第1讲 集合-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第1讲　集　合 ⁠ 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系，能在自然语言、图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. 2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 3.在具体情境中，了解全集与空集的含义. 4.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集. 5.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算. ⁠ [对应学生用书P1] 1.元素与集合 （1）集合中元素的三个特性：确定性、⁠⁠　互异性　⁠、无序性. （2）元素与集合的关系是⁠⁠　属于　⁠或不属于，表示符号分别为∈和∉. （3）集合的三种表示方法：⁠⁠　列举法　⁠、⁠⁠　描述法　⁠、图示法. 互异性　 属于　 列举法　 描述法　 （4）常用数集及记法 名称 非负整数集（或自然数集） 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 ⁠⁠　N　⁠ ⁠⁠　N*或N＋　⁠ ⁠⁠　⁠ ⁠⁠　　⁠ ⁠⁠　⁠ N　 N*或 N＋　 Z　 Q　 R　 2.集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的⁠⁠　元素　⁠，就称集合A为集合B的子集.记作A⁠⁠⊆　⁠B（或B⁠⁠⊇　⁠A）. （2）真子集：如果集合A⊆B，但⁠⁠　存在　⁠元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的⁠⁠　真子集　⁠，记作A⫋B（或B⫌A）. （3）相等：若A⊆B，且 　B⊆A　⁠，则A＝B. （4）空集的性质：⌀是任何集合的子集，是任何⁠⁠　非空　⁠集合的真子集. 元素　 ⊆　 ⊇　 存在　 真子集　 B⊆A　 非空　 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形 表示 ⁠ ⁠ ⁠ 集合 表示 {x｜x∈A，或x∈B} ⁠⁠　{x｜x∈A，且x∈B}　⁠ {x｜x∈U，且x∉A} {x｜x∈A，且 x∈B}　 4.集合的运算性质 （1）A∩A＝A，A∩⌀＝⌀，A∩B＝B∩A. （2）A∪A＝A，A∪⌀＝A，A∪B＝B∪A. （3）A∩（∁UA）＝⌀，A∪（∁UA）＝U，∁U（∁UA）＝A. ⁠⁠ 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB. 4.∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）. ⁠ ｜思考辨析｜ 答案　(1) √ 答案　(2) × 答案　(3) √ 答案　(4) × ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P5习题1.1T1改编）下面五个式子中：①a⊆{a}；②⌀⊆{a}；③{a}∈{a，b}；④{a}⊆{a}；⑤a∈{b，c，a}，正确的有 （　　） A.②④⑤ B.②③④⑤ C.②④ D.①⑤ 解析　①中，a是集合{a}中的一个元素，a∈{a}，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{a}是{a，b}的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a是{b，c，a}的元素，所以⑤正确. 答案　A 3.（人A必修第一册P14习题1.3T4改编）设全集为R，A＝{x｜3≤x＜7}，B＝{x｜2＜x＜10}，则∁R（A∪B）＝ 　　　　⁠，（∁RA）∩B＝ 　　　　⁠.  解析　把集合A，B在数轴上表示如图.由图知，A∪B＝{x｜2＜x＜10}，所以 ∁R（A∪B）＝{x｜x≤2或x≥10}.因为∁RA＝{x｜x＜3或x≥7}，所以（∁RA）∩B＝{x｜2＜x＜3或7≤x＜10}. 答案　{x｜x≤2或x≥10}　{x｜2＜x＜3或7≤x＜10} ｜易错自纠｜ 5.（忽视元素的互异性致误）已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为 （　　） A.1 B.－ C.1或－ D.－1或 解析　当m＋2＝3时，m＝1，此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－（m＝1舍去）. 答案　B ⁠ [对应学生用书P2] 3.（2023·广东广州·三模）若a∈{1，3，a2}，则a的可能取值有 （　　） A.0 B.0，1 C.0，3 D.0，1，3 解析　a＝0时，可得a∈{1，3，0}，符合题设；a＝1时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；a＝3时，可得a∈{1，3，9}，符合题设，∴a＝0或a＝3均可以. 答案　C 4.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝ 　　　　⁠.  解析　由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0. 