第2讲 函数的单调性与最大（小）值-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第2讲　函数的单调性与最大（小）值 ⁠ 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解其实际意义. 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ⁠ [对应学生用书P23] f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 单调递增 单调递减 区间I f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M ⁠⁠ ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) × ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P81练习T3改编）设函数f（x）＝在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则M＋m＝ （　　） A.4 B.6 C.10 D.24 解析　因为f（x）＝＝2＋，所以f（x）在[3，4]上是减函数. 所以m＝f（4）＝4，M＝f（3）＝6.所以M＋m＝6＋4＝10. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视函数的定义域致错）函数y＝f（x）为定义在上的增函数，且 f（2m）＞f（－m＋1），则实数m的取值范围是 　　　　⁠.  解析　由题意得解得＜m＜1.所以实数m的取值范围是. 答案　. 5.（混淆函数的单调区间和在某区间上单调）若函数f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3在区间（－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　∵f（x）＝－x2－2（a＋1）x＋3的开口向下， 对称轴方程为x＝－（a＋1），要使f（x）在（－∞，3]上是增函数， 只需－（a＋1）≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为（－∞，－4]. 答案　（－∞，－4] ⁠ [对应学生用书P24] （2）讨论函数f（x）＝（a≠0）在区间（－1，1）上的单调性. 解　任取x1，x2∈（－1，1），且x1＜x2，f（x）＝＝a，则 f（x1）－f（x2）＝a－a＝， 当a＞0时，f（x1）－f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），函数f（x）在区间（－1，1）上单调递减； 当a＜0时，f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），函数f（x）在区间（－1，1）上单调递增. ⁠ 1.求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2.（1）函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. （2）函数y＝f（g（x））的单调性应根据外层函数y＝f（t）和内层函数t＝g（x）的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 易错警示　函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”. 变式训练 1.已知函数f（x）＝－x＋2x，则下列结论正确的是 （　　） A.递增区间是（0，＋∞） B.递减区间是（－∞，－1） C.递增区间是（－∞，－1） D.递增区间是（－1，1） 解析　因为函数f（x）＝－x＋2x＝作出函数f的图象， 如图所示： 由图可知，递增区间是（－1，1），递减区间是（－∞，－1）和. 答案　D 2.（多选）下列函数f中，满足对任意x1，x2∈，有＜0的是（　　） A.f＝－2－2 B.f＝ C.f＝1＋ D.f＝ 解析　对任意x1，x2∈（1，＋∞），有＜0，则函数在区间（1， ＋∞）上为减函数， 对于A，f＝－2－2，由二次函数的图象与性质可知满足题意，故A可选； 对于B，f＝，根据幂函数的性质，函数在区间（1，＋∞）上为增函数，故B不可选； 对于C，f＝1＋，函数在区间（1，＋∞）上为减函数，故C可选； 对于D，f＝＝显然函数在区间（1，＋∞）上不是单调函数，故D不可选.故选AC. 答案　AC （2）对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f（x）＝－x＋3， g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是 　　　　⁠.  解析　法一　在同一坐标系中， 作函数f（x），g（x）的图象，依题意，h（x）的图象为如图所示的实线部分. 易知点A（2，1）为图象的最高点，因此h（x）的最大值为h（2）＝1. 法二　依题意，h（x）＝ 当0＜x≤2时，h（x）＝log2x是增函数； 当x＞2时，h（x）＝3－x是减函数， 因此h（x）在x＝2时取得最大值h（2）＝1. 答案　1 ⁠ 1.求函数最值的三种基本方法： （1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. （2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. （3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. ⁠ 利用函数的单调性比较大小，首先要准确判断函数的单调性，其次应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用单调性比较大小. ⁠ 求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，利用函数的单调性将“f”符号脱去，转化为关于自变量的不等式求解，应注意函数的定义域. ⁠ 利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 叫做y＝f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 (1)∀x∈D，都有 ； (2)∃x0∈D，使得 结论 M为最大值 M为最小值 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3，2]上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2，3).