第十三章 三角形-【魔力暑假A计划】2024-2025学年新教材七年级下册数学暑假作业（人教版2024）

第四部分 新知预习 八年级上册 灯第什旦章之三角形 13.1 三角形的概念 (3)以AB为边的三角形有哪些？ 新知导航 【分析】查找三角形时可按逆时针方向，先 1.与三角形有关的概念 固定一条边，再通过查第三个顶点的方法确定 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺 三角形 次相接所组成的图形叫作三角形.组成三角形 【解】(1)图中有7个三角形，分别是△ABD, 的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点 △ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC,△AFG. 叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作 (2)△ABD的边是AB,BD,AD:顶点是点 三角形的内角，简称三角形的角。 数 A,B,D:三个内角是∠B,∠BDA,∠BAD. 如右图，由AB,BC,CA三 条线段首尾顺次相接组成的图 (3)以AB为边的三角形有△ABD,△ABE, 七 年 形，记作“△ABC”,读作“三角 △ABC. 级 形ABC”.其中A,B,C三点是 达标导练 △ABC的顶点.∠A,∠B,∠C是△ABC的内 然一、选择题 角，简称三角形的角.线段AB,BC,CA是 △ABC的边（有时也用a,b,c来表示）. 1.观察下列图形，其中是三角形的是 2.三角形的分类 (1)按角分类： 锐角三角形 2.一个三角形的三边长之比是2：2：1，周长 三角形直角三角形 是10，此三角形按边分是 钝角三角形 A.等腰三角形 (2)按边的相等关系分类： B.等边三角形 三（三边都不相等的三角形 角等腰〔底边和腰不相等的等腰三角形 C.三边都不相等的三角形 形三角形等边三角形 D.以上都不对 二、填空题 典例导学 3.如图，在△BCE中，边BE所 【例】观察图形。 对的角是 ·∠CBE E (1)右图中有几个三角 所对的边是 ；在 B 形？把它们一一写出来： △AEC中，边AE所对的角 第3题图 (2)写出△ABD的边、顶 是 ,∠AEC所对的边是 点及三个内角： 以∠A为内角的三角形有 58 4.小明同学复习几种三角形的关系时发现，通 三、解答题 过增加特殊的边或者角的条件能得到新的 6.如下图. 三角形.下面是小明同学整理的思维导图， (1)图中共有多少个三角形？请把它们写 请帮他在括号内填上一个适当的条件： 出来； (2)线段AE是哪些三角形的边？ (3)∠B是哪些三角形的角？ AB=AC 三角形图 三角形 角形 ∠A=90 角 三角形 AB=AC 等腰直阶 三角形 B 第4题图 5.若△ABC的三边长分别是a,b,c,且(a一b) +|b-c|=0,则△ABC是 三角形 (填“等边”或“等腰”). 版 13.2与三角形有关的线段 四部分 焱13.2.1三角形的边 第一条边长为mm,由于条件限制，第二条边 新知导航 长比第一条边长的3倍少2m. 1,三角形的三边关系 习 (1)请用含m的式子表示第三条边长； 三角形两边的和大于第三边。 (2)第一条边长能否为10m?为什么？ 三角形两边的差小于第三边 (3)求m的取值范围. 2.三角形的稳定性 【分析】(1)本题需先表示出第二条边长， 三角形的三边长一旦确定，三角形的 三角形的 再根据边长总和是50m可得出第三条边长： 形状就确定了，这个性质叫作三角形 稳定性 (2)求出当m=10时，三条边长的长度，再根据 的稳定性 三角形三边关系即可作出判断：(3)根据三角 (1)三角形的稳定性是三角形独有的 形的三边关系定理列出不等式组，即可求出m 性质，在生活和生产中应用广泛。 的取值范围. (2)四边形及以上的图形不具有稳定 归纳总结 性，但在生产和生活中也被广泛应用。 【解】(1)由题意，得第二条边长为(3m一 为保证四边形的稳定性，常在四边形 2)m 中构造三角形.最简单的方法是作对 .第三条边长为50一m-(3m一2)=(52 角线（四边形不相邻两顶点的连线） -4m)m. (2)当m-10时，三边长分别为10,28,12. 典例导学 ,10十12<28，.不能构成三角形.故第 【例1】小刚准备用一段长50m的篱笆围 一条边长不能为10m. 成一个三角形形状的场地，用于饲养鸡，已知 (3)由题意，得 59 m+(3m-2)>52-4m, m+(52-4m)>3m-2, (3m-2)十(52-4m)>m, 解得7m< C.三脚架 D.活动衣架 故m的取值范围是27<m<9。 4 4.如图，为了估计池塘两岸 A 【例2】木工师傅做完门框 A,B间的距离，在池塘的 后，为防止变形常按如右图所 一侧选取点P.