第3讲 函数的奇偶性、周期性与对称性-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第3讲　函数的奇偶性、周期性与对称性 ⁠ 1.理解函数奇偶性的含义. 2.了解函数的最小正周期的含义. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. ⁠ [对应学生用书P26] f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2.函数的周期性 （1）周期函数：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么就称函数y＝f（x）为周期函数，称T为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的⁠⁠　最小　⁠正周期. 最小　  ⁠⁠ 1.函数周期性的常用结论 对f（x）定义域内任一自变量的值x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）. （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）. （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）. 2.对称性的四个常用结论 （1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称. （2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称. （3）若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f（a＋x）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）时，则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.  （4）若函数y＝f（x）满足f（x）＋f（2a－x）＝2b，则y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称.特别地，当b＝0时，即f（a＋x）＋f（a－x）＝0或f（x）＋f（2a－x）＝0时，则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) √ 3.（人A必修第一册P203练习T4改编）若函数f满足f＝f，且当x∈时，f＝3－x＋1，则f＝ （　　） A. B.10 C.4 D.2 解析　由f＝f，得f＝f，∴函数f是周期函数，且4是它的一个周期.又当x∈时，f＝3－x＋1，∴f＝f＝f＝9＋1＝10，故选B. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（判定函数奇偶性忽视定义域致误）函数f（x）＝是 　　　　　⁠函数.（填“奇”“偶”“非奇非偶”）  解析　由得－1＜x＜0或0＜x＜1，即f （x）的定义域为（－1，0）∪（0，1）， 所以f （x）＝，所以f （－x）＝＝－ f （x），所以f （x）是奇函数. 答案　奇 5.（不能灵活利用函数性质致误）已知函数f对任意实数x都有f（1－x）＝f，当x＞1时，f＝，则f（－1）＝ 　　　　⁠.  解析　f（1－x）＝f，取x＝2得到f（－1）＝f＝＝. 答案　 ⁠ [对应学生用书P27] 考点1　函数的奇偶性（多维探究） 角度1　函数奇偶性的判断 [例1]　判断下列函数的奇偶性. （1）f（x）＝x3－；（2）f（x）＝； （3）f（x）＝＋； （4）f（x）＝ 解　（1）原函数的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f（－x）＝（－x）3－＝－＝－f（x），从而函数f（x）为奇函数. （2）由得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域是{x｜－2＜x＜2}，关于原点对称. 因此f（x）＝＝lg（4－x2），所以f（－x）＝f（x），因此函数f（x）是偶函数. （3）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.又f（－1）＝f（1）＝0， f（－1）＝－f（1）＝0， 所以f（x）既是奇函数又是偶函数. （4）如图，作出函数f（x）的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数 f（x）为奇函数. ⁠ 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： （1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或 f（x）－ f（－x）＝0（偶函数））是否成立. ⁠ ⁠ 1.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. 2.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 考点2　函数的周期性（师生共研） [例3]　（2022·新高考Ⅱ卷）若函数f（x）的定义域为R，且f（x＋y）＋f（x－y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝ （　　） A.－3 B.－2 C.0 D.1 解析　因为f＋f＝ff，令x＝1，y＝0可得，2f＝ff，所以f＝2；令x＝0可得，f＋f＝2f，即f＝f，所以函数f为偶函数；令y＝1，得f＋f＝ff＝f， 即有f＋f＝f，从而可知f＝－f，f＝－f，故f＝f，即f＝f，所以函数f的一个周期为6. 因为f＝f－f＝1－2＝－1，f＝f－f＝－1－1＝－2，f＝f＝f＝－1，f＝f＝f＝1，f＝f＝2， 所以一个周期内的f＋f＋…＋f＝0.由于22除以6余4， 所以f＝f＋f＋f＋f＝1－1－2－1＝－3. 答案　A ⁠ 1.判断函数的周期性只需证明f（x＋T）＝f（x）（T≠0），便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. 2.根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT（k∈Z且k≠0）也是函数的周期. 考点3　函数的对称性（师生共研） [例4]　（2022·全国乙卷）已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）＋ g（2－x）＝5，g（x）－f（x－4）＝7.若y＝g（x）的图象关于直线x＝2对称， g（2）＝4，则f（k）＝ （　　） A.－21 B.－22 C.－23 D.－24 因为g（x）－f（x－4）＝7，所以g（x＋4）－f（x）＝7.又f（x）＋g（2－x）＝5， 联立，得g＋g＝12， 所以y＝g（x）的图象关于点中心对称. 