第1讲 函数的概念及其表示-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第1讲　函数的概念及其表示 ⁠ 1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用. ⁠ [对应学生用书P19] 1.函数的有关概念 2.函数的三要素：定义域、值域、⁠⁠对应关系　⁠. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有：⁠⁠　解析法　⁠、⁠⁠　图象法　⁠、⁠⁠列表法　⁠. 4.分段函数 （1）若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. （2）分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的⁠⁠并集　⁠. 对应关系　 解析法　 图象法　 列表法　 并集　 ⁠⁠ 1.直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点. 2.注意以下几个特殊函数的定义域： （1）分式型函数，分母不为零的实数集合. （2）偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合. （3）f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. （4）若f（x）＝x0，则定义域为{x｜x≠0}. （5）正切函数y＝tan x的定义域为. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) √ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P66例3改编）下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝与g（x）＝x－1 B.f＝2与g＝ C.f＝与g＝ D.y＝与y＝ 解析　A中，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，g（x）的定义域为R，故A错误； B中，g＝＝2＝f（x），B正确； C中，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，＋∞），故C错误； D中，y＝的定义域为[1，＋∞），由x2－1≥0可得y＝的定义域为（－∞，－1]∪[1，＋∞），D错误. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（多选）（函数的概念理解致错）下列图形中可以表示以M＝{x｜0≤x≤1}为定义域，N＝{y｜0≤y≤1}为值域的函数的图象是 （　　） 解析　A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知，选项B，C正确. 答案　BC 5.（忽略函数的定义域致错）若函数f（）＝x－1，则f（x）＝ 　　　　⁠.  解析　令t＝≥0，则x＝t2－1，∴f（t）＝t2－1－1＝t2－2，∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2－2（x≥0）. 答案　x2－2（x≥0） ⁠ [对应学生用书P20] 考点1　函数的概念（师生共研） [例1]　（1）设集合M＝，N＝.下列四个图象中能表示从集合M到集合N的函数关系的有 （　　） A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 解析　A中1＜x≤2中的x没有对应的象，不符合；B符合函数定义，C也符合函数定义，D中对于0＜x≤2的x有两个象与之对应，不符合.所以有2个满足. 答案　B （2）下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是 （　　） A.A＝R，B＝，f：x→y＝ B.A＝R，B＝，f：x→y＝｜x｜ C.A＝，B＝R，f：x→y2＝x D.A＝R，B＝{1}，f：x→y＝1 解析　A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对应，故A选项不正确； B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不正确； C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故C选项不正确； D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故D选项正确.故选D. 答案　D ⁠ （1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素. （2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同. ⁠ ⁠ 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求抽象函数定义域的方法 （1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出. （2）若已知函数f[g（x）]的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域. 2.函数f＝＋lg的定义域为 　　　　⁠.  解析　由已知可得解得－1＜x＜0.因此，函数f的定义域为. 答案　 考点3　求函数的解析式（师生共研） [例3]　求下列函数的解析式： （1）已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式； 解　（1）（换元法）设1－sin x＝t，t∈[0，2]，则sin x＝1－t. ∵f（1－sin x）＝cos2x＝1－sin2x，∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2]. （2）已知f＝x2＋，求f（x）的解析式； 解　（2）（配凑法）∵f＝x2＋＝－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）. （3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式； 解　（3）（待定系数法）∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0）， ∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17. 即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴ 解得 ∴f（x）的解析式是f（x）＝2x＋7. （4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式. 