如果测得 第4题图 示的方式钉上斜拉的木板条 PA=15m,PB=10m,那么A,B间的距离 (图中AB,CD两根木条).这 不可能是 ( ) 样做依据的数学原理是 A.6m B.8.7m C.18m D.27m 【分析】本题中钉上两根斜拉木板条的目 5.(宜宾中考)若长度分别是a,3,5的三条线段 的是构造出两个三角形. 能组成一个三角形，则a的值可以是( 【解】三角形具有稳定性 A.1 B.2 C.4 D.8 二、填空题 达标导练 学 6.空调安装在墙上时，一般都会采用 焱一、选择题 如图所示的方法固定，这种方法应 七 1,(长沙中考)下列长度的三条线段中，能组成 用的几何原理是 级 三角形的是 ( 4 7.三角形具有稳定性.要使一个四边 第6题图 A.1,3,4 B.2,2,7 形框架稳定不变形，至少需要钉1根木条： C.4,5,7 D.3.3,6 要使一个五边形框架稳定不变形，至少需要 2.(徐州雕宁期中)下列图形中，具有稳定性的 钉2根木条；…，要使一个十边形框架稳 是 定不变形，则至少需要钉 根木条 8.若一个三角形的两边的长分别为3和8，第 三条边的长为奇数，则第三条边的长为 B 焱三、解答题 9.(襄阳襄州区月考)已知a,b,c满足a-22+ √b-5+(c-32)2=0. (1)求a,b,c的值： 3.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 (2)以a,b,c为边能否组成一个三角形？若 性的是 能，求出三角形的周长：若不能，请说明理由. A.太阳能热水器 B.篮球架 60 线13.2.2三角形的中线、角平分线、高 △ABC的BC边上的高.：AD⊥BC,垂足为 新知导航 D,.∠BDA=∠CDA=90. 1.三角形的中线 (1)定义：在三角形中，连接一个顶点和它 典例导学 对边的中点所得的线段叫作三角形的中线。 【例】如下图，已知△ABC,按下列要求 (2)三角形中线的几何叙述： 作图： 分 (1)作出∠ABC的平分线，并指出相等 如上图，如果AD是△ABC的边BC上的 的角： 中线，那么BD=DC-BC(或BC=2BD (2)作出BC边上的中线，并指出相等的 线段： 2DC或D是BC的中点). (3)作出BC边上的高，并指出图中所有的 拓展：三角形三条中线的交点叫作三角形 直角三角形. 第 的重心. 【分析】(1)作∠ABC的平分线与对边交于 部 2.三角形的角平分线 点D,线段BD即为所求：(2)取BC边的中点 分 (1)定义：在三角形中，一个内角的平分线 E,与BC边所对顶点A连接的线段AE即为 新 与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的 所求：(3)从顶点A向它的对边BC作垂线，垂 线段叫作三角形的角平分线， 足F落在CB的延长线上，顶点A和垂足间的 习 (2)三角形角平分线的几何叙述： 线段AF即为所求。 【解】如图所示。 如上图，如果AD是△ABC的角平分线， (1)BD是∠ABC的平分线.∠ABD 那么∠DAB=∠DAC=2∠BAC(或∠BAC =∠CBD (2)AE是BC边上的中线.BE=CE. 2∠DAB=2∠DAC). (3)AF是BC边上的高. 3.三角形的高 ,AF⊥BC. (1)定义：从三角形一个顶点向它的对边 .∠AFC=90, 所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫作 .图中的直角三角形有△AFB,△AFE 角形的高线（简称三角形的高）， 和△AFC. (2)三角形高的几何叙述： 如右图，在△ABC中，如 达标导练 果AD是过点A向BC边上 一、选择题 作的垂线，那么AD就是B 1.(晋中榆次区期末)用一块含30°角的透明直 61 角三角板画已知△ABC的边BC上的高，下 ∠COE=60°，那么∠BOD的度数为() 列三角板的摆放位置正确的是 A.50 B.60 C.65° D.70 5.如图，AD是△ABC的中线，BE是△ABD 的中线.已知S△e=7cm,则△ABC的面 B 积是 A.18 cm2 B.28 cm2 C.36 cm D.45 cm2 2.(达州达川区期中)给出下列说法： ①从直线外一点到这条直线的垂线段叫作 5题图 第6题围 这个点到这条直线的距离； 二、填空题 ②三角形的角平分线是射线： 6.如图，在△ABC中，如果过点B作PB⊥BC ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点 整 交边AC于点P,过点C作CQ⊥AB交AB 不在三角形内就在三角形外： 的延长线于点Q,那么图中线段 是 七 ④任何一个三角形都有三条高、三条中线、 △ABC的一条高. 