＝176，故对应死亡的朝代为东汉． 答案　B 变式训练 1．(2025·呼和浩特模拟)某工厂从2016年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图象可能是(　　) 解析　由题意可得图象的几何特征为从左向右看每个点的切线斜率应逐渐减小，然后斜率变为一个固定的值，符合此特征的只有选项B中的图象． 答案　B 2．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BC－CD－DA向点A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　) 解析　依题意，知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x.观察四个选项知D项符合要求． 答案　D [例2]　(1)(2023·甘肃武威·统考三模)2022年8月，中科院院士陈发虎带领他的团队开始了第二次青藏高原综合科学考察.在科考期间，陈院士为同行的科研人员讲解专业知识，在空气稀薄的高原上开设了“院士课堂”.已知某地大气压强与海平面大气压强之比为b，b与该地海拔高度h(单位：米)满足关系：b＝e－kh(k为常数，e为自然对数的底).若科考队算得A地b＝，海拔8 700米的B地b＝，则A，B两地的高度差的绝对值约为(ln 3≈1.1，ln 2≈0.7)(　　) A.3 164米 B.4 350米 C.5 536米 D.6 722米 考点2 已知函数的模型解决实际问题(师生共研) 解析　设A地海拔高度为h1，由已知可得e＝，e－8 700k＝， 则kh1＝ln 2，8 700k＝ln 3，所以h1＝＝ln 2×＝， 所以|h2－h1|＝8 700－≈3 164(米). 答案　A (2)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3＝100p0 D.p1≤100p2 解析　由题意可知，L∈[60，90]，L∈[50，60]，L＝40， 对于选项A，可得L－L＝20×lg －20×lg ＝20×lg .因为L≥L，则L－L＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确； 对于选项B，可得L－L＝20×lg －20×lg ＝20×lg . 因为L－L＝L－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥， 所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3， 当且仅当L＝50时，等号成立，故B错误； 对于选项C，因为L＝20×lg ＝40，即lg ＝2， 可得＝100，即p3＝100p0，故C正确； 对于选项D，由选项A可知，L－L＝20×lg ，且L－L≤90－50＝40， 则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100，且p1，p2>0，所以p1≤100p2， 故D正确.故选ACD. 答案　ACD 变式训练 1．(2025·赤峰模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的(　　) A．6倍 B．102倍 C．103倍 D．106倍 解析　设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1， 里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2， 则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8； lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8， ＝＝103. 答案　C 2．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤ 0.1 mg/m3为安全范围．已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝λe＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)(　　) A．32天 B．33天 C．34天 D．35天 解析　依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05， 即6.05＝λe ＋0.05，解得λ＝6，所以μ(t)＝6e ＋0.05， 由μ(t)＝6e ＋0.05≤0.1，得e ≤， 即－≤ln ，即≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6， 又t∈N，所以tmin＝34， 故至少需要放置的时间为34天． 答案　C 变式训练 1．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为N＝N0e－kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的(　　) A．49% B．51% C．65.7% D．72.9% 解析　依题意，得(1－30%)×N0＝N0e－2k，解得e－2k＝0.7.因此前6小时过滤后剩余污染物数量为N＝N0e－6k＝N0(e－2k)3＝N0×0.73＝0.343N0，所以前6小时共能过滤掉污染物的比例为＝65.7%. 答案　C 2．某工厂生产某种零件的固定成本为20 000元，每生产一个零件要增加投入100元，已知总收入Q(单位：元)与产量x(单位：个)满足函数Q(x)＝ (1)将利润P(单位：元)表示为产量x的函数(总收入＝总成本＋利润)； (2)当产量为何值时，零件的单位利润最大？最大单位利润是多少元(单位利润＝利润÷产量)? 解　(1)当0≤x≤400时，P(x)＝400x－x2－20 000－100x＝－x2＋300x－20 000； 当x＞400时，P(x)＝80 000－100x－20 000＝60 000－100x. 故P(x)＝ (2)设零件的单位利润为g(x)，由(1)可得g(x)＝ 当0≤x≤400时，g(x)＝300－≤300－2＝100， 当且仅当＝，即x＝200时，等号成立； 当x＞400时，g(x)＝－100＜50. 故当产量为200个时，零件的单位利润最大，最大单位利润是100元． $$