专题1 因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升（人教版）

专题1 因数与倍数-2025年五升六数学暑假专项提升 【要点梳理】 【要点一】因数与倍数的概念 （1）在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。例如，12÷6=2中，2和6是12的因数，12是2和6的倍数。 （2）因数与倍数是相互依存的。 （3）一个数的因数的个数是 的，其中最小的因数是 ，,最大的因数是 。（4）一个数的倍数的个数是 ，其中最小的倍数是 ， 最大的倍数。 【要点二】2,5,3的倍数的特征 （1）2的倍数的特征： （2）5的倍数的特征： （3）3的倍数的特征： （4）同时是2和5的倍数的特征： 【要点三】偶数和奇数 （1）偶数：整数中是2的倍数的数。个位上是 的数都是偶数，特别地， 也是偶数。 （2）奇数：整数中不是2的倍数的数。个位上是 的数都是奇数。 （3）自然数中，最小的偶数是 ，最小的奇数是 。 【要点四】两数之和或积的奇偶性 奇数十奇数=偶数；偶数十偶数三偶数；奇数十偶数=奇数 奇数×奇数=奇数：偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数 【要点五】质数和合数 （1）质数(素数):一个数，如果 ，那么这样的数叫作质数。 （2）合数：一个数，如果 ，那么这样的数叫作合数。 （3） 既不是质数，也不是合数。 （4）最小的质数是 ，最小的合数是 。 （5）100以内的质数：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97。 【易错点拨】 【易错点一】对因数和倍数的理解不准确 （1）因数和倍数是相互依存的，不能单独说某一个数是因数或倍数。例如，6÷2=3中，6是2和3的倍数，2和3都是6的因数，而不能说6是倍数，2和3是因数 （2）误认为一个数的倍数一定比它的因数大。实际上一个数的最小倍数和最大因数是相等的，都是这个数本身。 （3）找一个数的因数时，不要漏掉1和它本身。 【易错点二】混淆几种数的关系 （1）误认为所有的奇数都是质数，所有的偶数都是合数。实际上奇数与质数、偶数与合数的分类标准是不同的，没有必然的联系。奇数不一定是质数，如9,15,。同样地，偶数也不一定是合数，如2。 （2）误认为所有的质数都是奇数。实际上除2以外的所有质数都是奇数。 拓展：3类实际问题 第一类：判断数的关系或属性 （1）判断两个数是不是因数或倍数关系，通常用较大数除以较小数，看能不能整除。 （2）判断一个数是奇数还是偶数，要看这个数是不是2的倍数。 （3）判断一个数是质数还是合数，要看这个数的因数的个数。 第二类：按要求写数或组数 （1）找出或写出有关2,5,3的倍数的数。注意题目可能要求同时满足多个条件。 （2）找出或写出有关奇数、偶数、质数和合数的数。例如，既是奇数又是合数的数有9,15,21,既是偶数又是质数的数是2。 第三类：运用和的奇偶性解决问题 解决此类问题时，先将问题抽象成数学问题，即两个数的和是奇数还是偶数，已知的数是奇数还是偶数。然后根据“奇数十奇数=偶数，偶数十偶数=偶数，奇数十偶数=奇数”来解答。 【温故知新】 一、填空题 1．一个九位数，最高位是奇数中最小的合数，百万位上是最小的质数，万位上是最大的一位数，千位上是同时能被2和3整除的一位数，百位上是最小的合数，其余各位上都是最小的自然数，这个数写作( )。 2．在圈内写上合适的数。 42的因数               63的因数              50以内8的倍数 3．能同时被2、3和5整除的最小三位数是( )，最大三位数是( )，最小两位数是( )，最大两位数是( )。 4．要使207同时是2和3的倍数，里应填( )；要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填( )。 5．一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是( )，最大是( )。 6．在括号内填入适当的质数。 (1)8＝( )＋( )。 (2)10＝( )＋( )。 (3)14＝( )＋( )＋( )。 (4)30＝( )×( )×( )。 二、判断题 7．一个自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。( ) 8．两个质数的积一定是合数。( ) 9．一个数越大，它的因数的个数就越多。( ) 10．1是所有非零自然数的因数。( ) 三、选择题 11．一个合数至少有（    ）个因数。 A．3 B．4 C．2 D．1 12．小欣的行李箱的密码是一个“450”四位数，这个四位数既是2的倍数，也是3的倍数。符合密码规则的共有（    ）种可能。 A．2 B．3 C．4 13．小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有（    ）元。 A．38元 B．25元 C．100元 D．36元 14．张老师将电脑的开机密码设为三位数字，从左往右数第一位数是6的最小倍数；第二位数是1的因数；第三位数是7的最大因数。张老师的电脑开机密码是（    ）。 A．317 B．617 C．611 四、计算题 15．写出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 ①4和9    ②16和12    ③13和52    ④14和10 五、解答题 16．一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米数，且没有剩余，裁成的正方形边长最大是多少？