级 三条角平分线： 7.若一个三角形的三条高所在直线的交点在 ⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点 三角形外部，此三角形是 三角形 在三角形内. (填“锐角"“直角”或“钝角”). 其中正确的有 8.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中 A.1个 B.2个 线.若CE=9cm,则BC= cm. C.3个 D.4个 3.如图，AD⊥BC,GC⊥BC,CF⊥AB,垂足分 别是D,C,F.下列说法中，错误的是( A,△ABC中，AD是边BC上的高 E D 第8题图 B.△ABC中，GC是边BC上的高 第9题园 9.如图，AD,AE分别是△ABC和△ABD的角平 C.△GBC中，GC是边BC上的高 分线，且∠BAC=60°，则∠EAC的度数为 D.△GBC中，CF是边BG上的高 10.如图，AD,BE分别是△ABC中BC,AC边 上的高.若BC=6cm,AC=5cm,AD= 4cm,则BE的长为 cm. 第3题图 第4题图 4.如图，OB是△AOC的角平分线，OD是 D △COE的角平分线.如果∠AOB=40°， 第10题图 62 三、解答题 12.如右图，BD是△ABC的中 11.如下图，D是△ABC中BC边上一点，DE 线，△ABD的周长比△BCD ∥AC交AB于点E.若∠EDA=∠EAD, 的周长多2cm.若△ABC的 求证：AD是△ABC的角平分线. 周长为18cm,且AC=4cm, 求AB和BC的长. 一版·第四部分 13.3三角形的内角与外角 送13.3.1三角形的内角 新知预习 第1课时三角形的内角和 新知导航 又：AD平分∠BAC,·∠CAD= 2∠BAC 三角形内角和定理 =40°. 定理：三角形三个内角的和等于180° 【答案】A 表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° 【例2】（周口沈丘月考）如 右图，在△ABC中，三个内角的 典例导学 平分线交于点O,过点O作OD 【例1】如右图，在△ABC ⊥OB,交边AB于点D 中，∠B=67°，∠C=33°，AD (1)若∠ABC=40°，则∠AOC= 是∠BAC的平分线，则 B ,∠ADO= ∠CAD的度数为 (2)猜想∠AOC与∠ADO的关系，并说明 A.40°B.45° C.50° D.55° 理由。 【分析】：∠B=67°，∠C=33°，∴.∠BAC 【分析】(1)先根据三角形的内角和得到 =180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80° ∠BAC十∠BCA的度数，再根据角平分线的定 63 义得到∠OAC十∠OCA=号（∠BAC+ 2.课间小丽和小王利用直尺和三角板进行探 究活动，如图，将三角板ABC(∠ACB=90°， ∠BCA),最后根据三角形的内角和即可得到 ∠B=45°)与直尺贴在一起，使三角板ABC 结论：(2)设∠ABC=a,根据三角形的内角和 的顶点C在直尺的一边上.若量得∠1= 和角平分线的定义即可得到结论 62°，则∠2的度数为 () 【解】(1)110°110 A.107 B.117 (2)相等.理由如下： C.118 D.152 设∠ABC=a, 3.如图，∠A=35°，∠B=90°，∠C=4∠D,则 则∠BAC+∠BCA=180°-a. ∠D的度数是 () △ABC中，三个内角的平分线交于 点O0, ·∠OAC+∠OCA=号（∠BAC+ 第3题图 A.25° B.35 ∠BCA)=90° 2, C.45 D.559 .∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA)= 4.在△ABC中，∠A=105°，∠B-∠C=15°， 学 90+2 则∠C的度数为 七 A.35 B.60° ,BO平分∠ABC, 级 C.45 D.30 ∠AB0-2∠ABC= 2. 二、填空题 .OD⊥OB. 5.一副三角板按如图所示的方式放置，点A在 .∠BOD=90°， DE上，点F在BC上.若∠EAB=35,则 六∠BDO=90°- ∠DFC的度数为 2a, ∠AD0=180°∠BD0=90°+2a, ∴.∠AOC=∠ADO 72 72 B 达标导练 第5题图 第7题图 6.在△ABC中，三个内角∠A,∠B,∠C满足 放一、选择题 ∠B-∠A=∠C-∠B,则∠B的度数为 1.(聊城中考)如图，分别过△ABC的顶点A, B作AD∥BE,AD交BC于点D.若∠CAD 7.如图，点B,C,E,F在一条直线上，AB∥ =25°，∠EBC=80°，则∠C的度数为() CD,DE∥GF,∠B=∠F=72°，则∠D的度 A.65° B.75 C.85 D.95 数为 8.