精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市初中学业水平暨高中招生考试数学试卷模拟试题(三)

哈尔滨市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 3. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 今年4月，盘锦港举行31400吨外贸进口散装氧化铝“潘神”轮接卸剪彩仪式，数据31400用科学记数法表示为（　　） A. 0.314×105 B. 3.14×104 C. 31.4×103 D. 314×102 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 7. 如图，在中，D是边上的点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 10. 一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 12. 笔简中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是_____． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 14. 不等式组的解集是__________． 15. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 16. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________． 17. 已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是______度． 18. 若定义一种新运算：，则的值为______． 19. 已知：在中，，垂足为点，若，，则______. 20. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，连接交于M，交于N，，则线段的长为_____________． 三、解答题（21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 23. 某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用“”表示“相当满意”，“”表示“满意”，“”表示“比较满意”，“”表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少人？ （2）通过计算将图（2）中“”部分的图形补充完整． （3）如果该社区有居民人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？ 24. 如图，在中，交于点，点在上，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请直接写出与相等的线段． 25. 我省的冰雪旅游已进入爆发式增长，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A，B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于257元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 26. 已知是的内接三角形，弦于H，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接OB交CD于E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点O作于T，若，，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，若，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第三象限抛物线上一点，交y轴于D，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，于H，连接，点R为第一象限抛物线上的一点，连接，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市2025年初中学业水平暨高中招生考试 数学试卷（三） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中，绝对值最小的数是( ) A. B. 0 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据0的绝对值最小，即可求解． 【详解】解：∵0的绝对值最小， ∴绝对值最小的数是0， 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 2. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. （A） B. （B） C. （C） D. （D） 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形）逐个判断即可得． 【详解】解：A、选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，则此项符合题意； B、选项图形是中心对称图形，也是轴对称图形，则此项不符合题意； C、选项图形是中心对称图形，也是轴对称图形，则此项不符合题意； D、选项图形是中心对称图形，也是轴对称图形，则此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记定义是解题关键． 3. 如图所示的几何体是由一些小立方块搭成的，则这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据三视图中，从左边看得到的图形是左视图,因此从左边看第一层是两个小正方形，第二层左边一个小正方形， 故选D 考点：简单组合体的三视图 4. 今年4月，盘锦港举行31400吨外贸进口散装氧化铝“潘神”轮接卸剪彩仪式，数据31400用科学记数法表示为（　　） A. 0.314×105 B. 3.14×104 C. 31.4×103 D. 314×102 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解：31400用科学记数法表示为31400＝3.14×104． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察可得最简公分母为，去分母化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，去分母得， 解得， 经检验，是原方程的根， 故选：B． 【点睛】此题考查了解分式方程，解题思路是按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤来解，最后进行检验． 6. 用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ） A. 32 B. 34 C. 37 D. 41 【答案】C 【解析】 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n个图形的算式，然后再解答即可． 【详解】解：第1个图中有5个正方形； 第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1； 第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2； 第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3； ．．． 第n个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1； 当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键． 7. 