至少可以裁成多少个这样的正方形？ 17．幼儿园买来一些苹果，如果每个小朋友分4个或者分6个都正好分完．这些苹果的个数在40～50之间，幼儿园买了多少个苹果？ 18．洋洋到蛋糕店买面包。甜甜圈2元一个，奶油面包3元一个，三明治10元一个。如果买了一些甜甜圈和三明治，他付给营业员50元，找回了11元，找的对吗？写出你的理由。 19．张壁古堡位于介休市龙凤镇张壁村，是中国现有较为完好的一座融军事、居住、生产、星象、宗教活动为一体罕见的古代袖珍“城堡”，常有五湖四海的游客慕名而来。一天，来了45名研学的小游客，讲解员将他们排成两路纵队，如果第一路纵队的人数为奇数，那么第二路纵队的人数是奇数还是偶数？为什么？ 【暑期培优】 1．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（     ）。 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 2．费马是法国著名的数学家，他曾经提出一个猜想：如果用一个奇质数（既是奇数又是质数）除以4，余数为1，那么这个奇质数就可以写成“a2＋b2”的形式。例如，29是一个奇质数，，那么29可以写成“52＋22”的形式。这个猜想后来被证实，称为费马平方和定理。 根据上面的说法，请完成下面的题目。 (1)31是一个奇质数，它( )费马平方和定理的要求。（填“符合”或者“不符合”） (2)写出一个20以内符合要求的奇质数，这个数是( )，它可以写成( )2＋( )2的形式。 3．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？” 4．甲、乙、丙、丁四盏灯都是亮的，一个调皮的小朋友不断按这几盏灯的开关，他从甲依次按到丁，再从丁依次按到甲，不停地按开关，如果按了2007次，这时候哪几盏灯是关着的？ 参考答案 【要点梳理】 【要点一】有限 1 它本身 无限的 它本身 没有 【要点二】个位上是0,2,4,6,8 个位上是0或5 各位上数的和是3的倍数 个位上是0 【要点三】0,2,4,6,8 0 1,3,5,7,9 0 1 【要点五】只有1和它本身两个因数 除了1和它本身还有别的因数 1 2 4 【温故知新】 1．902096400 【分析】九位数就是最高位是亿位，奇数中最小的合数是9即最高位上是9，最小的质数是2即百万位上是2，最大的一位数是9即万位上是9，同时能被2和3整除的一位数是6即千位上是6，最小的自然数是0即其余各位上都是0，据此解答即可。 【详解】由分析可知，这个数写作：902096400 【点睛】本题主要考查整数的写法，熟练牢记一些特殊的自然数、质数、合数等是解题的关键。 2．图见详解 【分析】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7，所以42的所有因数有：1、2、3、6、7、14、21、42； 63＝1×63＝3×21＝7×9，所以63的所有因数有：1、3、7、9、21、63； 8×1＝8，8×2＝16，8×3＝24，8×4＝32，8×5＝40，8×6＝48，所以50以内8的倍数有：8、16、24、32、40、48。 【详解】 【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的求法是解题的关键。 3． 120 990 30 90 【分析】一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最小，只要个位是0，百位是1，十位满足和百位、个位上的数加起来是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最小三位数是120； 一个三位数要满足同时被2，3，5整除并且最大，只要个位是0，百位是9，十位满足和百位、个位上的数相加是3的倍数即可，由上述分析可知满足条件的最大三位数是990； 一个两位数要满足同时被2，3，5整除，只要个位是0，十位是3的倍数即可，最小是30，最大的是90。 【详解】能同时被2、3和5整除的最小三位数是（120），最大三位数是（990），最小两位数是（30），最大两位数是（90）。 【点睛】灵活运用2、3、5的倍数特征是解题的关键。 4． 0 5 【分析】 2的倍数的数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的数的特征是：各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的数的特征是：个位上是0或5的数都是5的倍数；第一空里先填入0、2、4、6、8，然后根据3的倍数的特征，判断哪个数符合题意即可；第二空里先填入0、5，然后根据3的倍数的特征，判断哪个数符合题意即可。 【详解】 要使207满足是2的倍数，里可填入0、2、4、6、8； 里填入0时，2＋0＋7＋0＝9，9是3的倍数，符合要求； 里填入2时，2＋0＋7＋2＝11，11不是3的倍数，不符合要求； 里填入4时，2＋0＋7＋4＝13，13不是3的倍数，不符合要求； 里填入8时，2＋0＋7＋8＝17，17不是3的倍数，不符合要求； 所以要使207同时是2和3的倍数，里应填0。 要使307是5的倍数，里可填入0、5； 里填入0时，3＋0＋7＋0＝10，10不是3的倍数，不符合要求； 里填入5时，3＋0＋7＋5＝15，15是3的倍数，符合要求。 所以要使307既含有因数3又是5的倍数，里应填5。 【点睛】此题主要考查2、3、5的倍数的特征。 5． 8 24 【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身。据此解答即可。 