(哈尔滨南岗区月考)已知在△ABC中， ∠BAC=120°，∠C=40°，点E在边BC上 连接AE.若△AEC是直角三角形，则 第1题图 第2题图 ∠BAE的度数为 64 三、解答题 10.(盐城期末)如下图，在△ABC中，AD为 9.如下图，在△ABC中，∠A=46°，CE是 BC边上的高，且∠ABC=∠DAC,∠ABC ∠ACB的平分线，点B,C,D在同一条直线 的平分线BE交AD于点E,过点D作DF 上，且FD∥EC.若∠D=42°，求∠B的 ∥BE交AC于点F.求证： 度数 (1)∠BAC=90°： (2)∠ADF=∠AFD. 一版 ·第四部分 第2课时直角三角形两锐角互余 新知预习 【分析】.在△ABC中，∠C=90°，.∠A 新知导航 +∠B=90°.：∠B=4∠A,∴.∠A+∠B 直角三角形的性质与判定 ∠A+4∠A=90°，∴.∠A=18. (1)性质：直角三角形的两月 【答案】B 个锐角互余.直角三角形可以 【例2】将一块直角三角板和一把直尺按如 用符号“Rt△”表示，直角三角 形ABC可以写成Rt△ABC 下图所示的方式放置.若∠a=43°，则∠B的度 (2)判定：有两个角互余的三角形是直角 数是 () 三角形 如上图所示，在△ABC中，若∠A十∠B= 90°，则△ABC是直角三角形. 典例导学 【例1】在△ABC中，∠C=90°，∠B= 4∠A,则∠A的度数为 ( A.43° B.47 A.21 B.18 C.30 D.60 C.15 D.11.25 【分析】如图所示，延长AC与直尺的一边 65 交于点D.由平行线的性质可 5.(镇江期中)如图，△ABC中，∠C=90°，AD 知，∠CEF=∠a=43°， 是△ABC的角平分线，过点D作DE⊥AB ∠BDC=∠CEF=43. 于点E.若∠B=30°，则∠ADE的度数为 又易知∠3=∠1，∠1十 ∠BDC=180°-90°=90°， 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB,分 ∴.∠3+43°=90°， 别交AC,BC于点E,F.若∠CEF=50°，则 ∴.∠8=90°-43°=47°. ∠B的度数为 【答案】B 达标导练 一、选择题 1.(漳州漳浦月考)有下列条件： 第6题图 ①∠A+∠B=∠C: 达三、解答题 ②∠A:∠B:∠C=1：5:6: ③∠A=90°-∠B: 7.(常州天宁区期中)定义：如果一个三角形的 数 ①∠A=∠B=∠C. 两个内角a与3满足2a十3=90°，那么我们 其中，能确定△ABC是直角三角形的有 称这样的三角形为“准互余三角形”。 七 (1)若△ABC是“准互余三角形”，且∠C> 级 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 90°，∠A=60°，则∠B的度数是 2.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC,则图中与∠B (2)已知△ABC是直角三角形，∠C=90° 互余的角有 ①如右图，若AD是∠BAC A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 的平分线，请判断△ABD是 A2 否为“准互余三角形”，并说明c 理由： B C ②若边BC上有一点E,使得△ABE是“准 第2题图 第3题图 3.如图，直线4∥b,CA⊥AB,∠1=60°，则∠2 互余三角形”，且∠B=24°，则∠EAC的度数 的度数是 是 A.50 B.45 C.35 D.30 然二、填空题 4.(信阳固始期末)如图，已知直线a∥b, Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C=90°， ∠BAC=55°.若∠2=35°，则∠1的度数是 第5避图 66把③代人①,得3x+4(4-)=18,$ 私人汽车拥有量条形图 |数量/万辆 200........ 解得x-2. 把x-2代入③,得y-3 1r-2. .这个方程组的解是 -3. 02020 2021 2022 2023 年份 6.C 7.B (3)小明的说法不正确,理由:从2020年-2023年私 [3x十y-7,① 人汽车拥有量一直在增加,只是增长率呈先升后降的 8.解: 15.-2-8.② 趋势,增长率反映的是增长速度 ①×2+②,得11x-22 2.解:(1)2 50 解得x-2. (2)C组户数为50×40%一20,D组户数为50×28% 把x-2代入①,得3×2十y-7,解得y-1. -14.E组户数为50×8%一4,补全图形如图. 1户数 1r-2. 架 20 .原方程组的解是 -1. .......... 