自主培优2 应用基本不等式的八种变形技巧-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 自主培优2　应用基本不等式的八种变形技巧 对应学生用书P14 　　基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值. 技巧一　加减配凑定值 ⁠ 对于因不能出现“定值”而不能使用基本不等式的情况，可以通过加、减（乘以）一个数后使和或积为定值. 技巧二　平方后应用基本不等式 [典例2]　若x＞0，y＞0，且2x2＋＝8，求x的最大值. 解　（x）2＝x2（6＋2y2）＝3·2x2·≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立.故x的最大值为. ⁠ 一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值. 技巧三　展开后应用基本不等式 [典例3]　已知正实数x，y满足x＋2y＝2，则＋的取值可能为 （　　） A. B. C. D. 解析　因为正实数x，y满足x＋2y＝2， 所以＋＝＝≥＝，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立，故选D. 答案　D 对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值. 技巧四　和与积的相互转换 [典例4]　（2024·浙江台州·模拟）已知正实数a，b满足2a＋b＝2，则ab的最大值为 　　　　⁠；a2＋ab＋a＋b－的最大值为 　　　　⁠.  ②a2＋ab＋a＋b＝（a＋b）（a＋1）≤＝＝，当且仅当a＋b＝a＋1，即a＝，b＝1时取等号. 又由上知ab≤，故－≤－4，当且仅当a＝，b＝1时取等号，所以a2＋ab＋a＋b－≤＋＝－，当且仅当a＝，b＝1时取等号. 答案　　－ 解析　①由2＝2a＋b≥2，得ab≤，当且仅当2a＝b＝1，即a＝，b＝1时取等号； ⁠ 对已知条件含ab，a＋b型等式的最值问题，可以通过使用基本不等式转化为只含ab（或a＋b）的不等式. 技巧五　拆分应用基本不等式 [典例5]　若函数f＝在x＝a处取最小值，则a＝ （　　） A.1＋ B.2 C.4 D.6 解析　由题意，x－2＞0，而f＝＝＝x－2＋＋2≥2＋2＝6，当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立，所以a＝4. 答案　C 若y＝中f（x）的次数小于g（x）的次数，可取倒数后求其最值. 技巧六　常数代换应用基本不等式 ⁠ 求形如或可化为＋＝1型为条件的cx＋dy（a，b，c，d都不为0）的最值可利用“1”的代换求解. 技巧七　代换消元应用基本不等式 在含有两个及以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解. 技巧八　建立目标应用基本不等式 [典例8]　已知x＞0，y＞0，2xy＝x＋y＋4，则x＋y的最小值为 　　　　⁠.  解析　由题知x＞0，y＞0，由基本不等式，得xy≤，即x＋y＋4≤2×. 令t＝x＋y，t＞0，则有t＋4≤2×，整理得t2－2t－8≥0，解得t≤－2（舍去）或t≥4， 即x＋y≥4，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以x＋y的最小值为4. 答案　4 利用基本不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出不等式的解集即得求解目标的最值. [典例1]　设a>b>c>0，则2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是(　　) A．2 B．4 C．2 D．5 解析　2a2＋＋－10ac＋25c2 ＝(a－5c)2＋a2－ab＋ab＋＋ ＝(a－5c)2＋ab＋＋a(a－b)＋ ≥0＋2＋2＝4， 当且仅当a＝5c，ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝，b＝，c＝满足条件． 答案　B [典例6]　已知x>0，y>0，且x＋9y＝xy，若不等式a≤x＋y恒成立，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，6] B．(－∞，16] C．(－∞，8] D．(－∞，9] 解析　x＋9y＝xy，故＋＝1，x＋y＝＝10＋＋， x>0，y>0，故＋≥2＝6， 当且仅当＝，即x＝12，y＝4时取等号，故x＋y≥10＋6＝16， x＋y最小值是16，由不等式a≤x＋y恒成立可得a≤16. 则a的取值范围是(－∞，16]. 答案　B [典例7]　(2025·大庆模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是(　　) A．4 B．5 C．7 D．9 解析　因为xy＋x－2y＝4，故(y＋1)x＝4＋2y，解得x＝＝2＋， 故2x＋y＝4＋＋(y＋1)－1≥3＋2＝7，当且仅当＝y＋1，即y＝1，x＝3时等号成立． 答案　C $$