第4讲 基本不等式-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第4讲　基本不等式 ⁠ 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在生活实际中的应用. ⁠ [对应学生用书P11] 1.基本不等式：≤ （1）基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. （2）等号成立的条件：当且仅当⁠⁠　a＝b　⁠时取等号. （3）其中⁠⁠　　⁠叫做正数a，b的算术平均数，⁠⁠　　⁠叫做正数a，b的几何平均数. a＝b　 　 　 2.两个重要的不等式 （1）a2＋b2≥⁠⁠　2ab　⁠（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号. （2）ab≤（a，b∈R），当且仅当a＝b时取等号. 3.利用基本不等式求最值 （1）已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值⁠⁠2　⁠. （2）已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值⁠⁠S2　⁠. 2ab　 2　 S2　 ⁠⁠ 1.＋≥2（a，b同号），当且仅当a＝b时取等号. 2.ab≤≤. 3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等”，忽略某个条件，就会出错. 4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的. （　　） 答案　（1）×　 （2）函数y＝x＋的最小值是2. （　　） 答案　（2）×　 （3）函数y＝sin x＋，x∈的最小值是4.（　　） 答案　（3）×　 （4）“x＞0且y＞0”是“＋≥2”的充要条件. （　　） 答案　（4）× 3.（人A必修第一册P46例3（2）改编）设计用32 m2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2 m，则车厢的最大容积是 （　　） A.（38－3）m3 B.16 m3 C.4 m3 D.14 m3 解析　设长方体车厢的长为x m，高为h m，则2x＋2×2h＋2xh＝32，即x＋2h＋xh＝16， ∴16＝x＋2h＋xh≥2＋xh，即xh＋2－16≤0，解得0＜≤2，∴0＜xh≤8. ∴车厢的容积为V＝2xh≤16（m3）.当且仅当x＝2h且x＋2h＋xh＝16，即x＝4，h＝2时等号成立.∴车厢容积的最大值为16 m3.选B. 答案　B 5.（不能灵活配凑致误）函数y＝x（3－2x）的最大值为 （　　） A.3 B. C. D. 解析　y＝x（3－2x）≤·＝.当且仅当2x＝3－2x，即x＝时等号成立. 答案　D ⁠ [对应学生用书P12] 考点1　利用基本不等式求最值（多维探究） 角度1　配凑法 [例1]　（1）已知0＜x＜，则的最大值为 　　　　⁠.  解析　＝≤＝， 当且仅当4x＝5－4x，即x＝时等号成立. 答案　 （2）当x＜时，则函数y＝x＋的最大值为 　　　　⁠.  解析　x＜，则2x－3＜0，3－2x＞0， y＝x＋ ＝（2x－3）＋＋ ＝－＋≤－2＋＝－，当且仅当＝，即x＝－时等号成立. 答案　－ （3）函数f＝的最小值为 　　　　⁠.  解析　f（x）＝＝＝（x－1）＋＋1. ∵x＞1，∴x－1＞0， ∴（x－1）＋≥2＝4（当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号）， ∴f（x）min＝4＋1＝5. 答案　5 （3）函数f＝的最小值为 ⁠ （1）利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. （2）常数代换法，主要解决形如“已知x＋y＝t（t为常数），求＋的最值”的问题，先将＋转化为·，再用基本不等式求最值. （3）当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. （4）构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解. 考点2　利用基本不等式求参数的取值范围（师生共研） [例4]　设a＞b＞c，n∈N，且＋≥恒成立，则n的最大值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 解析　＋≥等价于（a－c）≥n2， （a－c）＝ ＝11＋＋≥11＋2＝11＋2，当且仅当＝，即a＋c＝2b时，等号成立. 故得到11＋2≥n2，n∈N，则n的最大值是4. 答案　C ⁠ 求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围. 变式训练 ⁠ （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值. （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围. 