第6讲 对数与对数函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第6讲　对数与对数函数 ⁠ 1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数. ⁠ [对应学生用书P38] 1.对数的概念 （1）定义：一般地，如果ax＝N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做⁠⁠　以a为底N的对数　⁠，记作⁠⁠　x＝logaN　⁠，其中a叫做⁠⁠　对数的底数　⁠，N叫做⁠⁠真数　⁠. （2）常用对数与自然对数 以a为底N的 对数　 x＝logaN　 对数的底数　 真数　 2.对数的运算性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么： （1）loga（MN）＝⁠⁠logaM＋logaN　⁠. （2）loga＝⁠⁠logaM－logaN　⁠. （3）logaMn＝⁠⁠　nlogaM　⁠（n∈R）. 3.换底公式 logab＝（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0）. logaM＋logaN　 logaM－logaN　 nlogaM　 4.对数函数的概念 一般地，函数y＝⁠⁠　logax（a＞0，且a≠1）　⁠叫做对数函数，其中⁠⁠　x　⁠是自变量，函数的定义域是⁠⁠（0，＋∞）　⁠. logax（a＞0，且a≠1）　 x　 （0，＋∞）　 (0，＋∞) (1，0) 1 0 减函数 增函数 　 　 　 　 　 ⁠ 1.换底公式的三个重要结论 （1）logab＝；（2）lobn＝logab；（3）logab·logbc·logcd＝logad. 2.对数函数的图象与底数大小的关系 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到此规律：在第一象限内与y＝1相交的对数函数从左到右底数逐渐增大. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) × 答案　(4) √ ｜易错自纠｜ 4.函数f＝log2的图象为 （　　） 解析　函数f＝log2的定义域为∪，可以排除选项B、C； 由f＝log2＝log2＝f， 可知函数f（x）为偶函数，其图象应关于y轴对称，可以排除选项D. 答案　A 5.不等式lox＞lo的解集为 　　　　⁠.  解析　因为lox＞lo，则解得0＜x＜2. 因此，原不等式的解集为. 答案　 ⁠ [对应学生用书P39] 考点1　对数式的化简与求值（题组通关） 1.已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝ （　　） A.25 B.5 C. D. 解析　因为2a＝5，b＝log83＝log23，即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝. 答案　C 3.设5a＝2b＝10，则＋＝ 　　　　⁠，＋＋的值为 　　　　⁠.  解析　由5a＝2b＝10，得a＝log510，b＝log210， 所以＝lg 5，＝lg 2，所以＋＝lg 5＋lg 2＝1， ＋＋＝＋lg 5·lg 2＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1. 答案　1　1 4.log381－log98·log23－＋lg＋lg＝ 　　　⁠.  解析　原式＝log334－·log32·log23－3＋lg＝4－－3＋＝0. 答案　0 ⁠ 对数式化简与求值的基本原则和方法 （1）基本原则：对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行. （2）两种常用的方法 ①“收”：将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数； ②“拆”：将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）. ⁠ （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项. （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点3　对数函数的性质及应用（多维探究） 角度1　比较大小 [例2]　（2021·天津卷）设a＝log20.3，b＝lo0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为 （　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.a＜c＜b 解析　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0. ∵lo0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1， ∴b＞1. ∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b. 答案　D 角度2　解对数不等式 [例3]　已知实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1，则不等式loga＜loga的解集为 　　　　⁠.  解析　由实数a＞0，且满足53a＋2＞54a＋1， 根据指数函数的单调性，可得3a＋2＞4a＋1，解得0＜a＜1， 所以函数y＝logax为单调递减函数， 则不等式loga＜loga， 可得解得＜x＜， 即不等式的解集为. 答案　 角度3　对数函数性质的综合应用 [例4]　已知函数f（x）＝log2的图象关于原点对称，其中a为常数. （1）求a的值； 解　（1）函数f（x）＝log2的图象关于原点对称，则函数f（x）＝log2为奇函数，有f（－x）＝－f（x）， 即log2＝－log2，解得a＝±1，当a＝1时，不满足题意，所以a＝－1. （2）当x∈[2，4]时，f（x）＜log2（x＋k）恒成立，求实数k的取值范围. 解　（2）由f（x）＜log2（x＋k），得log2＜log2（x＋k），即k＞－x. 令g（x）＝－x＝1＋－x，易知g（x）在x∈[2，4]上单调递减， 则g（x）的最大值为g（2）＝1.