(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　　) (4)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) 3．(多选)(人A必修第一册P86习题T3改编)下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝－2x＋1是减函数 B．f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增 C．f(x)＝x＋在[3，＋∞)上单调递增 D．f(x)＝x2－2x在[－2，4]上的最小值为0 解析　因为k＝－2<0，所以函数f(x)＝－2x＋1是减函数，故A正确；函数y＝x2＋1在(0，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性可知f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；由对勾函数的性质可知f(x)＝x＋在[3，＋∞)上单调递增，故C正确；函数f(x)＝x2－2x的图象的对称轴为直线x＝1且1∈[－2，4]，又函数f(x)＝x2－2x的图象开口向上，所以f(x)＝x2－2x在[－2，4]上的最小值为f(1)＝1－2＝－1，故D错误．故选AC. 答案　AC 考点1 确定函数的单调性(单调区间)(师生共研) [例1]　(1)(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A.f(x)＝－ln x B.f(x)＝ C.f(x)＝－ D.f(x)＝3|x－1| 解析　对于A，因为y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，故B错误；对于C，因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，故C正确；对于D，因为f ＝3＝3＝，f(1)＝3|1－1|＝30＝1，f(2)＝3|2－1|＝3， 显然f(x)＝3|x－1|在(0，＋∞)上不单调，D错误. 答案　C 考点2 求函数的最值(师生共研) [例2]　(1)函数f(x)＝x＋的值域为________. 解析　由2x－1≥0，得x≥，∴函数的定义域为.又函数f(x)＝x＋在上单调递增，∴当x＝时，函数取最小值f ＝，∴函数f(x)的值域为. 答案　 变式训练 1．(2025·包头模拟)函数f(x)＝－log2(x＋4)在[－2，2]上的最大值为________. 解析　因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在[－2，2]上都单调递减， 所以函数f(x)＝－log2(x＋4)在[－2，2]上单调递减， 所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝－log2(－2＋4)＝9－1＝8. 答案　8 2.(2023·山东枣庄·高三期末)若函数f(x)＝在区间[0，1]上的最大值为3，则实数m＝________. 解析　因为函数f(x)＝＝2＋，由复合函数的单调性知，当m>2时，f(x)＝在[0，1]上单调递减，最大值为f(0)＝m＝3；当m<2时，f(x)＝在 [0，1]上单调递增，最大值为f(1)＝＝3，即m＝4，显然m＝4不合题意，故实数m＝3. 答案　3 考点3 函数单调性的应用(多维探究) 角度1　比较函数值的大小 [例3]　(2023·全国甲卷文科)已知函数f(x)＝e.记a＝f ，b＝f ，c＝ f ，则(　　) A.b>c>a B.b>a>c　 C.c>b>a D.c>a>b 解析　令g(x)＝－(x－1)2，则g(x)开口向下，对称轴为x＝1.因为－1－＝－，而(＋)2－42＝9＋6－16＝6－7>0，所以－1－＝－>0，即－1>1－.由二次函数性质知g<g，因为－1－＝－，而(＋)2－42＝8＋4－16＝4－8＝4(－2)<0，即－1<1－，所以g>g.综上，g<g<g，又y＝ex为增函数，故a<c<b，即b>c>a. 答案　A 角度2　解函数不等式 [例4]　定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0，且f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(4)＝，则不等式f(2x)－f(x－3)>1的解集为(　　) A．(0，4) B．(0，＋∞) C．(3，4) D．(2，3) 解析　由f(xy)＝f(x)＋f(y)，可知f(4)＝f(2)＋f(2)＝，得到f(2)＝，从而f(8)＝1，因此f(2x)－f(x－3)>1可变为f(2x)>f(8)＋f(x－3)，即f(2x)>f(8(x－3))，又函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以解得3<x<4，所以该不等式的解集为(3，4). 答案　C 角度3　求参数的取值范围 [例5]　(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a取值的范围是(　　) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 解析　因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增， 则需满足解得－1≤a≤0， 即a的范围是[－1，0]. 答案　B 变式训练 1．(2025·吉林模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4). 答案　A 2.(2023·新高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A.(－∞，－2] B.[－2，0) C.(0，2] D.[2，＋∞) 解析　函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则有函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞).故选D. 答案　D 3.已知函数f(x)＝log2x＋2x，若f(3x－2)<5，则实数x的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　f(x)＝log2x＋2x的定义域为(0，＋∞)，且f(2)＝5， 所以不等式f(3x－2)<5即f(3x－2)<f(2).又因为f(x)＝log2x＋2x在(0，＋∞)上单调递增，所以0<3x－2<2，解得x∈. 答案　B $$