9.B 10 10 第章 不等式与不等式组 02 A B C D F 组别 1.D 2.B 3.C (3)20+14+4-38(户),40%+28%+8%-76%. 2-6.① 4.解:{1+1.② 故所抽取的家庭中每月用于“信息消费”的金额不少 于200元的有38户,占所抽取家庭的76% 2 6 第四部分 新知预习 解不等式①,得x一3. 八年级上册 解不等式②,得x2, '.这个不等式组的解集是一3 x2. 第章 三角形 解集在数轴上表示如图所示. 13.1 三角形的概念 -4-3-2-1 1.B 2.A 5.C 6.C 7.D 8.B 3. BCE CE ACE AC △ABD,△ABC. 9.解:设有x辆货车,则有(4x+20)1的货物. △ACE 4x+208(-1). 由题意可列不等式组 4. A-60(答案不唯一)5.等边 4xr+20<8.x. 6.解:(1)题图中共有6个三角形,它们分别是△ABD. 解得5x<7. △ABE,△ABC,△ADE,△ADC,△AEC. ..r为整数, (2)线段AE是△ABE,△ADE,△AEC的边. .=6. (3) B是ABD.ABE,ABC的角 故有6辆货车. 13.2 与三角形有关的线段 第一章 数据的收集、整理与描述 13.2.1 三角形的边 1.解;(1)根据私人汽车拥有量年增长率折线图可知,增 1.C 2.C 3.D 4.D 5.C 长率最大的一年为2022年. 6.三角形具有稳定性 7.7 8.7或9 (2)100-(1+18%)~85(万辆) 9.解;(1),'a,b,c满足la-2②+-5+(c-3②) ..2019年该市拥有私人汽车约85万辆 -0. 2021年该市拥有私人汽车100×(1+20%)-120(万 '-2/2-0,b-5-0.c-3v/2-0. 辆).补全条形图如图 解得a-2/2,b-5.c-3/② RJ版·参考答案 93 (2)能.,a-2②,b-5,c-3② '.ADF=/CDF十C. .+c-2②+3②-5② 又:AFD=180*-CFD=CDF+C ·21. . ADF= AFD. ..5/25. 第2课时 直角三角形两锐角互余 1.C 2.A 3. D 4.70* 5.60{* 6.40° '.以a,b,c为边能组成一个三角形, 7.解:(1)15* 周长为22+5+3/2-52+5. (2)①△ABD是“准互余三角形”. 13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 理由:.AD是BAC的平分线. 1. D 2. B 3. B 4. D 5. B 6. CQ '. BAC-2BAD 7.钝角 8.12 9.45{ 10. :C-90. 11.证明:·DE/AC 'BAC+B-90{ '.EDA-CAD '.2 BAD+ B-90”, :EDA-EAD '.△ABD是“准互余三角形”。 .CAD= EAD ②33或24* 第五部分 '.AD是△ABC的角平分线. 综合测评 12.解:AB-8cm,BC-6cm. 综合测评卷 13.3 三角形的内角与外角 1.C 2.D 3.C 4.A 5.A 13.3.1 三角形的内角 6.D 【解析】设BOF=. 第1课时 三角形的内角和 :OF平分BOC. 1. B 2.A 3.A 4. D 5.100{* 6.60{* 7.36° '. BOC=2 BOF=2.. 8.30{或70” *.AOD-BOC-2x. 9.解:'FD//EC. D=42*. '. BCE=/D=42*。 .:EOAB. .CE是ACB的平分线 'EOA-EOB-90* .. ACB-2 BCE-84*。 'EOF-90*-.DOE-2x+90$ 又:A-46*. 'DOE-3 EOF-5*. * B-180-84^*-46^{*-50{$$ '.2x+90*-3(90”-x)-5*. 10.证明:(1)·AD为BC边上的高; 解得x-35{. ' BAD+ ABD-90{ '.AOD-2x=70。 又:ABC-DAC. 7. x 2 8.60* 9.78 10.12 11.20 '. BAD+DAC=90* 12.(2,8)或(2,-10) 即 BAC-90{} 13.解:(1)原式-2-3+2-1-3-3. (2)''DF//BE. (2)②-①,得5y=-3,解得y-- DBE= CDF. BED= ADF 5. .BE平分ABC 将-- 11 5 '.ABE- DBE= CDF . BED-180*- BEA 则方程组的解为 '. BED= ABE十BAE. 3. '. ADF- BED- CDF+$BAE$ . ABC+$BAE=90$DAC+C=90{ 14.解:(2n-1)-9. ABC- DAC. *2m-1--3或2m-1-3. '.BAE- C. '.m=-1m-2. 94 数学·七年级