因为函数g（x）的定义域为R，所以g＝6. 因为f（x）＋g（x＋2）＝5， 所以f＝5－g＝－1. 所以f（k）＝f（1）＋f（2）＋[f（3）＋f（5）＋…＋f（21）]＋[f（4）＋f（6）＋…＋f（22）]＝－1－3－10－10＝－24. 答案　D ⁠ 对称性的三个常用结论 （1）若函数f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝对称. （2）若函数f（x）满足f（a＋x）＝－f（b－x），则y＝f（x）的图象关于点对称. （3）若函数f（x）满足f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则函数f（x）的图象关于点对称. 考点4　函数性质的综合应用（多维探究） 角度1　单调性与奇偶性 [例5]　（1）（2024·山东日照·模拟）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.5），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.b＜a＜c D.b＜c＜a 解析　因为f（x）是奇函数且在R上是增函数，所以当x＞0时，f（x）＞0， 从而g（x）＝xf（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上是增函数. a＝g（－log25.1）＝g（log25.1）， 20.5＜2，又4＜5.1＜8，则2＜log25.1＜3，所以0＜20.5＜log25.1＜3， 所以g（20.5）＜g（log25.1）＜g（3），所以b＜a＜c. 答案　C ⁠ 1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小； 2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f（x1）＞f（x2）的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1＜x2（或x1＞x2）求解. 角度2　奇偶性与周期性 [例6]　（2023·江西鹰潭·二模）已知f是定义在R上的奇函数，若f为偶函数且f＝2，则f＋f＋f＝ （　　） A.－2 B.4 C.－4 D.6 解析　因为f是定义在R上的奇函数，且f为偶函数， 所以f＝－f，f＝0且f＝f， 则f＝f，即－f＝f， 所以f＝f＝－f＝f，即f是以6为周期的周期函数. 又f＝2，f＝－f＝－2， 所以f＝f＝f＝－2， f＝f＝f＝－f＝－2， f＝f＝f＝0， 所以f＋f＋f＝－4.故选C. 答案　C ⁠ 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解. ⁠ 函数f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b－x）表明的是函数图象的对称性，函数 f（x）满足的关系f（a＋x）＝f（b＋x）（a≠b）表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x ∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x ∈D，且 ，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于 对称 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　) (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　) (4)若函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，则f(x)是周期为2a的周期函数．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P85练习T1改编)设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________． 解析　由图象知，当0<x<2时，f(x)>0； 当2<x≤5时，f(x)<0.又f(x)是奇函数，所以当－2<x<0时，f(x)<0； 当－5≤x<－2时，f(x)>0. 综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]. 答案　(－2，0)∪(2，5] 角度2　函数奇偶性的应用 [例2]　(1)(2023·新高考全国Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则a＝(　　) A.－1 B.0 C. D.1 解析　因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)， 所以(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0. 当a＝0时，f(x)＝x ln ，(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－， 则其定义域为或，关于原点对称. f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)， 故此时f(x)为偶函数.故选B. 答案　B (2)已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝，则f(x)＝________. 解析　由函数f(x)是R上的奇函数，得f(0)＝0，而当x<0时，－x>0， 所以有f(x)＝－f(－x)＝－＝－. 综上所述，f(x)＝ 答案　 变式训练 1.(多选)(2023·山东临沂·统考一模)已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以为(　　) A.g(x)＝lg B.g(x)＝3x－3－x C.g(x)＝＋ D.g(x)＝ln 解析　因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数. 对于A，定义域为(－1，1)，所以不满足题意； 对于B，定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，符合题意； 对于C，定义域为R，g(－x)＝＋＝＋＝－≠－g(x)，不符合题意； 对于D，定义域为R，g(－x)＝ln ， 而g(－x)＋g(x)＝ln ＋ln (＋x)＝0，符合题意. 答案　BD 2.(2023·全国乙卷理科)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A.－2 B.－1 C.1 D.2 解析　因为f(x)＝为偶函数，则f(x)－f(－x)＝－＝＝0.