第3讲 不等关系与不等式性质-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第3讲　不等关系与不等式性质 ⁠ 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的概念. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. ⁠ [对应学生用书P9] 1.两个实数比较大小的方法 （1）作差法⁠⁠⁠ （2）作商法⁠⁠⁠ 2.不等式的性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）同向可加性：a＞b⇔a＋c⁠⁠＞　⁠b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c⁠⁠＞　⁠b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac⁠⁠＞　⁠bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac⁠⁠＞　⁠bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an⁠⁠＞　⁠bn（n∈N，n≥1）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒⁠⁠＞ ⁠（n∈N，n≥2）. ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞ ⁠⁠ 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 （1）若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞（b－m＞0）. （2）若ab＞0，且a＞b⇔＜. ｜思考辨析｜ 答案　(1) √ 答案　(2) × 答案　(3) × 答案　(4) × 3.（人A必修第一册P42习题2.1T5改编）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围为 （　　） A.（0，2） B.（2，5） C.（5，8） D.（6，7） 解析　2＜a＜3，－2＜b＜－1，故4＜2a＜6，1＜－b＜2，得5＜2a－b＜8. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视差的取值范围致误）若x∈R，则a＝与b＝的大小关系为 　　　　⁠.  解析　a－b＝－＝＝≥0，当x＝1时，等号成立. 所以a≥b. 答案　a≥b 5.（求取值范围考虑不周致误）已知实数x，y满足1＜x＜y＜3，则y－x的取值范围是 　　　　⁠.  解析　因为1＜x＜y＜3，所以y－x＞0.又y＜3，－x＜－1，所以y－x＜2，所以0＜y－x＜2. 答案　（0，2） ⁠ [对应学生用书P10] 考点1　比较代数式的大小（师生共研） [例1]　（1）已知a＜0，b＜0，比较大小：＋ 　　　　⁠a＋b.  解析　－（a＋b）＝＝＝， 又a＜0，b＜0，a＋b＜0，∴≤0，∴－（a＋b）≤0. 答案　≤ ⁠ 判断两数（式）大小的方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论. ⁠ 考点2　不等式的性质及应用（师生共研） [例2]　（1）（多选）已知＜＜0，则下列不等关系中正确的是 （　　） A.ab＞a－b B.ab＜－a－b C.＋＞2 D.＞ 解析　对于A，由＜＜0，得b＜a＜0，当a＝－，b＝－2时，A错误； 对于B，当a＝－2，b＝－3时，B错误； 对于C，由＜＜0，得b＜a＜0，根据基本不等式知，C正确； 对于D，由＜＜0，得b＜a＜0，所以b2＞a2.因为－＝＞0，所以D正确. 答案　CD （2）（多选）（2024·广东汕头·模拟）已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是 （　　） A.ac（a－c）＞0 B.c（b－a）＜0 C.cb2＜ab2 D.ab＞ac 解析　因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0， 所以ac（a－c）＜0，c（b－a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选BCD. 答案　BCD ⁠ 解决此类题目常用的三种方法： （1）直接利用不等式的性质逐个验证，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； （2）利用特殊值法排除错误答案； （3）利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断. ⁠ ⁠ 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点： 一是必须严格运用不等式的性质； 二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　　) (2)若>1，则b>a.(　　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　) (4)若>，则b<a.(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P43T8改编)已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b B．> C．a2<b2 D．a3<b3 解析　对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，<，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 答案　D (2)(2024·包头模拟)若实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝，则(　　) A．p<m<n B．p<n<m C．m<p<n D．n<p<m 解析　∵实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝， ∴p<m<n.故选A. 答案　A 变式训练 1．(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2>－ 解析　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；a2－b2－＝(a－b)(a＋b)－＝(a－b)>0，故选项D正确． 答案　AD 2．已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 解析　由题设，易知x，y>0，又＝＝<1，∴x<y. 答案　C 变式训练 1．设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． 答案　B 2．(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A．< B．－a2<－ab C．ln |a－1|>ln |b－1| D．2a－b>1 解析　因为a>b>0，>0，所以>， 即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln |a－1|＝ln |b－1|＝ln ，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 答案　ABD 考点3 不等式性质的综合应用(师生共研) [例3]　(多选)(2024·云南昆明·高三模拟)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A.a＋b的取值范围为[4，7] B.b－a的取值范围为[2，3] C.ab的取值范围为[3，10] D.的取值范围为 解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4，7]，b－a的取值范围为[1，4]，故A选项正确，B选项错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤，所以ab的取值范围为[3，10]，的取值范围为，故C选项正确，D选项错误. 答案　AC 变式训练 1．已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________． 解析　设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)，则3α－β＝(m＋n)α＋(n－m)β. ∴解得∴3α－β＝2(α－β)＋(α＋β). 由－<α－β<得－π<2(α－β)<π，又∵0<α＋β<π，∴－π<3α－β<2π. 答案　(－π，2π) 2．已知－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，则x－2y的范围为__________． 解析　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. 答案　[－4，2] $$