如图，在中，D是边上的点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若与四边形的面积比为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的性质与判定，熟练掌握基本作图与相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据作图可得，然后得出，可证明，进而根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据作法得：， ∴， ∴， ∴， ∵与四边形的面积比为， ∴， ∴， ∴． 故选：A 8. 一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A. x2＝72 B. x（x﹣1）＝72 C. （x﹣1）2＝72 D. ＝72 【答案】B 【解析】 【分析】一个小组共有x人，则每个人送出去（x－1）个荷包，根据全组共送72个，列方程即可． 【详解】由题意得，x(x－1)＝72． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数和的图象交于P、Q两点．若S△POQ＝15，则k的值为（　　） A. 38 B. 22 C. ﹣7 D. ﹣22 【答案】D 【解析】 【分析】设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝，则PQ＝PM+MQ＝，再根据ab＝8，S△POQ＝15，列出式子求解即可． 【详解】解：设点P（a，b），Q（a，），则OM＝a，PM＝b，MQ＝， ∴PQ＝PM+MQ＝． ∵点P在反比例函数y＝的图象上， ∴ab＝8． ∵S△POQ＝15， ∴PQ•OM＝15， ∴a（b﹣）＝15． ∴ab﹣k＝30． ∴8﹣k＝30， 解得：k＝﹣22． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 10. 一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式． 【详解】解：设函数解析式为y=kx+b， 将（0，50）、（500，0）代入得 解得： ∴函数解析式为 当y=35时，代入解析式得：x=150 故选A 【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】函数是分式形式时，分式的分母是不能为0的，所以x＋2≠0，即可求得x的取值范围． 【详解】由题意可知：x＋2≠0， 解得：x≠−2； 所以，函数y＝的自变量x的取值范围是x≠−2． 故答案为：x≠−2 【点睛】此题考查函数自变量的取值范围.（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0. 12. 笔简中有10支型号、颜色完全相同的铅笔，将它们逐一标上1﹣10的号码，若从笔筒中任意抽出一支铅笔，则抽到编号是3的倍数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用概率公式计算可得． 【详解】解：抽到编号是3的倍数的概率是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分解因式是解题关键． 直接提取公因，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】 故答案为：． 14. 不等式组的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得，x＞−2， 解不等式②得，x≤3， 故此不等式组的解集为：−2＜x≤3． 故答案为：−2＜x≤3． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 15. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】令，求出对应的函数值y，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象与轴交点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求二次函数图象与y轴的交点坐标．掌握求抛物线与y轴交点坐标的方法是解题的关键． 16. 如图，已知是的直径，是的切线，连接交于点，连接．若，则的度数是_________． 【答案】25 【解析】 【分析】先由切线的性质可得∠OAC=90°，再根据三角形的内角和定理可求出∠AOD=50°，最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”即可求出∠B的度数． 【详解】解：∵是的切线， ∴∠OAC=90° ∵， ∴∠AOD=50°， ∴∠B=∠AOD=25° 故答案为：25． 【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 17. 已知扇形的面积为15πcm2，弧长为5πcm，则该扇形的圆心角是______度． 【答案】150 【解析】 【分析】设扇形圆心角的度数为n，半径为r，再由扇形的面积公式求出r的值，根据弧长公式即可得出结论． 【详解】解：设扇形圆心角的度数为n，半径为r， ∵扇形的弧长为5π，面积为15π， ∴15π＝×5πr，解得r＝6． ∵， ∴n＝150° 故答案为：150． 【点睛】本题考查扇形的面积公式、弧长公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 18. 若定义一种新运算：，则的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查有理数的运算，根据定义新运算，列出算式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 19. 已知：在中，，垂足为点，若，，则______. 【答案】75°或35° 【解析】 【分析】分两种情况：当为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，通过等量代换得出，从而利用三角形外角的性质求出，最后利用三角形内角和即可求解；当为钝角时，直接利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解． 【详解】当为锐角时，过点A作AD=AB，交BC于点D，如图1 当为钝角时，如图2 故答案为：75°或35°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形外角的性质，分情况讨论是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，对角线交于点O，，，连接交于M，交于N，，则线段的长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理．连接，交于点．证明四边形为菱形，可得，，，再证明，可得，从而得到，再由勾股定理可得，再证明，可得，即可求解． 【详解】解：连接，交于点． ，， 四边形为平行四边形． 四边形为矩形， ，，，． 为菱形． ，，． ． ． ， 四边形为平行四边形． ． ． ，， ． ． ， ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 三、解答题（21－22题各7分，23－24题各8分，25－27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先将括号内的分式通分，然后进行减法计算，再将除法转化为乘法进行计算，然后根据特殊角三角函数值求出x，再将x代入化简后的分式即可． 【详解】解：， ， ， ， ； ∵， ∴原式＝． 【点睛】本题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟悉因式分解及分式的运算法则是解题的关键． 22. 图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上． （1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长； （2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上． 【答案】 （1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为； （2）如图2所示：四边形ABCD即为所求． 