第5讲 指数与指数函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第5讲　指数与指数函数 ⁠ 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画出指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用. ⁠ [对应学生用书P34] 1.根式的概念及性质 （1）概念：式子叫做⁠⁠　根式　⁠，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. 根式　 （2）①⁠⁠　负数　⁠没有偶次方根. ②0的任何次方根都是0，记作＝⁠⁠0　⁠. ③（）n＝⁠⁠　a　⁠（n∈N*，且n＞1）. ④＝a（n为大于1的奇数）. 负数　 0　 a　 ⑤＝｜a｜＝⁠⁠（n为大于1的偶数）. 2.分数指数幂 规定：正数的正分数指数幂的意义是＝⁠⁠　　⁠（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；正数的负分数指数幂的意义是＝⁠⁠　　⁠（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂⁠⁠没有意义　⁠. 3.指数幂的运算性质 实数指数幂的运算性质：aras＝⁠⁠　　⁠；（ar）s＝⁠⁠　ars　⁠；（ab）r＝⁠⁠　arbr　⁠，其中a＞0，b＞0，r，s∈R. 没有意义　 　 ars　 arbr　 ⁠ (0，＋∞) (0，1) y>1 0<y<1 y>1 0<y<1 增函数 减函数 =⁠⁠ 1.画指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），. 2.指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究. 3.在第一象限内，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象越高，底数越大. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) × 3.（人A必修第一册P119习题4.2T6改编）设a＝0.60.5，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则下列a，b，c的大小关系正确的是 （　　） A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析　y＝0.6x是减函数，所以1＞0.60.5＞0.61.5，1.5＞1，0.6＞0，1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（不明指数函数的图象性质致误）如图是指数函数（1）y＝ax；（2）y＝bx；（3）y＝cx；（4）y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是 　　　　⁠.  解析　作直线x＝1，由图可得c1＞d1＞1＞a1＞b1，即c＞d＞1＞a＞b. 答案　c＞d＞1＞a＞b 5.（忽略指数函数的值域致误）函数f（x）＝2x－1的值域为 　　　　⁠.  解析　因为y＝2x，x∈R的值域为（0，＋∞），所以函数f（x）＝2x－1的值域为（－1，＋∞）. 答案　（－1，＋∞） ⁠ [对应学生用书P36] 考点1　指数的运算（题组通关） 1.已知10m＝2，10n＝3，则1＝ （　　） A. B. C. D. 解析　根据题意，得＝103m－2n＝103m×10－2n＝×＝23×3－2＝， 因为1＞0，所以1＝＝. 答案　D 2.毛衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－kt.若新丸经过50天后，体积变为a，则一个新丸体积变为a需经过的时间为 （　　） A.125天 B.100天 C.75天 D.50天 解析　由题意知a＞0，当t＝50时，有a＝a·e－50k. 即＝，得e－k＝.所以当V＝a时，有a＝a·e－kt. 即＝＝，得＝.所以t＝75. 答案　C 3.1.×＋80.25×＋（×）6－＝ 　　　　⁠.  解析　原式＝＋×＋22×33－＝2＋108＝110. 答案　110 4.已知＋＝，则＝ 　　　　⁠.  解析　＋＝，两边同时平方，得x＋x－1＋2＝5，所以x＋x－1＝3， 对x＋x－1＝3两边同时平方，得x2＋x－2＋2＝9，x2＋x－2＝7， 则＝＝－. 答案　－ ⁠ （1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. （2）当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. （3）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. ⁠ （2）已知函数f＝若实数a，b，c满足a＜b＜c，且f＝f＝f，则2a＋c＋2b＋c的取值范围为 （　　） A. B. C. D. 解析　作出函数f的图象，如图， 当x＜0时，f＝＝1－2x∈， 由图可知，f＝f＝f∈，即4－c∈， 得3＜c＜4，则8＜2c＜16. 由f＝f，即＝，得1－2a＝2b－1，求得2a＋2b＝2， ∴2a＋c＋2b＋c＝2c＝2×2c∈，故选D. 答案　D ⁠ 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. （2）若ea＋πb≥e－b＋π－a，则下列结论一定成立的是 （　　） A.a＋b≤0 B.a－b≥0 C.a－b≤0 D.a＋b≥0 解析　∵ea＋πb≥e－b＋π－a，∴ea－π－a≥e－b－πb，① 令f（x）＝ex－π－x，则f（x）是R上的增函数， ①式即为f（a）≥f（－b），∴a≥－b，即a＋b≥0. 答案　D （2）（多选）已知函数f（x）＝，则下列结论正确的有 （　　） A.f（x）的图象关于坐标原点对称 B.f（x）的图象关于y轴对称 C.f（x）的最大值为1 D.f（x）在定义域上单调递减 解析　因为f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A正确； 因为f（1）＝＝－，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），所以f（x）不是偶函数，图象不关于y轴对称，故B不正确； 因为f（x）＝－＝－1＋，又3x＞0，所以3x＋1＞1，所以0＜＜2， 所以f（x）∈（－1，1），故C不正确； 因为f（x）＝－＝－1＋，且y＝3x为增函数，所以f（x）在定义域（－∞，＋∞）上单调递减，故D正确. 