第2讲 常用逻辑用语-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第2讲　常用逻辑用语 ⁠ 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定. ⁠ [对应学生用书P5] 1.充分条件、必要条件与充要条件 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 “若p，则q”和“若q，则p”都是真命题 推出关系 p⁠⁠⇒　⁠q p⇒q p⁠⁠⇔　⁠q ⇒　 ⇔　 条件关系 p是q的⁠⁠　充分　⁠条件，q是p的⁠⁠　必要　⁠条件 p不是q的⁠⁠　充分　⁠条件，q不是p的⁠⁠　必要　⁠条件 p是q的⁠⁠　充分必要　⁠条件，简称为⁠⁠　充要　⁠条件 充分　 必要　 充分　 必要　 充分必要　 充 要　 2.全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有⁠⁠　全称量词　⁠的命题叫做全称量词命题 含有⁠⁠　存在量词　⁠的命题叫做存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p（x）成立”，可用符号简记为“⁠⁠　∀x∈M，p（x）　⁠” “存在M中的元素x，p（x）成立”，可用符号简记为“⁠⁠　∃x∈M，p（x）　⁠” 全称量词　 存在量词　 ∀x∈M，p（x）　 ∃x∈M， p（x）　 3.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题 命题的否定 结论 全称量词命题∀x∈M，p（x） ⁠⁠　∃x∈Mp（x）　⁠ 全称量词命题的否定是⁠⁠　存在量词命题　⁠ 存在量词命题∃x∈M，p（x） ⁠⁠　∀x∈Mp（x）　⁠ 存在量词命题的否定是⁠⁠　全称量词命题　⁠ ∃x∈M， ¬p（x）　 存在量 词命题　 ∀x∈M， ¬p（x）　 全称量 词命题　 ⁠⁠ 1.p是q的充分不必要条件，等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 2.从集合的角度理解充分条件与必要条件 若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x｜p（x）}，B＝{x｜ q（x）}，则关于充分条件，必要条件又可以叙述为 （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A＝B，则p是q的充要条件； （3）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律：“改量词，否结论”. ⁠ ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) √ 答案　(3) √ 答案　(4) √ ｜教材衍化｜ 3.（人A必修第一册P31习题1.5T3改编）已知命题q：∀x∈R，x2＋x－1＞0，则 （　　） A.命题¬q：∀x∈R，x2＋x－1≤0为假命题 B.命题¬q：∀x∈R，x2＋x－1≤0为真命题 C.命题¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为假命题 D.命题¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为真命题 解析　显然当x＝0时不满足x2＋x－1＞0，故命题q：∀x∈R，x2＋x－1＞0为假命题， 所以¬q：∃x∈R，x2＋x－1≤0为真命题，故选D. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（否定命题不完全致误）已知命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1，则¬p为 （　　） A.∃x＜0，ex＜1且sin x≥1 B.∃x≥0，ex＜1且sin x≥1 C.∃x≥0，ex＜1或sin x≥1 D.∃x＜0，ex≥1或sin x≤1 解析　命题p是全称命题，因为命题p：∀x≥0，ex≥1或sin x＜1， 所以¬p：∃x≥0，ex＜1且sin x≥1. 答案　B 5.（不理解哪个条件致误）已知a，b为非零实数，下列四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是 （　　） A.a＞b－1 B.a2＞b2 C.2a＞2b D.log2a＞log2b 解析　若a＞b－1，不妨设a＝b＝1，显然a＞b不成立，a＞b⇒a＞b－1，A错误； 若a2＞b2，不妨设a＝－2，b＝1，显然a＞b不成立，B错误； 若2a＞2b，因为y＝2x在R上单调递增，则2a＞2b⇔a＞b，C错误； 若log2a＞log2b，因为y＝log2x在上单调递增，则log2a＞log2b⇒a＞b， 若a＞b，不妨设b＝－2，a＝1，显然log2a＞log2b不成立，D正确.故选D. 答案　D [对应学生用书P6] ⁠ 充分条件、必要条件的两种判定方法： （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. （2）集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. ⁠ （2）已知条件p：（x－m）（x－m－3）＞0；条件q：x2＋3x－4＜0.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 （　　） A.（－∞，－7）∪（1，＋∞） B.（－∞，－7]∪[1，＋∞） C.（－7，1） D.[－7，1] 解析　设集合Ρ＝，Q＝，因为p是q的必要不充分条件，则Q是Ρ的真子集，所以m＋3≤－4或m≥1，即m≤－7或m≥1，故选B. 答案　B ⁠ 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解. （2）要注意区间端点值的检验. ⁠ ⁠ （1）含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论. （2）判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p（x）”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p（x）成立即可. （3）由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围. 变式训练 1.已知命题：∃x∈R，tan 2x＝4，则 （　　） A.该命题为假命题，其否定是∀x∈R，tan 2x≠4 B.该命题为假命题，其否定是∃x∈R，tan 2x≠4 C.该命题为真命题，其否定是∀x∈R，tan 2x≠4 D.该命题为真命题，其否定是∃x∈R，tan 2x≠4 解析　∵函数y＝tan 2x的值域为R，∴∃x∈R，tan 2x＝4，故该命题是真命题，其否定是∀x∈R，tan 2x≠4. 答案　C 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)“至少有一个三角形的内角和为π”是全称量词命题．(　　) (2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词．(　　) (3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件．