【详解】24的最大因数是24，8的最小倍数是8，24÷8＝3，即24是8的倍数，8是24的因数。所以一个数是24的因数，又是8的倍数，这个数最小是8，最大是24。 6．(1) 3 5 (2) 3 7 (3) 2 5 7 (4) 2 3 5 【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。 【详解】（1）8＝3＋5 （2）10＝3＋7 （3）14＝2＋5＋7 （4）30＝2×3×5 7．× 【分析】在自然数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数，0也是偶数；一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫做质数。一个数除了1和它本身两个因数，还有其他的因数，这个数叫做合数。（讨论因数、倍数、质数、合数时一般不包括0） 【详解】根据分析可知，一个自然数不是奇数就是偶数，有可能是质数，也有可能是合数，但有可能既不是质数也不是合数，例如：1。所以原题干说法错误。 故答案为：× 8．√ 【分析】质数是指除了1和它本身的两个因数以外再没有其他的因数的数。合数是指就除了1和它本身的两个因数以外还有其他的因数的数。举例说明即可解答。 【详解】3和5都是质数，3×5＝15，15既是奇数也是合数；2和7都是质数，2×7＝14，14既是偶数也是合数，所以两个质数的积一定是合数。 故答案为：√ 【点睛】此题的解题关键是明确质数与合数的定义，才能做出正确的解答。 9．× 【分析】一个数的因数个数的多少与这个数的大小无关，可以举例说明。 【详解】8的因数：1，2，4，8；共有4个因数。 11的因数：1，11；共有2个因数。 所以，一个数越大，它的因数的个数不一定就越多。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查因数的认识，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键。 10．√ 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【详解】1是所有非零自然数的因数，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】只在自然数（零除外）范围内研究倍数和因数。如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然数）那么a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 11．A 【分析】一个数除了1和它本身两个因数，还有别的因数，这个数就是合数，所以一个合数至少有3个因数。 【详解】由分析可得：合数至少有3个因数，比如4有因数1、2、4，所以4是合数； 9有因数1、3、9，所以9是合数。综上所述：一个合数至少有3个因数。 故答案为：A 12．A 【分析】既是2的倍数又是3的倍数的特征：个位上的数字是0、2、4、6、8，各个数位上的数字的和是3的倍数的数。 【详解】 小欣的行李箱的密码是一个“450”四位数，如果是2的倍数，个位上的数字是0、2、4、6、8，4＋5＝9、4＋5＋2＝11、4＋5＋4＝13、4＋5＋6＝15、4＋5＋8＝17，如果既是2的倍数，也是3的倍数有4500、4506，共有2种可能。 故答案为：A 13．D 【分析】如果小明只有1张5元和1张1元的纸币，那么小明一共有（5＋1）元，现在小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，说明小明的总钱数是6的倍数，只要找到是6的倍数的数即可。 【详解】A．38÷6不能整除，所以38不是6的倍数，不符合题意； B．25÷6不能整除，所以25不是6的倍数，不符合题意； C．100÷6不能整除，所以100不是6的倍数，不符合题意； D．36÷6＝6，所以36是6的倍数，符合题意。 因此小明有张数相同的5元和1元的纸币若干，他可能有36元。 故答案为：D 【点睛】此题考查了倍数的应用，明确总钱数是6的倍数是解决本题的关键。 14．B 【分析】根据“一个数的最大因数是它本身，最小倍数也是它本身”进行解答。 【详解】第一位数是6的最小倍数，即6； 第二位数是1的因数，即1； 第三位数是7的最大因数，即7； 所以，张老师的电脑开机密码是617。 故答案为：B 15．①1；36 ②4；48 ③13；52 ④2；70 【分析】①4和9是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；②④根据这两个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数解答；③因为52÷13＝4，当两个数成倍数关系时，较大的那个数是这两个数的最小公倍数，较小的那个数是这两个数的最大公因数；由此解答。 【详解】①4和9是互质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是4×9＝36；②16＝2×2×2×2，12＝2×2×3，所以16和12的最大公因数是：2×2＝4，16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48；③13和52是倍数关系，最大公因数是13，最小公倍数是52；④14＝2×7，10＝2×5，所以14和10的最大公因数是2，14和10的最小公倍数是：2×5×7＝70。 【点睛】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答。 16．