变式训练 某居民小区欲在一块空地上建一面积为1 200 m2的矩形停车场，停车场的四周留有人行通道，设计要求停车场外侧南北的人行通道宽3 m，东西的人行通道宽4 m，如图所示（图中单位：m），问如何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积最小？最小面积是多少？ 解　设矩形停车场南北侧边长为x m，则其东西侧边长为 m， 人行通道占地面积为 S＝－1 200＝8x＋＋48 m2， 由均值不等式，得S＝8x＋＋48≥2＋48＝2×240＋48＝528 m2， 当且仅当8x＝，即x＝30 m时，Smin＝528 m2，此时＝40 m. 所以设计矩形停车场南北侧边长为30 m，则其东西侧边长为40 m，人行通道占地面积最小，最小为528 m2. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P48习题T1(1)改编)若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 答案　C ｜易错自纠｜ 4．(多选)(忽视基本不等式的应用条件致误)下列代数式中最小值为2的是(　　) A．x－ B．2x＋2－x C．x2＋ D．＋ 解析　选项A中，当x<0时，函数y＝x－单调递增，无最小值，不符合题意； 选项B中，2x＋2－x≥2＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，满足题意； 选项C中，x2＋≥2＝2，当且仅当x＝±1时，等号成立，满足题意； 选项D中，＋≥2＝2，当且仅当＝时，等号成立，但此方程无实数解，不符合题意． 答案　BC 角度2　常数代换法 [例2]　已知正数a，b满足＋＝1，则8a＋b的最小值为(　　) A．54 B．56 C．72 D．81 解析　8a＋b＝(8a＋b) ＝＋＋40≥2＋40＝72， 当且仅当＝，即a＝6，b＝24时取等号． 答案　C 角度3　消元法 [例3]　若正数x，y满足x2＋xy－3＝0，则4x＋y的最小值是(　　). A.3 B.6 C.2 D.4 解析　因为正数x，y满足x2＋xy－3＝0，所以y＝－x，所以4x＋y＝3x＋≥2＝6，当且仅当3x＝，即x＝1时，等号成立. 答案　B 变式训练 1．已知函数y＝x＋(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A． B． C．4 D．6 解析　∵x>2，∴x－2>0，∴y＝x＋＝x－2＋＋2≥2＋2＝6(当且仅当x－2＝，即x＝4时取等号)，∴y＝x＋(x>2)的最小值为6. 答案　D 2．(2024·延边模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以＋ ＝[(a＋1)＋(b＋2)] ＝ ≥ ＝1， 当且仅当即时取等号． 综上，＋的最小值为1. 答案　A 3．若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2＋3，整理可得ab－2－3≥0， 解得≥3或≤－1(舍去). 所以≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 答案　A 1．已知两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，若不等式≥m恒成立，则实数m的取值范围是________. 解析　因为xy＝4x＋y≥2＝4，当且仅当即x＝2，y＝8时取等号，所以xy≥16，所以≥4，所以m≤4，所以实数m的取值范围是(－∞，4]. 答案　(－∞，4] 2．(2025·鹤岗模拟)设0<m<，若＋≥k恒成立，则k的最大值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 解析　由于0<m<，则得到·2m(1－2m)≤·＝(当且仅当2m＝1－2m，即m＝时取等号)； 所以＋＝≥＝8， 又由＋＝≥k恒成立，故k≤8，则k的最大值为8. 答案　D 考点3 基本不等式的实际应用(师生共研) [例5]　(2025·大连模拟)天气转冷，某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动．根据前期调研，获得该产品的销售量a万件与投入的促销费用x万元(x≥0)满足关系式a＝8－(k为常数)，而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件．已知该产品每一万件需要投入成本18万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为y万元．(注：利润＝销售收入－投入成本－促销费用) (1)求出k的值，并将y表示为x的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 解　(1)由题意知x＝0时，a＝4，故4＝8－，∴k＝4， 则a＝8－，故y＝a－18a－x， 即y＝16a＋12－x＝16＋12－x＝140－(x≥0). (2)y＝140－＝141－(＋x＋1)≤141－2＝125， 当且仅当＝x＋1，即x＝7时等号成立， 故促销费用为7万元时，该产品的利润最大，此时最大利润为125万元． $$