答案　0 ⁠ 1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义. 2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 考点2　集合间的基本关系（师生共研） ⁠ （1）若B⊆A，应分B＝⌀和B≠⌀两种情况讨论. （2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解. （3）设全集U＝R，集合M＝{0，1，2，3，4，5}，N＝{x｜y＝}，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是 （　　） A.（－∞，2） B.（－∞，2] C.{0，1} D.{0，1，2} 解析　集合M＝{0，1，2，3，4，5}，N＝{x｜y＝}＝{x｜x≥2}，所以∁UN＝{x｜x＜2}.图中阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝{0，1}. 答案　C ⁠ 1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算. 2.数形结合思想的应用： （1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； （2）连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心. 角度2　根据集合的运算求参数 ⁠ 利用集合的运算求参数的方法 （1）与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值的取舍. （2）若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解. 提醒　在求出参数后，注意结果的验证（满足集合中元素的互异性）. 2.若集合A＝，B＝{－2，－1，1，2，3}，则（∁RA）∩B＝（　　） A.{－2，－1} B.{－1，1} C.{1，2，3} D.{－1} 解析　A＝＝{x｜x≥1或x＜－2}，∁RA＝{x｜－2≤x＜1}，所以（∁RA）∩B＝{－2，－1}.故选A. 答案　A 考点4　集合的新定义问题（师生共研） [例4]　（多选）集合A，B是实数集R的子集，定义A－B＝{x｜x∈A，x∉B}，A*B＝（A－B）∪（B－A）叫做集合的对称差.若集合A＝{y｜y＝（x－1）2＋1，0≤x≤3}，B＝{y｜y＝x2＋1，1≤x≤3}，则以下说法正确的是 （　　） A.A＝{y｜－1≤y≤5} B.A－B＝{y｜1≤y＜2} C.B－A＝{y｜5＜y≤10} D.A*B＝{y｜1＜y≤2}∪{y｜5＜y≤10} 解析　A＝{y｜y＝（x－1）2＋1，0≤x≤3}＝{y｜1≤y≤5}，A错误；B＝{y｜y＝x2＋1，1≤x≤3}＝{y｜2≤y≤10}，A－B＝{x｜1≤x＜2}，B正确；B－A＝{y｜5＜y≤10}，C正确；A*B＝（A－B）∪（B－A）＝{y｜1≤y＜2}∪{y｜5＜y≤10}，D错误.故选BC. 答案　BC ⁠ 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点 （1）准确转化.解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆. （2）方法选取.对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)集合{x∈Z|x3＝x}，用列举法表示为{－1，0，1}．(　　) (2){x|y＝log2(x2＋1)}＝{y|y＝log2(x2＋1)}＝{(x，y)|y＝log2(x2＋1)}．(　　) (3)集合A＝{1，2，3，5}的真子集个数是15.(　　) (4)设U＝R，A＝{x|lg x<1}，则∁UA＝{x|lg x≥1}＝{x|x≥10}．(　　) 4．(不理解集合的代表元素致误)已知集合A＝{x|y＝lg (x2－3x＋2)}，B＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，则A∩B＝(　　) A．(2，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞) 解析　集合A中x2－3x＋2>0，所以x<1或x>2，集合B中y≥1，所以A∩B＝(2， ＋∞). 答案　A 考点1 集合的基本概念(题组通关) 1.已知集合A＝{x|x2≤1}，集合B＝{x|x∈Z且x－1∈A}，则B＝(　　) A.{－1，0，1} B.{0，1，2} C.{－2，－1，0} D.{－2，－1，0，1，2} 解析　因为A＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x∈Z且x－1∈A}， 所以B＝{0，1，2}. 答案　B 2.(2024·山东潍坊·模拟)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{m|m2－1∈A，m－1∉A}，则集合B中所有元素之和为(　　) A.0 B.1 C.－1 D. 解析　根据条件分别令m2－1＝－1，0，1，解得m＝0，±1，±，又m－1∉A，所以m＝－1，±，所以B＝，所以集合B中所有元素之和是－1，故选C. 答案　C [例1]　(1)已知集合M＝{x|y＝，x∈R}，N＝{x|x＝m2，m∈M}，则集合M，N的关系是(　　) A．M⊆N B．N⊆M C．M⊆∁RN D．N⊆∁RM 解析　因为M＝{x|y＝，x∈R}＝{x|－1≤x≤1}，N＝{x|x＝m2，m∈M}＝{x|0≤x≤1}，所以N⊆M. 答案　B (2)已知集合A＝{x|log2(x－1)<1}，B＝{x||x－a|<2}，若A⊆B，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，3) B．[1，3] C．[1，＋∞) D．