第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 ⁠ 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. ⁠ [对应学生用书P15] 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. ⁠ {x|x＞x2或x＜x1} R {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 3.（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）·（x－b）＞0 {x｜x＜a或x＞b} ⁠⁠　{x｜x≠a}　⁠ ⁠⁠　{x｜x＜b或x＞a}　⁠ （x－a）·（x－b）＜0 {x｜a＜x＜b} ⁠⁠　⌀　⁠ ⁠⁠　{x｜b＜x＜a}　⁠ {x｜ x≠a}　 {x｜x＜b或x＞ a}　 ⌀　 {x｜b＜x＜a}　 4.分式不等式与整式不等式 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）.   （2）≥0（≤0）⇔f（x）·g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0.   ⁠⁠ 1.绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞）；｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) √ 答案　(3) × 答案　(4) × ｜易错自纠｜ 4.（忽略等号能否成立致误）不等式≥1的解集为 　　　　⁠.  解析　由≥1，得－1≥0，即≥0， 解得x≥1或x＜－2，所以原不等式的解集为{x｜x≥1或x＜－2}. 答案　{x｜x≥1或x＜－2} 5.（忽视二次项系数为0致误）命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立.若命题p为真，则a的取值范围为 　　　　　　⁠.  解析　当a＝0时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立； 当a≠0时，y＝ax2＋ax＋1是二次函数，此时，y＞0等价于解得综上，0≤a＜4. 答案　[0，4） ⁠ [对应学生用书P16] 考点1　一元二次不等式的解法（多维探究） 角度1　解不含参的一元二次不等式 [例1]　（1）不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为 （　　） A. B. C.（－∞，－1）∪ D.∪（1，＋∞） 解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即（x＋1）（2x－3）＞0，所以x＜－1或x＞. 答案　C （2）不等式≤1的解集为 　　　　⁠.  解析　由不等式≤1，可得－1＝≤0，结合分式不等式的解法，可得－2＜x≤3，即不等式≤1的解集为. 答案　 角度2　解含参的一元二次不等式 [例2]　设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3＜0. 解　①m＝0时，－3＜0恒成立. ③当m＜0时，不等式可化为（mx＋3）（mx－1）＜0，即＜0， 而－＞，此时不等式的解集为. 综上，当m＝0时，不等式解集为R； 当m＞0时，不等式解集为； 当m＜0时，不等式解集为. ②m＞0时，不等式可化为＜0，即＜0， 而－＜，此时不等式的解集为. ⁠ 含有参数的不等式的求解，往往需要比较（相应方程）根的大小，对参数进行分类讨论. （1）若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论. （2）若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式. （3）其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集. 变式训练 解关于x的不等式：x2－（a＋a2）x＋a3＞0（a∈R）. 解　将不等式x2－（a＋a2）x＋a3＞0变形为（x－a）（x－a2）＞0. 当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x｜x≠0}； 当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x｜x≠1}； 当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}. 综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x｜x＜a或x＞a2}； 当a＝0时，原不等式的解集为{x｜x≠0}； 当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x｜x＜a2或x＞a}； 当a＝1时，原不等式的解集为{x｜x≠1}. 考点2　三个二次之间的关系（师生共研） [例3]　（多选）已知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x＜－1或x＞3}，则下列结论正确的是 （　　） A.a＜0 B.a＋b＋c＞0 C.c＞0 D.cx2－bx＋a＜0的解集为 解析　根据二次函数开口与二次不等式之间的关系可知a＜0，A正确； ax2＋bx＋c＝0的根为－1，3，则 即∴a＋b＋c＝－4a＞0，B正确； c＝－3a＞0，C正确； cx2－bx＋a＜0，即－3ax2＋2ax＋a＜0，则3x2－2x－1＜0，解得－＜x＜1， ∴cx2－bx＋a＜0的解集为，D错误.故选ABC. 答案　ABC ⁠ （1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值. （2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 变式训练 （多选）若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是，则下列选项正确的是（　　） A.a＜0 B.b＜0且c＞0 C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R 解析　由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是， 可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以且a＜0，所以A正确； 又由b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，所以B正确； 当x＝－1时，此时a＋b＋c＝0，所以C不正确； 把b＝a，c＝－2a代入不等式ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0， 因为a＜0，所以x2＋2x＋1＞0，即（x＋1）2＞0，此时不等式的解集为{x｜x≠－1}，所以D不正确. 答案　AB ⁠ （1）对于一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立. （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数. ①若ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解（也可采用分离参数的方法）. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 2.三个“二次”间的关系 项目 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2 (x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集    ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集    1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　　) (4)不等式≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P55T1改编)不等式(x－1)(x＋2)>0的解集为(　　) A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|－2<x<1} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1，或x>2} 答案　A 3．(人A必修第一册P58T6改编)若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________． 解析　当k＝0时，满足题意； 当k≠0时， 解得－3<k<0， 综上，－3<k≤0. 答案　(－3，0] 角度1　在实数集R上恒成立 [例4]　(2025·长春模拟)“关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是(　　) A．a>0 B．a>1 C．0<a< D．a>2 解析　当a＝0时，则有－2x＋1>0，解得x<，不合题意； 当a≠0时，则解得a>1. 综上所述，“关于x的不等式ax2－2x＋1>0对∀x∈R恒成立”的充要条件为a>1， 所以一个必要不充分条件是a>0. 答案　A 考点3 一元二次不等式恒成立问题(多维探究) 角度2　在给定的区间上恒成立 [例5]　(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1，∀x∈(－1，1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤－ B．a<－1 C．－1<a≤ D．a≤－1 解析　f(x)＝4ax2＋4x－1<0，即4ax2<－4x＋1. 当x＝0时，不等式恒成立，a∈R； 当x≠0时，x2>0，则4a<， 令t＝∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，则y＝－4t＋t2＝(t－2)2－4∈[－4，＋∞)， 即4a<－4，解得a<－1. 答案　B 角度3　给定参数范围的恒成立问题 [例6]　已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为________. 解析　把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. 答案　(－∞，1)∪(3，＋∞) 变式训练 1．若不等式ax2＋2x＋a<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．(－∞，－1] C．(－1，0) D．(－∞，－1) 解析　由于不等式ax2＋2x＋a<0对任意x∈R恒成立， 当a＝0时，不等式为2x<0，此时x<0，不符合题意， 当a≠0时，ax2＋2x＋a<0对任意x∈R恒成立，则解得a<－1，所以实数a的取值范围为(－∞，－1). 答案　D 2．已知对一切x∈[2，3]，y∈[3，6]，不等式mx2－xy＋y2≥0恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤6 B．－6≤m≤0 C．m≥0 D．0≤m≤6 解析　∵x∈[2，3]，y∈[3，6]，则∈， ∴∈[1，3]， 又∵mx2－xy＋y2≥0，且x∈[2，3]，x2>0， 可得m≥－()2， 令t＝∈[1，3]，则原题意等价于对一切t∈[1，3]，m≥t－t2恒成立， ∵y＝t－t2的开口向下，对称轴为t＝， 则当t＝1时，y＝t－t2取到最大值ymax＝1－12＝0， 故实数m的取值范围是m≥0. 答案　C $$