第8讲 函数与方程-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第8讲　函数与方程 ⁠ 1.理解函数的零点与方程的解的联系. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解. ⁠ [对应学生用书P45] 1.函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f（x），我们把使⁠⁠　f（x）＝0　⁠的实数x叫做函数y＝f（x）的零点. f（x）＝0　 （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： x轴 f(x)=0 2.函数零点存在定理 （1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②⁠⁠　f（a）f（b）　⁠＜0. （2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⁠⁠　f（c）＝0　⁠，这个c也就是方程f（x）＝0的解. f（a）f（b）　 f（c）＝0　 ⁠⁠ 1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”，而是方程f（x）＝0的实根. 2.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的）在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）f（b）＜0，如图所示，所以f（a）f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件. 3.周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) × 3.（人A必修第一册P144练习T2改编）函数f（x）＝x＋log2x的零点所在的区间为（　　） A. B. C. D. 解析　由已知得f（x）＝x＋log2x为（0，＋∞）上的递增函数， f＝＋log2＝－log23＜0， f＝＋log2＝－＜0， f＝＋log2＝－log23＝＞0，f（1）＝1＞0， 由零点存在定理可知，f（x）在区间内存在零点，故选C. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（不会利用函数的图象致误）方程＝lox的解的个数为 （　　） A.0 B.1 C.2 D.3 解析　在同一坐标系内，作出y＝与y＝lox的图象，如图： 由图象可知，方程只有一个解. 答案　B 5.（忽视二次项系数为0致误）若函数y＝ax2－2x＋1只有一个零点，则实数a的值为 　　　　⁠.  解析　当a＝0时，y＝－2x＋1，有唯一零点； 当a≠0时，由题意可得Δ＝4－4a＝0，解得a＝1. 综上，实数a的取值为a＝0或a＝1. 答案　0或1 ⁠ [对应学生用书P46] ⁠ 判断函数零点问题的策略 （1）利用零点存在定理：对图象连续不断的函数，根据区间端点对应函数值的正负判断零点； （2）利用图象：画出函数图象，利用图象的交点判断零点个数； （3）结合函数单调性判断零点个数. 角度2　根据零点的范围求参数的范围 [例4]　（2024·济南模拟）若函数f＝alog2x＋a·4x＋3在区间内有零点，则实数a的取值范围是 （　　） A. B. C. D. 解析　函数f（x）定义域是， 因函数y＝log2x，y＝4x在上都是单调递增的，而f＝a（log2x＋4x）＋3， 当a＞0时，f在（0，＋∞）上单调递增；当a＜0时，f在（0，＋∞）上单调递减；当a＝0时，f＝3无零点， 于是得当a≠0时，函数f＝alog2x＋a·4x＋3在（0，＋∞）上连续且单调. 因函数f在区间内有零点，则由零点存在定理有f·f（1）＜0，即（－a＋2a＋3）（4a＋3）＜0，解得－3＜a＜－， 所以实数a的取值范围是. 答案　C ⁠ 根据函数零点求参数的常用方法 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围. （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决. （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列说法的正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点．(　　) (2)连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)>0，则f(x)在区间(a，b)上没有零点．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(　　) (4)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P155习题4.5 T2改编)函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 A．2 B．3 C．4 D．5 解析　由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点． 答案　B 考点1 函数零点的判断(多维探究) 角度1　函数零点所在区间的判断 [例1]　(2024·云南昆明·模拟)函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为(　　) A. B. C. D. 解析　∵y＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，y＝－logx在(0，＋∞)上单调递增， ∴函数f(x)＝x－logx＋1在(0，＋∞)上单调递增. ∵f ＝－log＋1＝－<0， f ＝－log＋1＝－log23＝log216－log227<0， f ＝－log＋1＝>0， ∴函数f(x)＝x－logx＋1的零点所在的区间为. 答案　C 角度2　函数零点个数的判断 [例2]　(1)(2023·河北唐山·一模)已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－的零点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令g(x)＝0得f(x)＝，在同一直角坐标系中作出f(x)，y＝的大致图象如下： 由图象可知，函数y＝f(x)与y＝的图象有3个交点， 即函数g(x)有3个零点.故选C. 答案　C (2)(2023·河南濮阳·模拟)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－1，则在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－log2(x＋2)＝0的根的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　因为f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f(x－2)＝f(x＋2)， 所以f(x－2)＝f(x＋2)＝f(2－x)，即f(x)＝f(x＋4)，所以函数f(x)的周期为4. 当x∈[0，2]时，则－x∈[－2，0]，此时f(－x)＝－1＝f(x)， 即f(x)＝2x－1，x∈[0，2]. 由f(x)－log2(x＋2)＝0，x∈(－2，6]，得f(x)＝log2(x＋2)，分别作出函数y＝f(x)和y＝log2(x＋2)，x∈(－2，6]的图象，如图所示， 则由图象可知两个函数的图象的交点个数为4个，即方程f(x)－log2(x＋2)＝0的零点个数为4个. 答案　D 变式训练 1．函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析　方法一：因为函数f(x)是增函数，且f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3＞0，所以由函数零点存在定理，得函数f(x)的零点位于区间(2，3)上．故选C. 方法二：函数f(x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f(x)的零点在(2，3)内． 答案　C 2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　) A．9 B．10 C．11 D．18 解析　由题意，分别画出函数y＝f(x)和y＝|lg x|的图象，如图所示． 由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|的图象共有10个交点，故原函数有10个零点． 答案　B 考点2 函数零点的应用(多维探究) 角度1　根据零点的个数求参数的范围 [例3]　(2023·北京西城·统考一模)设c∈R，函数f(x)＝若f(x)恰有一个零点，则c的取值范围是(　　) A.(0，1) B.{0}∪[1，＋∞) C. D.{0}∪ 解析　画出函数g(x)＝的图象如下图所示： 函数f(x)＝可由g(x)＝分段平移得到， 易知当c＝0时，函数f(x)恰有一个零点，满足题意； 当c<0时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当c>0时，图象往下平移，当0<2c<1时，函数有两个零点； 当2c≥1时，f(x)恰有一个零点，满足题意， 即c≥. 综上可得c的取值范围是∪. 答案　D 变式训练 1．函数f(x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是(　　) A．0<a<3 B．1<a<3 C．1<a<2 D．a≥2 解析　因为函数y＝2x，y＝－在(0，＋∞)上均单调递增，所以函数f(x)＝2x－－a在(0，＋∞)上单调递增，由函数f(x)＝2x－－a的零点在区间(1，2)内，得f(1)f(2)＝(2－2－a)(4－1－a)＝a(a－3)<0，解得0<a<3. 答案　A 2．(2025·大连模拟)已知函数f(x)＝的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点，则实数k的取值范围是(　　) A． B．(0，＋∞) C． D．(0，2] 解析　如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线y＝k－x， 由k－x＝x2＋2x＋2可得， x2＋3x＋2－k＝0， Δ＝9－8＋4k＝0，解得k＝－， 故当k＝－时， 直线y＝－－x与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)相切； 当k＝0时，直线y＝－x经过点(0，0)， 且与曲线y＝x2＋2x＋2(x≤0)有2个不同的交点； 当k＝2时，直线y＝2－x经过点(0，2)， 且与f(x)的图象有3个不同的交点． 由图分析可知，当k∈(0，2]时，f(x)的图象与直线y＝k－x有3个不同的交点． 答案　D $$