(－∞，3] 解析　由log2(x－1)<1，得0<x－1<2，所以A＝(1，3).由|x－a|<2，得a－2<x<a＋2，所以B＝(a－2，a＋2).因为A⊆B，所以解得1≤a≤3.所以实数a的取值范围为[1，3]. 答案　B 变式训练 1.(2023·四川成都·石室中学模拟)集合A＝的真子集的个数为(　　) A.3　　 B.7　 　　 C.15　 　 D.16 解析　因为A＝＝{x∈N*|5－x>0}＝{1，2，3，4}，所以集合A的真子集的个数为24－1＝15. 答案　C 2.下列集合关系中错误的是(　　) A.{(a，b)}⊆{a，b} B.{0，2}⊆Z C.∅⊆{0} D.{0，1}⊆{1，0} 解析　对于A，集合{(a，b)}为点集，含有元素(a，b)，集合{a，b}含有两个元素a，b，所以{(a，b)}不包含于{a，b}，故A错误；对于B，{0，2}⊆Z，故B正确；对于C，∅⊆{0}，故C正确；对于D，因为{0，1}＝{1，0}，所以{0，1}⊆{1，0}，故D正确.故选A. 答案　A 3.(2023·新高考全国Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A.2 B.1 C. D.－1 解析　因为A⊆B,则有：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，符合题意.综上所述，a＝1.故选B. 答案　B 角度1　集合的基本运算 [例2]　(1)(2024·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} 解析　因为A＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，且注意到1<<2，从而A∩B＝{－1，0}． 答案　A 考点3 集合间的基本运算(多维探究) (2)(2023·全国甲卷理科)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z},U为整数集，∁U(A∪B)＝(　　) A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z} C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.∅ 解析　因为整数集Z＝{x|x＝3k，k∈Z}∪{x|x＝3k＋1，k∈Z}∪{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U＝Z，所以∁U(A∪B)＝{x|x＝3k，k∈Z}. 答案　A [例3]　(1)(多选)已知A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可能为(　　) A．－ B． C．0 D．－ 解析　由题意知A＝{x|x2＋x－6＝0}，由x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3，所以A＝{2，－3}，因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，m＝0，满足题意；当B≠∅时，B＝，－＝2或－＝－3，解得m＝－或m＝，综上，m＝0或－或. 答案　BCD (2)已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，1] B．(－∞，2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞) 解析　因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，则a－1≤1，解得a≤2. 答案　B 变式训练 1．(2024·全国甲卷数学(文))集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x＋1∈A}，则A∩B＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{3，4} D．{1，2，9} 解析　依题意得，对于集合B中的元素x，满足x＋1＝1，2，3，4，5，9，则x可能的取值为0，1，2，3，4，8，即B＝{0，1，2，3，4，8}，于是A∩B＝{1，2，3，4}． 答案　A 解析　因为B＝{x|x<2m}，所以∁RB＝{x|x≥2m}，又A＝{x|x>4}，且∁RB⊆A，所以2m>4，得到m>2. 答案　A 3．已知集合A＝{x|x>4}，B＝{x|x<2m}，且∁RB⊆A，则实数m的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(－∞，2] 变式训练 给定集合A，若对于任意a，b∈A，总有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下三个结论： ①集合A＝{－4，－2，0，2，4}为闭集合； ②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合； ③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合． 其中所有正确结论的序号是________. 解析　对于①，－4＋(－2)＝－6∉A，所以①不正确；对于②，设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；对于③，令A1＝{n|n＝3k，k∈Z}，A2＝{n|n＝k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但3k＋k∉(A1∪A2)，故A1∪A2不是闭集合，所以③不正确． 答案　② $$