(　　) (4)若已知p：x>1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件．(　　) 2．(人A必修第一册P22习题1.4T2(1)改编)“△ABC是等边三角形”是“△ABC是等腰三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由△ABC是等边三角形可得到△ABC是等腰三角形，但反之不成立． 答案　A 考点1 充分、必要条件的判断(师生共研) [例1]　(1)(2024·新高考天津卷)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　根据立方的性质和指数函数的性质，a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以二者互为充要条件． 答案　C (2)(2023·北京卷)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　解法一：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以x＝－y，所以＋＝＋＝－1－1＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 解法二：充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0，所以＋＝＝＝＝＝－2，所以充分性成立；必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以＋＝＝＝＝－2＝－2，所以＝0，所以(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件. 答案　C (3)(2024·赤峰·三模)“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a<－1，且b<－1，根据不等式的加法和乘法法则可得a＋b<－2，且ab>1，即必要性成立； 当a＝－3，b＝－，满足a＋b<－2，且ab>1，但是b＝－>－1，故充分性不成立． 所以“a＋b<－2，且ab>1”是“a<－1，且b<－1”的必要不充分条件． 答案　B 变式训练 1．已知p：向量a，b所在的直线平行，q：向量a，b平行，则p是q的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　当向量a，b所在的直线平行时，可得向量a，b平行，则充分性成立，而当向量a，b平行时，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立， 则p是q的充分不必要条件． 答案　A 2.(2023·湖北武汉·统考三模)已知p：ab≤1，q：a＋b≤2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当a＝－1，b＝4时，p不能推出q；当a＝－2，b＝－2时，q不能推出p， 所以p是q的既不充分也不必要条件. 答案　D 考点2 充分、必要条件的应用(师生共研) [例2]　(1)已知m>0，p：－2≤x≤6，q：2－m≤x≤2＋m，若p是q成立的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　　) A.0<m<4 B.m>4 C.0<m≤4 D.m≥4 解析　由p：－2≤x≤6，设A＝[－2，6]，设满足q：2－m≤x≤2＋m的集合为B，由p是q成立的充分不必要条件，则集合A是集合B的真子集，所以解得m≥4，当m＝4时，B＝[－2，6]＝A，此时不满足条件，所以m>4. 答案　B 变式训练 在①“x∈A”是“x∈B”的充分条件；②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}． (1)当a＝2时，求A∩B； (2)若________，求实数a的取值范围． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解　(1)由(x＋1)(x－3)<0， 解得－1<x<3， 所以B＝{x|－1<x<3}， 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}， 所以A∩B＝{x|2≤x<3}． (2)选①“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1)； 选②“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以解得－1<a<1，即a∈(－1，1). 考点3 全称量词命题与存在量词命题(多维探究) 角度1　含有量词的命题的否定 [例3]　(1)(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知命题p：∃x<－1，2x－x－1<0，则¬p为(　　) A.∀x≥－1，2x－x－1≥0 B.∀x<－1，2x－x－1≥0 C.∃x<－1，2x－x－1≥0 D.∃x≥－1，2x－x－1≥0 解析　∵命题p：∃x<－1，2x－x－1<0， ∴¬p为∀x<－1，2x－x－1≥0. 答案　B (2)(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题 C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题 解析　对于p而言，取x＝－1，则有＝0<1，故p是假命题，¬p是真命题； 对于q而言，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，¬q是假命题． 综上，¬p和q都是真命题． 答案　B 角度2　命题的真假判断及应用 [例4]　(1)下列命题中，是假命题的是(　　) A.∃x∈R，log2x＝0 B.∃x∈R，cos x＝1 C.∀x∈R，x2>1 D.∀x∈R，2x>0 解析　对于A选项，∵log21＝0，故A正确； 对于B选项，∵cos 0＝1，故B正确； 对于C选项，∵02<1，故C错误； 对于D选项，∀x∈R，2x>0，故D正确. 答案　C (2)若命题“∀x∈[－1，2]，x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] 解析　由“∀x∈[－1，2]，x2＋1≥m”是真命题可知，不等式m≤x2＋1对∀x∈[－1，2]恒成立，因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1，2]，易知函数y＝x2＋1在x∈[－1，2]上的最小值为1，所以m≤1.即实数m的取值范围是(－∞，1]. 答案　B 2．(多选)命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题，则实数m的取值可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析　若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为真命题，则Δ＝22－4(2－m)＝4m－4>0，解得m>1，所以当命题p：∃x∈R，x2＋2x＋2－m<0为假命题时，m≤1，符合条件的为A，B，C选项． 答案　ABC $$