答案　AD 角度4　指数函数的最值（值域）问题 [例5]　（1）函数f＝的值域为 （　　） A. B. C. D. 解析　令t＝－x2＋2x，则t＝－（x－1）2＋1≤1，因为y＝在R上单调递减， 所以y≥，故函数f＝的值域为，故选C. 答案　C （2）已知函数f（x）＝的图象关于点对称，则a＝ 　　　　⁠，f（x）的值域为 　　　　⁠.  解析　依题设f（x）＋f（－x）＝1，则＋＝1， 整理得（a－1）[4x＋（a－1）·2x＋1]＝0.所以a－1＝0，则a＝1. 因此f（x）＝＝1－. 由于1＋2x＞1，∴0＜＜1，∴0＜f（x）＜1. 故f（x）的值域为（0，1）. 答案　1　（0，1） ⁠ 1.比较指数式的大小的方法是：（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；（2）不能化成同底数的，一般引入“0或1”等中间量比较大小. 2.指数方程（不等式）的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 3.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 提醒　在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 4.指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 ______________ 性质 过定点 ，即x＝0时，y＝1 当x>0时， ； 当x<0时， 当x<0时， ； 当x>0时， 在(－∞，＋∞)上是 在(－∞，＋∞)上是 y＝ax与y＝的图象关于y轴对称 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)与()n(n∈N*)都等于a.(　　) (2)2a·2b＝2ab.(　　) (3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(　　) (4)分数指数幂a 可以理解为个a相乘．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P114例1改编)已知函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，a≠1)的图象经过点(2，3)，那么这个函数也必定经过点(　　) A． B． C．(1，2) D． 解析　由题意得，a＋1＝3，∴a＝2，∴f(x)＝2x－1＋1，代入各选项中点的坐标，易知C正确． 答案　C 考点2 指数函数的图象及应用(师生共研) [例1]　(1)(2023·陕西咸阳·二模)函数f(x)＝的大致图象为(　　) 解析　依题意可得f(x)＝＝又e>1，则根据指数函数图象即可判断只有选项B符合. 答案　B 变式训练 1．(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．0<a<b 解析　由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示， 由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，故选项A正确； 作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，故选项B正确； 作出直线y＝m，当0<m<1时，若3a＝6b＝m，则a<b<0，故选项C正确； 当0<a<b时，易得2b>1，则3a<3b<2b·3b＝6b，故选项D错误． 答案　ABC 2．若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________． 解析　在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示． ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点． ∴实数b的取值范围是(0，2). 答案　(0，2) 答案　D 考点3 指数函数的性质及应用(多维探究) 角度1　比较指数式的大小 [例2]　(1)(2023·天津卷)若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 解析　由y＝1.01x在R上递增，则a＝1.010.5<b＝1.010.6，由y＝x0.5在[0，＋∞)上递增，则a＝1.010.5>c＝0.60.5，所以b>a>c. 角度2　解简单的指数方程或不等式 [例3]　(2023·上海青浦·统考一模)不等式2<的解集为________. 解析　函数y＝2x在R上单调递增，则2<⇔2<2－3(x－1)⇔x2－2x－3<－3(x－1)，即x2＋x－6<0，解得－3<x<2，所以原不等式的解集为(－3，2). 答案　(－3，2) 角度3　与指数函数有关的复合函数的单调性 [例4]　(1)函数y＝的单调递增区间是(　　) A. B. C. D. 解析　函数y＝是实数集上的减函数，因为二次函数y＝－x2＋x＋2的开口向下，对称轴为x＝，所以二次函数y＝－x2＋x＋2在上单调递增，在上单调递减，由复合函数的单调性，可得函数y＝的单调递增区间是.故选C. 答案　C 变式训练 1．若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 解析　∵函数y＝0.3x在R上是减函数，∴0.30.7<0.30.3. 又∵幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7<1.2， ∴0.30.3<0.70.3<1.20.3，∴c>b>a. 答案　B 2．(2024·山西模拟)若不等式4x－2x＋1＋a>0对任意x∈R都成立，则实数a的取值范围是________. 解析　原不等式可化为a>－4x＋2x＋1对x∈R恒成立，令t＝2x，则t>0，∴y＝－4x＋2x＋1＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1， 当t＝1时，ymax＝1，∴a>1. 答案　(1，＋∞) 3．若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________. 解析　令t＝ax2＋2x＋3，则y＝. 因为y＝在R上单调递减，且f(x)的值域是， 所以t＝ax2＋2x＋3的最小值为2，则a>0且＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]， 故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]. 答案　(－∞，－1] $$