第7讲 函数的图象-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第7讲　函数的图象 ⁠ 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. ⁠ [对应学生用书P41] 1.利用描点法作函数的图象 步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）；（4）列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线. 2.利用图象变换法作函数的图象 （1）平移变换 （2）对称变换 y＝f（x）的图象⁠y＝⁠⁠　－f（x）　⁠的图象； y＝f（x）的图象⁠y＝⁠⁠　f（－x）　⁠的图象； y＝f（x）的图象⁠y＝⁠⁠　－f（－x）　⁠的图象； y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象⁠y＝⁠⁠　logax　⁠（a＞0，且a≠1）的图象. （3）伸缩变换 y＝f（x）⁠y＝f（ax）. y＝f（x）⁠y＝Af（x）. －f（x）　 f（－x）　 －f（－x）　 logax　 （4）翻折变换 y＝f（x）的图象⁠y＝⁠⁠　｜f（x）｜　⁠的图象； y＝f（x）的图象⁠y＝⁠⁠　f（｜x｜）　⁠的图象. ｜f（x）｜　 f（｜x｜）　 ⁠⁠ 1.记住几个重要结论 （1）函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图象关于直线x＝a对称. （2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）中心对称. （3）若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f（a－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. 2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换. 3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) × 答案　(4) × ｜易错自纠｜ 4.（辨识函数图象易误）函数f＝·在区间上的图象可能是（　　） 解析　∵f＝·＝f，∴f是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B选项；∵f＝2＝f，∴f在[0，2]上不单调，排除D选项. 答案　C 5.（函数图象平移法则理解不清致误）已知f＝ln，把f的图象向左平移2个单位长度，再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变）得到函数g的图象，则g＝ 　　　　⁠.  解析　根据左加右减原理，把f的图象向左平移2个单位长度可得ln＝ln（－x）， 再把图象上每一点的横坐标缩短一半（纵坐标不变），则g＝ln（－2x）. 答案　ln ⁠ [对应学生用书P42] ⁠ ⁠ 1.抓住函数的性质，定性分析：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从周期性，判断图象的循环往复；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性. 2.抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 角度2　解不等式 [例4]　已知定义在R上的奇函数f在上的图象如图所示，则不等式x2f＞2f的解集为 （　　） A.∪ B.∪ C.∪（－，0）∪（，2） D.∪∪ 解析　根据奇函数的图象特征，作出f在上的图象如图所示， 由x2f＞2f，得f＞0，等价于或 解得x＜－2或＜x＜2，或－＜x＜0.故不等式解集为∪（－，0）∪（，2）. 答案　C ⁠ 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间如图象的函数，其性质（单调性、奇偶性、周期性、最值（值域）、零点）常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2.利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝|f(x)|为偶函数．(　　) (2)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位长度得到．(　　) (3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (4)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P139 T4改编)函数f(x)＝1－(x≠0)的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数图象的对称中心为________. 解析　将f(x)＝1－(x≠0)的图象向左平移1个单位长度得y＝1－(x≠－1)的图象，再将所得图象向上平移1个单位长度得到y＝2－(x≠－1)的图象，即得到函数图象的对称中心为(－1，2). 答案　(－1，2) 3.(人A必修第一册P85练习T1改编)已知图1中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图2中的图象对应的函数可能是(　　) A.y＝f(|x|) B.y＝|f(x)| C.y＝f(－|x|) D.y＝－f(－|x|) 解析　因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧得来的，所以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|).故选C. 答案　C 考点1 作函数的图象(师生共研) [例1]　作出下列函数的图象： (1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝x2－2|x|－1. 解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图1实线部分. (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2. (3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图3. 1.描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. 2.图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 变式训练 作出下列各函数的图象： (1)y＝； (2)y＝|x2－4x－5|； (3)y＝－1. 解　(1)原函数解析式可化为y＝2＋，故函数图象可由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图所示． (2)y＝|x2－4x－5|的图象可由函数y＝x2－4x－5的图象保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图所示． (3)y＝－1，其图象可看作由函数y＝的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到， 而y＝＝其图象可由y＝的图象保留x≥0时的图象，然后将该部分关于y轴对称得到，则y＝－1的图象如图所示． 考点2 函数图象的识别(师生共研) [例2]　(1)(2023·河北保定·统考一模)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析　因为f(x)＝是由g(x)＝向左平移一个单位得到的， 又因为g(－x)＝＝g(x)(x≠0)， 所以函数g(x)＝为偶函数，图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于x＝－1对称，故可排除A，D选项； 又当x<－2或x>0时,2ln |x＋1|>0,(x＋1)2>0，所以f(x)>0，故可排除C选项，故选B. 答案　B (2)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) 解析　f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin (－x)＝－x2＋(ex－e－x)sin x＝f(x)， 又函数定义域为[－2.8，2.8]，故该函数为偶函数，可排除AC. 又f(1)＝－1＋sin 1>－1＋sin ＝－1－>－>0， 故可排除D. 答案　B 解析　因为f(x)＝(2x－2－x)sin x的定义域为R，f(－x)＝(2－x－2x)sin (－x)＝(2x－2－x)sin x ＝f(x)，故f(x)为偶函数，排除AC.当x＝时，y＝ ＞0，排除D.故选B. 变式训练 1．(2024·临沂模拟)函数y＝(2x－2－x)sin x在区间[－π，π]上的图象大致为(　　) 答案　B 2.(2023·天津卷)函数f(x)的图象如下图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 解析　由图知，函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(－2)＝f(2)<0， 由＝－且定义域为R，即选项B中函数为奇函数，排除； 当x>0时，>0，>0，即选项A、C中(0，＋∞)上函数值为正，排除．故选D. 答案　D 考点3 函数图象的应用(多维探究) 角度1　研究函数的性质 [例3]　(多选)关于函数f(x)＝|ln |2－x||，下列描述正确的有(　　) A.函数f(x)在区间(1，2)上单调递增 B.函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称 C.若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，则x1＋x2＝2 D.函数f(x)有且仅有两个零点 解析　由函数y＝ln x，x轴下方图象翻折到上方可得函数y＝|ln x|的图象， 将y轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数y＝|ln |x||＝|ln |－x||的图象， 将函数图象向右平移2个单位，可得函数y＝|ln |－(x－2)||＝|ln |2－x||的图象， 则函数f(x)＝|ln |2－x||的图象如图所示. 由图可得函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，A正确； 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，B正确； 若x1≠x2，但f(x1)＝f(x2)，若x1，x2关于直线x＝2对称，则x1＋x2＝4，C错误； 函数f(x)有且仅有两个零点，D正确. 答案　ABD 角度3　求参数的取值范围 [例5]　已知函数f(x)＝当x∈[a，b]时，1≤f(x)≤3，则b－a的最大值是________. 解析　令－x2＋2＝1(x≤1)，解得x＝±1；令x＋－1＝3(x>1)，解得x＝2＋， ∴f(x)图象如下图所示， 由图象可知，a∈[－1，1]，b＝2＋，∴(b－a)max＝2＋－(－1)＝3＋. 答案　3＋ 变式训练 1．(2024·天津模拟)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0) 解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝ 画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是单调递减的． 答案　C 2．(2024·江西南昌期中)已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝f(x－2)＋1，则不等式f(x)<g(x)的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) 解析　由题知f(x)＝＋1＝g(x)＝f(x－2)＋1＝在同一平面直角坐标系下画出f(x)，g(x)的图象如图所示． 由图可知f(x)<g(x)的解集为(－∞，1). 答案　A $$