15厘米；20个 【详解】75和60的最大公因数是15， 75×60÷（15×15） ＝75×60÷225 ＝4500÷225 ＝20（个） 17．48个 【分析】根据题意可知，先求出4和6的最小公倍数，然后根据条件“这些苹果的个数在40～50之间”，将4和6的最小公倍数扩大到这个范围，据此解答. 【详解】4、6的最小公倍数是3×4=12．因为12×4=48，苹果总数在40～50之间，所以一共买来48个苹果． 答：幼儿园买了48个苹果． 18．见详解 【分析】根据偶数的性质：偶数的倍数是偶数，偶数的和是偶数，所以洋洋买了一些甜甜圈和三明治，花费的钱数仍是偶数，偶数－偶数＝偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11；由此即可判断。 【详解】偶数＋偶数＝偶数，偶数－偶数＝偶数 所以小明买了一些甜甜圈和三明治，花费的钱数仍是偶数，所以找回的钱数是偶数，不能是11。 答：他付给营业员50元，找回11元，找得不对，11是奇数。 【点睛】此题考查了奇数、偶数的性质，明确数的奇偶性特点，是解答此题的关键。 19．偶数；理由见详解 【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 奇数和偶数的运算性质：偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数。 【详解】第一路纵队的人数＋第二路纵队的人数＝45人 第一路纵队的人数是奇数，45是奇数； 根据“奇数＋偶数＝奇数”，可知第二路纵队的人数是偶数。 答：第二路纵队的人数是偶数。理由：因为总人数45是奇数，第一路纵队的人数也是奇数，奇数＋偶数＝奇数（或奇数－奇数＝偶数），所以第二路纵队的人数是偶数。 【暑期培优】 1．D 【分析】一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，即每5个不同颜色的纸环为一组循环，且右边剩下的4个纸环以“黄绿蓝紫”的顺序排列，正好是一组的结束，所以这个纸环链用到纸环的总个数是5的倍数； 截去其中的一部分，左边剩8个纸环，右边剩4个纸环，一共还剩下12个纸环；分别用四个选项的个数加上12，看得数是否是5的倍数，如果是5的倍数，就是被截去部分纸环可能的个数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】A．2010＋12＝2022，2022不是5的倍数，所以2010不是被截去部分纸环的个数； B．2011＋12＝2023，2023不是5的倍数，所以2011不是被截去部分纸环的个数； C．2012＋12＝2024，2024不是5的倍数，所以2012不是被截去部分纸环的个数； D．2013＋12＝2025，2025是5的倍数，所以2013可能是被截去部分纸环的个数。 故答案为：D 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现纸环的总个数是5的倍数是解题的关键。 2．(1)不符合 (2) 5 1 2 【分析】（1）要判断31是否符合费马平方和定理的要求，需要先计算31÷4的结果。31÷4＝7⋯⋯3，余数是3而不是1。根据费马平方和定理，如果一个奇质数÷4余数为1，才能写成“a²＋b²”的形式。所以31不符合费马平方和定理中“除以4余数为1”的这个条件。 （2）20以内的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19。其中质数有3、5、7、11、13、17、19。即是奇数又是质数的是：3、5、7、11、13、17、19，分别计算它们÷4的余数： 3÷4＝0⋯⋯3 5÷4＝1⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成“a²＋b²”的形式。 7÷4＝1⋯⋯3 11÷4＝2⋯⋯3 13÷4＝3⋯⋯1，余数为1，符合要求，可以写成 “a²＋b²”的形式。 17÷4＝4⋯⋯1，余数为1，符合要求。可以写成“a²＋b²”的形式。 19÷4＝4⋯⋯3 5可以写成12＋22的形式。 13可以写成22＋32的形式。 17可以写成42＋12的形式。 但题目要求只写一个，所以选择5。 【详解】（1）31不符合费马平方和定理的要求。 （2）20以内符合要求的奇质数是5，它可以写成12＋22的形式。（答案不唯一） 【点睛】此题重点考查对奇质数概念的理解以及运用费马平方和定理进行分析判断的能力，同时要熟练掌握除法运算求余数。 3．179头 【分析】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。 【详解】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有： 15×10＋14 ＝150＋14 ＝164 15×11＋14 ＝165＋14 ＝179 15×12＋14 ＝180＋14 ＝194 164÷4＝41 164不符合题意； 179÷4＝44……3 179÷6＝29……5 179符合题意； 194÷4＝48……2 194不符合题意。 答：这群奶牛有179头。 【点睛】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。 4．甲盏灯 【分析】根据题意可知，属于周期问题，每四次为一组，奇数组时灯是关着的，偶数组时灯是开着的，用2007÷4可知，共有501组零3次，奇数组时灯全部是关着的，又从丁依次按了3次，则丁、丙、乙都被打开了，只有甲是关着的，据此解答即可。 【详解】（组）……3（次）； 答：这时候甲盏灯是关着的。 【点睛】本题属于周期问题的灵活运用，要明确奇数组时灯全部是关着的，偶数组时灯是开着的。 6 学科网（北京）股份有限公司 $$