解　（4）（方程组法）∵2f（x）＋f（－x）＝3x，① ∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x，② 由①②解得f（x）＝3x. ⁠ 函数解析式的求法 （1）配凑法：由已知条件f（g（x））＝F（x），可将F（x）改写成关于g（x）的表达式，然后以x替代g（x），便得f（x）的表达式. （2）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数）可用待定系数法. （3）换元法：已知复合函数f（g（x））的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. （4）方程思想：已知关于f（x）与f或f（－x）等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f（x）. 变式训练 1.已知f（x－1）＝x2－2x－3，则f＝ 　　　　⁠.  解析　因为f（x－1）＝x2－2x－3＝（x－1）2－4，所以f＝x2－4. 答案　x2－4 2.已知函数f（x）是二次函数，且满足f（2x＋1）＋f（2x－1）＝16x2－4x＋6，则f（x）＝ 　　　　⁠.  解析　设二次函数f＝ax2＋bx＋c， 已知二次函数f满足f＋f＝16x2－4x＋6， 即a＋b＋c＋a＋b＋c＝16x2－4x＋6， 可得解得则f＝2x2－x＋1. 答案　2x2－x＋1 ⁠ 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒　当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　　) (3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　　) (4)函数f(x)＝的定义域为R.(　　) 3．(人A必修第一册P72习题T1改编)函数f(x)＝＋的定义域是________. 解析　由题意可得，1＋cos x≠0且16－x2≥0，可得x≠π＋2kπ且－4≤x≤4，即定义域为[－4，－π)∪(－π，π)∪(π，4]. 答案　[－4，－π)∪(－π，π)∪(π，4] 变式训练 1．(多选)(2025·南宁质检)下列图象中，是函数图象的是(　　) 解析　在函数的对应关系中，一个自变量只对应一个因变量，在图象中，图象与平行于y轴的直线最多有一个交点，故选项B中的图象不是函数图象． 答案　ACD 2．(多选)下列说法中正确的有(　　) A．f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数 B．函数f(x)＝－的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞) C．f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一个函数 D．若f(x)＝|x－1|－x，则f ＝0 解析　对于A，函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数g(x)＝的定义域为R，两函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故A错误；对于B，由题意，在f(x)＝－中，解得x≥－1且x≠0，故B正确；对于C，函数f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1的定义域与对应关系都相同，所以两函数是同一个函数，故C正确；对于D，由f(x)＝|x－1|－x，可得f ＝0，所以f ＝f(0)＝1，故D错误． 答案　BC 考点2 函数的定义域(师生共研) [例2]　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　) A.(－2，－1)∪(－1，1] B.(－2，1) C.[－2，－1)∪(－1，1) D.(－2，1] 解析　由题得解得－2<x≤1且x≠－1. 答案　A (2)已知函数f(x)的定义域为，则函数y＝f 的定义域为________. 解析　因为函数y＝f(x)的定义域为，所以在函数y＝f 中，－≤x2－x－≤，解得≤x≤0或1≤x≤. 故函数y＝f 的定义域为∪. 答案　∪ 变式训练 1.已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　) A.{x|x>2或x<0} B. C.{x|x>2} D. 解析　要使f(x)＝lg 有意义，则>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， 所以函数f(x)的定义域为(－1，1)；要使g(x)＝f(x－1)＋有意义， 则解得≤x<2，所以函数g(x)的定义域为. 答案　B 考点4 分段函数(多维探究) 角度1　求分段函数值 [例4]　(1)已知函数f(x)＝则f[|f(－1)|]＝(　　) A.2 B.1 C. D.0 解析　∵f(x)＝∴f(－1)＝2－1－1＝－， ∴f[|f(－1)|]＝f ＝log2＝2.故选A. 答案　A (2)已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为(　　) A.24 B.16 C.12 D.8 解析　因为3<2＋log23<4，f(x)＝ 所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝2＝8×2＝8×3＝24. 答案　A 角度2　解分段函数方程或不等式 [例5]　(1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝－1，则a＝(　　) A.1或－1 B.1或0 C.1或－1或0 D.－1或0 解析　当x≥0时，若f(x)＝x2－1＝－1，则x＝0，要使f(f(a))＝－1，即f(a)＝0，显然a≥0，即a2－1＝0，可得a＝1；当x<0时，若f(x)＝＝－1，则x＝－1，要使f(f(a))＝－1,即f(a)＝－1，此时，若a≥0，则a2－1＝－1，可得a＝0，若a<0，则＝－1，可得a＝－1.综上，a＝±1或0. 答案　C (2)已知函数f(x)＝若f(－a)＋f(a)≤2f(1)，则a的取值范围是(　　) A．[－1，0) B．[0，1] C．[－1，1] D．[－2，2] 解析　通过作图可发现f(x)为偶函数， 所以f(－a)＝f(a)，则f(a)≤f(1)， 由图象可得只需|a|≤1，即－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1，1]. 答案　C 变式训练 1．已知函数f(x)＝则f(f(4))＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　由题意得，f(4)＝f(1)＝log2(12＋1)＝1，所以f(f(4))＝f(1)＝log2(12＋1)＝1. 答案　A 2．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝则f(2 026)等于(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析　由题设，当x>0时，f(x)＝f(x－3)， 即当x>0时，函数f(x)是周期为3的周期函数， 则f(2 026)＝f(3×675＋1)＝f(1) ＝f(－2)＝log2[2－(－2)] ＝log24＝2. 答案　C 3．(多选)已知函数f(x)＝则(　　) A．f(f())＝3 B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3 解析　对于A，因为f()＝－()2＋3＝0，所以f(f())＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确． 答案　BCD $$