又因为x不恒为0，可得ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x， 则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 答案　D 变式训练 已知定义在R上的函数f(x)的图象关于y轴对称，且周期为3，又f(－1)＝1，f(0)＝ －2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)的值是(　　) A．2 024 B．2 023 C．1 D．0 解析　因为f(x)的周期为3， f(－1)＝1，则f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝1， 又f(0)＝－2，则f(3)＝f(0＋3)＝f(0)＝－2， 因为函数f(x)在R上的图象关于y轴对称， 所以f(x)为偶函数， 故f(1)＝f(－1)＝1， 则f(1)＋f(2)＋f(3)＝0. 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 025)＝675×0＝0. 答案　D 变式训练 1．(2025·南京检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f(－1)<f(2)<f(1). 答案　D 2．(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．函数y＝的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 解析　对于A，f(x)＝＝＝2－，其图象可以由y＝－的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－的图象关于原点对称，故f(x)＝的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确； 对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝＝＝1＋的图象关于点(3，c)中心对称， 所以解得b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确． 答案　ABC (2)(2023·陕西·统考一模)函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式xf(x－1)<0的解集为(　　) A.(－∞，0)∪[2，＋∞) B.(0，1) C.(－∞，0)∪(2，＋∞) D.(1，2) 解析　因为函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(－∞，0)上也单调递增.又因为f(1)＝0，所以f(－1)＝0.不等式xf(x－1)<0等价于或即或得到1<x<2. 答案　D 角度3　对称性与周期性 [例7]　(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)不恒为零，且f(x＋6)＝f(x)，f(3＋x)＋f(3－x)＝0，f(2)＝0，则下列结论正确的是(　　) A.f(0)＝0 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于直线x＝12对称 D.f(x)在[0，10]上有6个零点 解析　选项A，对于f(x＋6)＝f(x)，令x＝0，得f(6)＝f(0)，对于f(3＋x)＋f(3－x)＝0，令x＝3，得f(6)＝－f(0)，所以f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0，A正确； 选项B，由f(x＋6)＝f(x)，得f(6－x)＝f(－x)，由f(3＋x)＋f(3－x)＝0， 得f(6－x)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，B正确； 选项C，由f(x＋6)＝f(x)，得f(x＋12)＝f(x＋6)＝f(x)，所以12是f(x)的一个周期.又f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于点(12，0)对称.因为f(x)不恒为零，所以f(x)的图象不关于直线x＝12对称，C错误； 选项D，由A知f(6)＝f(0)＝0，对于f(3＋x)＋f(3－x)＝0，令x＝0，得f(3)＝0，所以f(9)＝f(3)＝0.由f(2)＝0，得f(8)＝f(2)＝0，f(－2)＝－f(2)＝0，所以f(4)＝f(10)＝0，所以f(x)在[0，10]上的零点为0，2，3，4，6，8，9，10，共8个，D错误. 答案　AB 变式训练 1．(2025·石家庄模拟)奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(2 023)＋f(2 024)的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 解析　∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)， 令t＝x＋1，则－x＋1＝2－t，即f(t)＝f(2－t)， ∵f(x)为奇函数，∴f(t)＝－f(－t)， ∴f(2－t)＝－f(－t)， 令m＝－t，得f(2＋m)＝－f(m)， ∴f(4＋m)＝－f(2＋m)＝f(m)，∴f(4＋x)＝f(x)， 即函数f(x)是周期为4的周期函数， 又f(1)＝2，f(0)＝0， 则f(2 023)＋f(2 024)＝f(506×4－1)＋f(506×4)＝f(－1)＋f(0)＝－f(1)＋f(0)＝－2. 答案　D 2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，则下列函数的图象一定关于点(－1，0)成中心对称的是(　　) A．y＝(x－1)f(x－1) B．y＝(x＋1)f(x＋1) C．y＝xf(x)＋1 D．y＝xf(x)－1 解析　构造函数g(x)＝xf(x)， 该函数的定义域为R， 所以g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)， 函数g(x)为奇函数，故函数g(x)图象的对称中心为坐标原点． 对于A选项，函数y＝(x－1)f(x－1)的图象由函数g(x)的图象向右平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x－1)f(x－1)图象的对称中心为(1，0)； 对于B选项，函数y＝(x＋1)f(x＋1)的图象由函数g(x)的图象向左平移1个单位长度得到， 故函数y＝(x＋1)f(x＋1)图象的对称中心为(－1，0)； 对于C选项，函数y＝xf(x)＋1的图象由函数g(x)的图象向上平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)＋1图象的对称中心为(0，1)； 对于D选项，函数y＝xf(x)－1的图象由函数g(x)的图象向下平移1个单位长度得到， 故函数y＝xf(x)－1图象的对称中心为(0，－1). 答案　B $$