【解析】 【分析】（1）通过数格子可得到点P关于AC的对称点，再直接利用勾股定理可得到周长； （2）利用网格结合矩形的性质以及勾股定理可画出矩形. 【详解】（1）； （2）略 考点：1轴对称；2勾股定理. 23. 某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用“”表示“相当满意”，“”表示“满意”，“”表示“比较满意”，“”表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）本次问卷调查，共调查了多少人？ （2）通过计算将图（2）中“”部分的图形补充完整． （3）如果该社区有居民人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？ 【答案】（1） （2） 补充统计图如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图、扇形统计图、利用样本估计总体； （1）用“”部分人数占比即可求解； （2）先求得部分的人数，进而补全统计图，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 部分的人数为：， 【小问3详解】 解：依题意，估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有（人） 答：估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有． 24. 如图，在中，交于点，点在上，，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请直接写出与相等的线段． 【答案】（1）证明：四边形为平行四边形， ，． ， ．即． 四边形为平行四边形． （2），，． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，再根据，可得，即可求证； （2）根据平行四边形的性质可得，从而得到，再由，可得，从而得到，进而得到四边形为菱形，继而得到，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， 即与相等的线段有，，． 25. 我省的冰雪旅游已进入爆发式增长，某旅游商品经销店欲购进A，B两种冰雪纪念品，若用380元可以购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件，B种纪念品6件． (1)求A，B两种纪念品的进价分别为多少? (2)若该经销店每件A种纪念品售价25元，每件B种纪念品售价38元，该经销店准备购进A，B两种纪念品共40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于257元，则该经销店最多可购进A种纪念品多少件? 【答案】（1）A､B两种纪念品的进价分别为20元，30元；（2）该经销店最多可购进A种纪念品21件． 【解析】 【分析】（1）设A种纪念品的进价为x元、B种纪念品的进价为y元，件数×进价=付款，可得到一个二元一次方程组，解方程组即可． （2）获利=利润×件数，设购买A商品a件，则购买B商品（40﹣a）件，由A商品利润+B商品利润≥257可得到一个不等式，解不等式即可． 【详解】解：(1)设A､B两种纪念品的进价分别为x元､y元． 由题意得 解得 答:A､B两种纪念品的进价分别为20元､30元． (2)设该经销店购进A种纪念品a件,则购进B种纪念品件, 由题意,得 解 答:该经销店最多可购进A种纪念品21件． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，及一元一次不等式的应用，掌握二元一次方程组的应用，及一元一次不等式的应用，利用了总获利=A利润×A件数+B利润×B件数构造不等式，利用件数×进价=付款，列二元一次方程组是解题关键． 26. 已知是的内接三角形，弦于H，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接OB交CD于E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点O作于T，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接，设． ． ． ． ． ． （2） 证明：， ． ． ． ． ． ． ． ． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设．通过等腰三角形的性质得到，再根据即可得解； （2）根据平行线的性质得到，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，计算得到，即可证明； （3）连接，延长交于点，交于点，连接．根据垂直平分线的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质等量代换得到，则，证明，进而证明，根据垂直平分线的性质得到，过作于，证明，得到设，根据勾股定理求出k的值，进而根据三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，延长交于点，交于点，连接． ， 是的垂直平分线． ． ． ∵， ∴ ． ， ． ． ． ． ． ， ． 垂直平分．连接 ． 垂直平分 ． ． ． ． ． 过作于 ． ， ． 设 ． ． ． ． ． ． ． 即的面积为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，圆周角定理，垂直平分线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 27. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，若，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第三象限抛物线上一点，交y轴于D，设点P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，于H，连接，点R为第一象限抛物线上的一点，连接，若，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】1）设直线交轴于点，则，可得，由对称性，得：从而得到点B的坐标，然后在中，根据，可得，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法解答，即可求解． （2）过作于点，根据题意得，然后在和中，利用锐角三角函数，可得，从而得到，即可求解； （3）延长与的延长线交于点M．根据题意可得．过C作于点E，则．根据三角形中位线定理可得，可证明，进而得到．再利用锐角三角函数，可得，从而得到．连接，延长与延长线交于点Q，，从而得到．进而得到．设，则，可证明，过R作轴于点K，则．设，，．再证得，．从而得到，，然后利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：由题知，抛物线的对称轴为直线． 设直线交轴于点，则． ， ， ， 由对称性，得：． ． ， 在中，， ． ， 把代入，得： 解得 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过作于点， 点的横坐标为，点在抛物线上， ． ． ∵在中，， 在中，， ，即， ． ，即． 【小问3详解】 解：延长与的延长线交于点M． ， ． ， ． ，． ， ， ． 过C作于点E， ． 为的中位线， ． ，． ． ，， ， ， ． 在中，． 在中，， ， ， ． ． 连接，延长与延长线交于点Q． ，，， ， ． ， ． ， ． 设，则． ． ． ， 过R作轴于点K，则． 设． ，． ，， ， ． ， ． （舍去）或， ． 设直线的解析式为． 把，代入，得 ，解得． 直线的解析式为． 【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数图像的性质，二次函数图像上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质等腰三角形的性质，解直角三角形，利用点的坐标表示出对应线段的长度是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $