精品解析：上海外国语大学附属大境中学2024-2025学年度第二高三下学期三模数学试题

上外附属大境中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若集合，或，则__________. 2. 已知i为虚数单位，复数，则______. 3. 不等式 的解集为 __________________． 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 5. 某研究所收集、整理数据后得到如下列表： x 2 3 4 5 6 y 3 7 9 10 11 由两组数据可以得到线性回归方程为，则______． 6. 已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 7. 已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________. 8. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则__________．（，） 9. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 10. 球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 11. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 12. 函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 16. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 已知． （1）无穷等比数列的首项，公比．求的值． （2）无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 19. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 20. 已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 21. 若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. （1）已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； （2）设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上外附属大境中学2024-2025学年第二学期高三年级数学三模 2025.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若集合，或，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义计算． 【详解】由题意， 故答案为：． 2. 已知i为虚数单位，复数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由复数乘法运算法则可得，代入模长公式可得. 【详解】由可得， 所以. 故答案为： 3. 不等式 的解集为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 5. 某研究所收集、整理数据后得到如下列表： x 2 3 4 5 6 y 3 7 9 10 11 由两组数据可以得到线性回归方程为，则______． 【答案】0.4 【解析】 【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可求解 【详解】根据题意可得，，， 又，所以 故答案为： 6. 已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，由二项分布的期望方差公式，即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则，， 解得. 故答案为： 7. 已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求. 【详解】由题可知，，解得， 故答案为:. 8. 艾宾浩斯遗忘曲线描述了人类大脑对新鲜事物遗忘的规律．基于此，某课题小组研究发现，在学习课程后每经过一个星期，会遗忘掉所记忆内容的．为使得所记忆的内容不低于原来的，最多在个星期之后对所学内容进行复习，则__________．（，） 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件列出不等式，两边取对数得，根据对数运算性质解不等式求解. 【详解】根据题意一个星期后，记忆内容剩余；二个星期后，记忆内容剩余； 个星期后，记忆内容剩余，为使得所记忆的内容不低于原来的， 则有，为增函数，对上式两边取对数有， ，，又因为，所以， 即，，，， 所以最多在10个星期之后对所学内容进行复习. 故答案为： 9. 已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称性求出倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】由对称性可知，直线与轴的夹角相等， 又，所以直线的倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得方程为，即. 故答案为： 10. 球O是棱长为 1 的正方体的外接球，则球O的内接正四面体体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正四面体和正方体有同一外接球求解即可. 【详解】 如图，正四面体可以补形为正方体，可知图中正四面体和正方体有同一外接球， 即球O是棱长为 1 的正方体的外接球也是图中正四面体的外接球， 因为正方体棱长为1，则体积为1， 可得正四面体体积为正方体体积去掉四个角上的三棱锥体积， 即球O的内接正四面体体积为. 故答案为：. 11. 已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 【答案】. 【解析】 【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得． 【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支， 由，得，即恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°， ∴其中一条渐近线的斜率， ∴a≥1， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：[1，+∞）． 12. 函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令，可得的范围，则的三个根为，从而可得，右边去括号即可得解. 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 则函数的极大值为，极小值为， 作出函数的大致图象，若且， 令，则， 即的三个根为， 即， 又， 所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. “且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分、必要条件结合不等式性质理解判断. 【详解】若且，例如满足条件，但不满足 若，则，且 ∴“且”是“”的必要不充分条件 故选：B. 14. 若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k， 则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为， 圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1． 要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点， 则|C1C2|或|C1C2|， 即5或5， 解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11． ∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题． 