又当x∈时，f（x）＜log2（x＋k）恒成立， 即k＞－x在x∈恒成立，所以k＞1. ⁠ 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 5.对数函数的图象及性质 项目 0<a<1 a>1 图象 性质 定义域 ________________ 值域 R 定点 过定点____________，即x＝________时，y＝________ 单调性 在(0，＋∞)上是____________ 在(0，＋∞)上是____________ 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (3)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．(　　) (4)函数y＝ln 与y＝ln (1＋x)－ln (1－x)的定义域相同．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P133例3改编)已知实数a＝log32，b＝log23.4，c＝log28.5，则(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 解析　因为0<a＝log32<1<b＝log23.4<c＝log28.5，所以a<b<c. 答案　A 3．(人A必修第一册P139练习T4改编)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，且a≠1)的部分图象如图所示，则下列结论成立的是 ________．(填序号) ①a>1，c>1；②a>1，0<c<1；③0<a<1，c>1；④0<a<1，0<c<1. 解析　由图可知，函数在定义域内为减函数，所以0<a<1.又当x＝0时，y>0，即logac>0，所以0<c<1. 答案　④ 2.计算：＝________. 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝＝1. 答案　1 考点2 对数函数的图象及应用(师生共研) [例1]　(1)已知函数f(x)＝loga(3x＋b－1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(　　) A.0<a－1<b<1 B.0<b<a－1<1 C.0<b－1<a<1 D.0<a－1<b－1<1 解析　由题可得a>1，所以0<a－1<1.又当x＝0时，y＝logab，结合图象可得－1<logab<0，即－1＝loga<logab<loga1＝0，所以0<a－1<b<1. 答案　A (2)(2024·黑龙江哈尔滨·模拟)已知函数f(x)＝|ln x|.若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是(　　) A.(4，＋∞) B.[4，＋∞) C.(5，＋∞) D.[5，＋∞) 解析　由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|.根据函数y＝|ln x|的图象及0<a<b，得－ln a＝ln b，0<a<1<b，所以＝b. 令g(b)＝a＋4b＝4b＋，根据对勾函数的图象与性质易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5，故a＋4b>5.故选C. 答案　C 变式训练 1．(2024·浙江宁波联考)若a－2>a2(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x－1)的图象大致是(　　) 解析　∵a－2>a2(a>0，且a≠1)，∴0<a<1，∴对数函数y＝logax在(0，＋∞)上为减函数．将函数y＝logax的图象向右平移1个单位长度得到函数f(x)＝loga(x－1)的图象，因此，C选项中的图象为函数f(x)＝loga(x－1)的图象． 答案　C 2．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A．[10，12] B．(10，12] C．(10，12) D．[10，12) 解析　不妨设a<b<c，作出函数f(x)的图象，如图所示， 由图象可知0<a<1<b<10<c<12， 由f(a)＝f(b)，得|lg a|＝|lg b|， 即－lg a＝lg b， ∴lg ab＝0，则ab＝1， ∴abc＝c，又10<c<12， ∴abc的取值范围是(10，12). 答案　C 变式训练 1．设a＝log6254·log25，b＝cos ，c＝π－1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．b<a<c C．a<c<b D．c<b<a 解析　由已知得a＝log6254·log25＝·＝， 因为cos <cos <cos ，所以<cos <， 又c＝π－1∈，所以c<a<b. 答案　A 2．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)单调递减，则不等式f(log(2x－5))>f(log38)的解集为________. 解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以可将f(log (2x－5))>f(log38)化为|log (2x－5)|>|log38|， 即log3(2x－5)>log38或log3(2x－5)<－log38＝log3， 即2x－5>8或0<2x－5<，解得x>或<x<. 答案　∪ 3．(多选)已知函数f(x)＝ln ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析　f(x)＝ln ，令>0，解得x>或x<－， ∴f(x)的定义域为∪， 又f(－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数，故A正确，B错误； f(x)＝ln ＝ln ，令t＝1＋，t>0且t≠1，y＝ln t， ∵t＝1＋在上单调递减，且y＝ln t为增函数， ∴f(x)在上单调递减，故C正确； ∴y＝ln t的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故D正确． 答案　ACD $$