15. 某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算对立事件的概率，从下雨次数入手，分类讨论计算两天都不淋雨的概率，即可得至少有一天淋雨的概率. 【详解】解：“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”， 连续上两天班，上班、下班的次数共有4次. (1)4次均不下雨，概率为：； (2)有1次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为：； (3)有2次下雨但不淋雨，共3种情况： ①同一天上下班均下雨；②两天上班时下雨，下班时不下雨；③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨； 概率为：； (4)有3次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨， 概率为：； (5)4次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为：， 所以至少有一天淋雨的概率为：. 故选：D. 16. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1）；通过举反例判断（2）. 【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项， 不妨令，符合题意，但若只取出， 这两项不是数列的连续两项，不合题意， 故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题； 对于（2）：定义，， 当数列按照集合的元素特征进行排序， 例如时， 满足各项均为0或1，任意n个0和1的组合均为集合的元素，即在数列中均有对应， 可知是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题. 综上，（1）（2）均为假命题. 故选：B 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图①，在梯形中，，，，将沿边翻折至，使得，如图②，过点作一平面与垂直，分别交于点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：如图①，，，，， ，， 如图②，∵，，，，， ，且，平面， 平面，又平面，， 平面，且平面， ，又，且平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理得到，然后利用线面垂直的判定定理和性质得到，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）方法一：通过作垂线的方法得到垂线段的长度即为点到平面的距离，然后求距离即可； 方法二：利用等体积的方法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：过点作，垂足为，由（1）知平面， 而平面， ， 且，平面，平面， 则垂线段的长度即为点到平面的距离． 在中，，，， ， ， 由已知得，则， 由（1）知，，， 即点到平面的距离为． 方法二：求点到平面的距离，即求点到平面的距离， 由（1）知平面，平面，， 在直角三角形中，，，， 由等面积得，， 即，， 平面，且平面，， 由（1）知，∽，， 则在直角三角形中，， 设点到平面的距离为， 在三棱锥中，由等体积得，， 即 ， ， 即点到平面的距离为． 18. 已知． （1）无穷等比数列的首项，公比．求的值． （2）无穷等差数列的首项，公差．求的通项公式和． 【答案】（1）5 （2），． 【解析】 【分析】（1）先求出展开式的通项，从而可求出等比数列的首项与公比，再根据等比数列前项和公式即可得解； （2）先求出等差数列的首项和公差，进而可求出等差数列的通项，再根据等差数列前项和公式即可得解. 【小问1详解】 二项式展开式的通项公式为：， 因为， 所以， 所以, 故； 【小问2详解】 由（1）知，等差数列首项，公差， 所以等差数列的通项公式为， 等差数列的前项和为． 19. 火车晚点是人们在旅行过程中最常见的问题之一，针对这个问题，许多人都会打电话进行投诉.某市火车站为了解每年火车的正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2015年~2022年）每年火车正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. 600 592 43837.2 93.8 （1）求关于的经验回归方程；若预计2024年火车的正点率为，试估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据顾客对火车站投诉的次数等标准，该火车站这8年中有6年被评为“优秀”，2年为“良好”，若从这8年中随机抽取3年，记其中评价“良好”的年数为，求的分布列和数学期望. 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ， 【答案】（1），20次； （2） 0 1 2 ，. 【解析】 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，再代入估算2024年顾客对火车站投诉的次数； （2）根据题意写出的可能取值，应用超几何概率公式求对应概率，即得分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题设，，则， 所以，所以； 当时，代入，得到， 所以2024年顾客对该市火车站投诉的次数约为20次. 【小问2详解】 由题意，服从超几何分布，可取0，1，2， ，，， 0 1 2 所以. 20. 已知抛物线，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为. （1）若到抛物线准线的距离为3，求的值； （2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离； （3）直线，是第一象限内上异于的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为.若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可； （3）设，联立方程求出点Q的坐标，根据恒成立，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 抛物线的准线为，由于到抛物线准线的距离为3， 则点的横坐标为2，则，解得； 【小问2详解】 当时，点的横坐标为，则， 设，则的中点为，由题意可得，解得， 所以，则， 由点斜式可得，直线的方程为，即， 所以原点到直线的距离为； 【小问3详解】 如图， 设，则， 故直线的方程为， 令，可得，即， 则，依题意，恒成立， 又， 则最小值为，即，即， 则，解得， 又当时，，当且仅当时等号成立， 而，即当时，也符合题意. 故实数的取值范围为. 21. 若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. （1）已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； （2）设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】（1）； （2）为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，函数为的“函数”，其“点”组成集合，故， 设，显然对任意，成立，①成立， 充分性，若，不妨设，此时，②成立，故②成立， 所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’，则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3） 【解析】 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【小问1详解】 取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $