第07讲基本不等式（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新高一数学衔接讲义（人教A版2019必修第一册）

第07讲等式性质和不等式性质（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由基本不等式比较大小 典型例题二 由基本不等式证明不等关系 典型例题三 基本不等式求积的最大值 典型例题四 基本不等式求和的最小值 典型例题五 基本不等式的恒成立问题 典型例题六 对勾函数求最值及容积最值 典型例题七 基本不等式的应用 典型例题八 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一 基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． （2）证明，当时，，当时，． 所以，即． 拓展 关于不等式的几点说明： （1）不等式中的，的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式； （2）公式中等号成立的条件是，如果，不能相等，则中的等号不能成立； （3）不等式可以变形为，，等． 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． （2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，．我们称为，的算数平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算数平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，， 过点作垂直于直径的弦，连接，，易证，则，即． 这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立． 拓展 不等式和的比较 （1）不等式和成立的条件是不同的．前者要求，是实数即可，而后者要求，都是正实数．例如，当，时，成立，但显然不成立． （2）不等式和都是带有等号的不等式，当且仅当时，等号成立． （3）由和可以得到一些常用结论： ①； ②对个正数，，…，，有； ③， 其中和分别叫做，的调和平均数和平方平均数． 知识点二 利用基本不等式求最值 利用算数平均数与几何平均数定理（即基本不等式）可以求函数的最大值、最小值． （1）已知，，如果积是定值，那么当时，和有最小值． （2）已知，如果和是定值，那么当时，积有最大值． 以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 利用基本不等式求最值需注意的问题 （1）各数（或式）均为正． （2）和或积为定值． （3）等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． （4）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 【典型例题一 由基本不等式比较大小 】 【例1】1．下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 【例2】已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合基本不等式比较的大小即可. 【详解】由，得，，则， 因此. 故选：C 1．已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由且，根据基本不等式的性质，得， 当，时，满足，不能够推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可. 【详解】由，则，，，A、B错，C对， 由，且，故等号取不到，则，D错. 故选：C 3．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，A错；利用作差法判断B错；利用基本不等式可得C正确；由，而，可得D错． 【详解】，，故A错； ，，即，可得，，故B错； ，，且，则，故C正确； ，，而，则，故D错. 故选：C 4．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 5．已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 【答案】C 【分析】对于①③做差因式分解与零比大小；对于②基本不等式验证；对于④数形结合验证. 【详解】，只有时①成立； （当且仅当时等号成立），②恒成立； ，当且仅当，时等号成立. 故在a，b均为正实数时恒成立，③恒成立； 令，则可以看成当时，函数的函数值恒大于 由函数图象可知④恒成立. 故选:C. 6．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 7．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 8．若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，当且仅当时取等号，解得. 故选：D. 【典型例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例1】已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】根据勾股定理以及直角三角形的面积公式，利用重要不等式，可得答案. 【详解】设直角三角形的两条直角边分别为，则， 直角三角形的面积为，当且仅当时取等号. 故选：C. 【例2】已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，可得， 当且时，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 1．已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最大值为. 故选：D 2．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合均值不等式的结论即可求得的最大值. 【详解】已知正数满足，则， 当且仅当时取等号. 故选：C. 3．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 4．已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】B 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即， 所以的最小值是. 故选：B. 5．函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则，当且仅当时取等号， 所以所求的最小值为8. 故选：D 6．若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出的最小值，即可得出答案. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，，，即，时等号成立， 所以的最大值为． 故选：A. 7．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【详解】因为恒成立，所以恒成立，即恒成立．又，当且仅当时，等号成立，所以，即． 8．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【答案】B 【分析】由题意可得，求得即可. 【详解】因为x，，所以，所以， 又， 当且仅当时，取等号，所以， 所以实数a的最小值是. 故选：B. 【典型例题三 基本不等式求积的最大值】 【例1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 【例2】．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 1．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 2．已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，得到，又，利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则，又恒成立， 即恒成立， 又， 当且仅当，即时取等号，所以， 故选：B. 3．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】将转化为，然后根据基本不等式得到，最后列不等式求的范围即可. 【详解】∵，则， 原题意等价于对任意恒成立， 由，，则， 可得， 当且仅当，即时取得等号， ∴，解得． 故正实数的取值集合为. 故选：A． 4．设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据基本不等式“1”的妙用计算即可求解. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：D 5．（多选题）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式分析判断AD；举例说明判断BC. 【详解】对于A，，不等式成立，A正确； 对于B，由于，且，当时，，而，不等式不成立，B错误； 对于C，由于，且，当时，，而，不等式不成立，C错误； 对于D，由，且，得，则，当且仅当时取等号，D正确. 故选：AD 6．（多选题）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（    ） A．          B． C．         D． 【答案】AD 【分析】根据均值不等式对各项逐个分析求解即可 【详解】对于A：，所以，所以，A正确； 对于B：，所以，B错误； 对于C：，所以C错误； 对于D：，所以，所以，D正确， 故选：AD 7．[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 【答案】CD 【详解】令，则，所以又，当且仅当，即时取等号，而不满足错误；因为，当且公当，即时取等号，故的最大值为错误；若，则，当且仅当，即时取等号，此时取得最大值，C正确；因为正实数满足，所以，当且仅当且，即时取等号，此时的最小值为8，D正确． 故选：CD. 8．（多选题）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式求最值判断A、B；根据不等式性质及充分、必要性定义判断C；取，可判断D. 【详解】A：由，则， 当且仅当时取等号，故的最大值为，A错； B：，当且仅当时取等号，即的最小值为，B对； C：若，显然，则；若，时，不成立， 所以是的充分不必要条件，C对； D：取，可得，D对. 故选：BCD 【典型例题四 基本不等式求和的最小值】 【例1】．（多选题）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【答案】BCD 【分析】应用基本不等式求A、C、D中目标式的最值，由“1”的代换及基本不等式求C中目标式的最值，注意取值条件即可. 【详解】对于A，当时，则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，函数的最大值为，错误. 对于B，因为均为正数，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为4，正确. 对于C，若均为正数，且， 由基本不等式得，得，即，得， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为1，正确. 对于D，若均为正数，且，则，得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2，正确. 故选：BCD 【例2】．（多选题）已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式可判断A、B；得答案；通过对进行等价转换，再利用基本不等式即可判断C；通过对进行等价转换，再利用对勾函数单调性即可判断D. 【详解】对于A，，，且，所以，解得， 当且仅当，时等号成立，而，则成立，故A正确； 对于B，，而，所以， 当且仅当，时等号成立，故B正确； 对于C，，，且，所以，（，）， 所以， 当且仅当时等号成立，故C错误； 对于D，，且， 令，则，（），因为，所以， 在上单调递增，所以，从而， 当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 1．（多选题）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 2．（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，由基本不等式得到，得到；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；C选项，平方后得到，结合A知；D选项，，故D正确. 【详解】A选项，正数满足，故， 解得，当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，， 当且仅当，即，即时，等号成立，B正确； C选项，， 由A知，，故， 故，C错误； D选项，因为，所以， 故，当且仅当，即时，等号成立，D正确. 故选：ABD 3．（多选题）已知为正数，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为9 【答案】AD 【分析】利用基本不等式可知A正确；利用乘“1”法即可判断D；利用二次函数知识可判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，因为，又，即， 所以当时，取得最小值，故B错误； 对于C，，因为， 所以在上递增，所以，即，故C不正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立,故D正确. 故选：AD. 4．（多选题）下列选项正确的是（    ） A．若正实数满足，则的最小值为10 B．函数的值域是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为 【答案】AC 【分析】根据基本不等式分式分离，结合“1”的巧用，求解的最值，即可判断A；根据基本不等式和为定值，求解的最值，从而得函数的取值范围，即可判断B；利用基本不等式根据和为定值求和式最值，即可判断C；由已知等式凑乘积为定值的式子，结合基本不等式求的最小值，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当且仅当，即时，等号成立，故选项A正确； 对于B，因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为，故选项B错误； 对于C，由正实数满足，由，得， 当且仅当，即时，等号成立，故选项C正确； 对于D，由，得，所以， 当且仅当，即时等号成立，而，最小值取不到，故选项D错误． 故选：AC． 5．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的取值范围是 C．已知，则的最小值为4 D．已知，则最小值为2 【答案】BD 【分析】A考虑的情况即可判断；B由题设，解不等式求得，注意等号成立条件即可判断；C由，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值判断；D令，则，应用“1”的代换及基本不等式求其最小值判断. 【详解】A：显然当时，，最小值不可能为2，错； B：由，当且仅当时取等号， 所以，故， 当且仅当时取等号，故的取值范围是，对； C：由， 当且仅当时取等号，所以的最小值为5，错； D：令，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故最小值为2，对. 故选：BD 6．若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 【答案】≤ 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】．当且仅当时等号成立， 故, 故答案为： 7．当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 【答案】③ 【分析】①根据基本不等式的性质进行判断；②④可举出反例；③可由推出. 【详解】①根据基本不等式，只有当时，才有，①错误； ②当时，，故②错误； ③因为，所以，③正确； ④当时，，④错误． 故答案为：③ 8．设，，若，则的最大值为 . 【答案】16 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为：16 【典型例题五 基本不等式的恒成立问题】 【例1】．已知，且，则的最大值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式可求乘积的最大值. 【详解】由基本不等式可得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为， 故答案为：. 【例2】．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 1．已知，那么函数的最小值是 . 【答案】6 【分析】由基本不等式即可求. 【详解】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 2．已知函数，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】根据基本不等式计算求解即可. 【详解】因为，当且仅当取等号， 则的最小值为. 故答案为：2. 3．的最小值为 . 【答案】2 【分析】利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 4．函数的最小值是 . 【答案】0 【分析】由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号； 故答案为：. 5．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 6．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可得对恒成立，由基本不等式求得的最大值即可. 【详解】由，不等式恒成立，可得对恒成立， 令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以. 故答案为：. 7．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 【答案】 【分析】求出房屋的总造价，利用基本不等式可得答案. 【详解】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m， 所以房屋的总造价为， 因为，所以， 当且仅当即时等号成立. 故答案为：. 8．已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先判断，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的单调性可得，解不等式即可得答案. 【详解】由于，当且仅当时等号成立. . 由于对勾函数在上单调递减，上单调递增， 若取最小值时有，则，即. 解得， 又由于，所以的取值范围是. 故答案为:. 【典型例题六 对勾函数求最值及容积最值】 【例1】．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【答案】 【分析】设长方体长为m，高为m，依题意，可求得，利用基本不等式可求得，从而可得车厢的最大容积． 【详解】设长方体长为m，高为m，则有，即． ∵，当且仅当时，取等号 ∴，即，解得 ∴ ∴，当且仅当时，等号成立 ∴车厢的最大容积是 故答案为：． 【例2】．已知，，且，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用“1”的代换化简式子中的3和1，进而利用基本不等式即可. 【详解】由题意可得，， 等号成立时，即. 故的最小值是. 故答案为： 1．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】由于，故，且， 故 ， 当且仅当，结合，故当时等号取到， 故答案为： 2．若，则的最小值是 ． 【答案】9 【分析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值即可. 【详解】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值是9. 故答案为：9. 3．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用已知条件构造，利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 4．已知，且，则的最小值为 【答案】 【分析】根据已知可得，然后根据“1”的代换求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，则， 则. 当且仅当，且，， 即，时等号成立. 所以，的最小值为. 故答案为：. 5．（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 6．已知，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据完全平方公式，结合平方的性质即可变形求解. 【详解】证明：由得，则，即， 所以，则． 7．已知a、b是互不相等的正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】结合乘法法则，利用基本不等式证明即可. 【详解】因为a、b是互不相等的正数， 则由基本不等式可得，， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以，得证. 8．设a是正数，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】应用基本不等式即可证明. 【详解】因为a是正数，所以由公式得，当且仅当时等号成立. 得证. 【典型例题七 基本不等式的应用】 【例1】．已知，求证：． 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，利用均值不等式推理即得. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以当时，. 【例2】．（1）已知，求的取值范围； （2）设，，均为正数，且，证明：； 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等性质直接求范围； （2）由，则平方后根据基本不等式即可得证； 【详解】（1），， ，且， ， 的取值范围为； （2）由， 得， 又由基本不等式可知当，，均为正数时，，，， 当且仅当时，上述不等式等号均成立， 所以， 即， 所以，当且仅当时等号成立. 1．设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】运用基本不等式对（1）（2）进行证明即可. 【详解】（1）因为，均为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． （2）因为，为正数，所以，也为正数，由基本不等式，得，当且仅当，即时等号成立，所以原不等式成立． 2．（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 ；（2） ． 【分析】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【详解】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 3．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 【答案】当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，为198400元． 【分析】根据题意表达出总造价，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】解：设池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元． 4．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      【答案】长为m，宽为m时总造价最低． 【分析】设处理池的长和宽分别为，，高为，表示出总造价的关系式，再利用基本不等式即可解出． 【详解】设处理池的长和宽分别为，，高为，总造价为，则，， ， 当且仅当，又，即，时取到等号， 故长为m，宽为m时总造价最低． 5．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)米 【分析】（1）用基本不等式，整理化简可得答案； （2）令，将看成整体再次用基本不等式，整理化简可证； （3）先设出长方体的长、宽、高，表示出体积，再套用（2）中已证明的不等式即可求出最值. 【详解】（1）证明：因为，，当且仅当，时等号成立, 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. （2）解：由于，当且仅当时等号成立， 令, 得， 即，故. 所以，当且仅当时等号成立. （3）解：做成的长方体的底面是一个边长为的正方形，高为. 所以. 由（2）中已证的不等式，可知， 当且仅当时等号成立，当且仅当时等号成立. 所以，因此， 综上所述，当米，长方体盒子的容积取到最大值立方米. 6．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 7．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)   (3) 【分析】（1）根据函数定义直接代入可计算；     （2）根据题意求出长方体侧面积，然后可求函数，再利用基本不等式求最值；     （3）代入进行参变分离，接着求函数最值即可. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， ， 所以的值为18. （2）设底面长为，， 所以墙面面积为， ，，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 8．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【答案】 【分析】先设鱼池的一边长为，则另一边唱为，则鱼池与路的占地面积，再根据均值不等式可得总面积最小值. 【详解】设所建矩形鱼池的一边长为，则另一边唱为， 于是鱼池与路的占地面积为： ， 当，即时，取最小值为， 故鱼池与路的占地最小面积是. 【典型例题八 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例1】．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1) (2) (3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 【例2】．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解； （2）利用基本不等式进行放缩，得到，再通过一元二次不等式的解法进行求解. 【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得，即， 即，解得，所以，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为． （2）由条件等式与基本不等式，得， 令，得， 解得或（舍去），即， 所以的取值范围为. 1．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 2．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由已知可得，然后利用基本不等式即可求解最大值； （2）由已知可得，然后利用基本不等式可得，又，即可求解，； （3）由已知可得，将原式变形可得，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，的最大值为； （2）， 当且仅当时等号成立， 因为的最小值为，所以，所以，即， 又因为，解得或； （3）因为，，， 所以， 所以， 当且仅当，且，即，时等号成立， 所以的最小值为. 3．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 4．在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 5．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 【答案】(1)，其中，． (2) (3) 【分析】（1）根据题设有，化简整理可得关系式； （2）根据（1）可得，结合对应函数的单调性求最小值； （3）解法一：应用基本不等式有，解一元二次不等式求得，结合求最大值； 解法二：根据已知得，再应用基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设，则且； （2）由，得， 易知S是关于b的减函数，所以当b取最大值3m时，S取最小值． 故仓库占地面积的最小值为，此时． （3）解法一：由，得． 因为（当且仅当时取等号）． 所以，故，解得， 故（当且仅当时取等号）． 所以仓库容积的最大值为，此时． 解法二：由，得． 故． 因为（当且仅当时取等号）． 所以（当且仅当时取等号）． 故仓库容积的最大值为，此时． 6．异号时，．( ) 【答案】正确 【分析】将所给式子适当变形再结合基本不等式即可判断. 【详解】由异号，可得， 则， 故答案为：正确. 7．；( ) 【答案】错误 【分析】利用特殊值判断不等式错误． 【详解】当为负数时，不等式不成立，所以不等式错误． 故答案为：错误. 8．若，则的最小值是．( ) 【答案】错误 【分析】根据基本不等式,求两个正数和的最值,要求两个正数的积为定值,而 不是定值，从而判断正误. 【详解】因为,所以为正数,所以根据基本不等式,当两个正数的积为定值时,这两个正数的和有最小值, 而,不是定值,所以不是定值,所以不是的最小值. 故答案为:错误 一、单选题 1．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．25 C．36 D．49 【答案】C 【分析】由基本不等式可直接求解. 【详解】因为，，即，当且仅当时取到等号，故的最大值为36. 故选：C 2．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 3．若，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D．非上述情况 【答案】B 【详解】根据题意，由于，则函数 ， 当且仅当，即时等号成立 故选：B. 【点睛】解决该试题的关键是根据已知的变量为正数，利用均值不等式的思想求解最值． 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于，所以，则，然后利用基本不等式可求出其最小值 【详解】由于，所以 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 5．若正数a、b满足，则下列各式中恒正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】由条件可得，可判断AC，由，可判断C，由可判断D. 【详解】∵， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，∴，可取到，故A错误； ∵， ∴， 当且仅当时取等号，故B正确； 由上知，故C错误； 由，∴，取，，不成立，故D错误. 故选：B． 6．已知，且，则的最大值是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用凑配及基本不等式即可求解； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 当时，的最大值是， 故选：B． 7．已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直,得到关于的等式,再利用基本不等式即可求出的最大值. 【详解】因为直线与直线互相垂直, 所以,即, 因为, 所以,即, 故选:B. 【点睛】本题将两直线位置关系与基本不等式相结合进行考查,难度不大. 8．若正数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】已知等式变形为，然后用“1”的代换求出的最小值即可得． 【详解】∵x，y均为正数，，∴， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴，所求最大值为． 故选：D． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式分别判断每个选项的正误即可. 【详解】解：对于A选项，由，得，故A正确； 对于B选项，由，得，即，故B正确； 对于C选项，虽然，，但不一定有，，故C不一定成立，故C不正确； 对于D选项，由基本不等式，得，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查不等关系及基本不等式的应用，属于基础题. 10．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用特殊值判断A，利用基本不等式判断B、C、D. 【详解】解：对于A：当时，满足，但是，故A错误； 对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C：因为，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于C：因为，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：BCD 11．若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式解决条件的最值问题求解和为定值或乘积为定值. 【详解】解：对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当， 即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确． 故选：AD． 三、填空题 12．已知代数式，则其最小值为 ． 【答案】1 【分析】利用基本不等式即可求解 【详解】当时，由基本不等式可得： 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为1, 故答案为：1 13．若，则的最大值是 . 【答案】 【分析】先求解出的取值范围，然后利用基本不等式求解出最大值. 【详解】因为，所以， 又， 取等号时，即， 所以的最大值为， 故答案为：. 14．若正实数满足，则的最大值为 . 【答案】54 【分析】将原式转化为，结合三次不等式，化简可求出最大值. 【详解】由题设知，， 所以，即，当且仅当，即，时等号成立. 所以的最大值为54. 故答案为：54 四、解答题 15．设，将四个正数a、b、，按从小到大的顺序排列，并说明理由. 【答案】 【分析】结合，根据加法法则和乘法法则，利用基本不等式对，，，式子之间的关系进行整理和化简，即可判断大小. 【详解】由，可得，即， 由基本不等式及可得（等号不成立）， 由得即， 所以. 16．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积. 【答案】当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米. 【详解】试题分析：先将休闲广场的长度设为米，并将宽度也用进行表示，并将绿化区域的面积表示成的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件. 试题解析：设休闲广场的长为米，则宽为米，绿化区域的总面积为平方米， 6分 ， 8分 因为，所以， 当且仅当，即时取等号 12分 此时取得最大值，最大值为. 答：当休闲广场的长为米，宽为米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为平方米. 14分 考点：矩形的面积、基本不等式 17．设，，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】化简利用即可证明． 【详解】证明：，，， ． 当且仅当时取等号． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 18．设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积. 【答案】 【解析】由，设，则.在中由勾股定理得到，再由表示出，即可得到三角形面积，再利用基本不等式求出最值. 【详解】解：由，设，则，. 在中由勾股定理可得. ， ， 由，得的取值范围为. . 当且仅当即时，等号成立. 故的最大面积为 【点睛】本题考查基本不等式的几何图形中的应用，属于中档题. 19．设、均为正实数，且，求的最小值. 【答案】 【分析】由可得出，可推出，于是得出，再利用基本不等式可得出的最小值. 【详解】，即，即， 整理得，，，，. 因此，， 由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是将两个变量化为一个变量，并将代数式变形配凑，考查运算求解能力，属于中等题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲等式性质和不等式性质（2大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 由基本不等式比较大小 典型例题二 由基本不等式证明不等关系 典型例题三 基本不等式求积的最大值 典型例题四 基本不等式求和的最小值 典型例题五 基本不等式的恒成立问题 典型例题六 对勾函数求最值及容积最值 典型例题七 基本不等式的应用 典型例题八 基本不等式“1”的妙用求最值 知识点一 基本不等式 1．重要不等式 （1）公式：一般地，对于任意实数，，有，当且仅当时，等号成立． （2）证明，当时，，当时，． 所以，即． 拓展 关于不等式的几点说明： （1）不等式中的，的取值是任意实数，它们既可以是具体的某个数，也可以是一个代数式； （2）公式中等号成立的条件是，如果，不能相等，则中的等号不能成立； （3）不等式可以变形为，，等． 2．基本不等式 （1）公式：如果，，那么（当且仅当时，等号成立）． （2）证明：因为，所以，即．显然，当且仅当时，．我们称为，的算数平均数，称为，的几何平均数．因而，这一定理又可叙述为：两个正实数的算数平均数不小于它们的几何平均数． （3）几何法：如图，以长度为的线段为直径作圆，在直径上取一点，使，， 过点作垂直于直径的弦，连接，，易证，则，即． 这个圆的半径为，显然它大于或等于，即，当且仅当与圆心重合，即时，等号成立． 拓展 不等式和的比较 （1）不等式和成立的条件是不同的．前者要求，是实数即可，而后者要求，都是正实数．例如，当，时，成立，但显然不成立． （2）不等式和都是带有等号的不等式，当且仅当时，等号成立． （3）由和可以得到一些常用结论： ①； ②对个正数，，…，，有； ③， 其中和分别叫做，的调和平均数和平方平均数． 知识点二 利用基本不等式求最值 利用算数平均数与几何平均数定理（即基本不等式）可以求函数的最大值、最小值． （1）已知，，如果积是定值，那么当时，和有最小值． （2）已知，如果和是定值，那么当时，积有最大值． 以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”． 利用基本不等式求最值需注意的问题 （1）各数（或式）均为正． （2）和或积为定值． （3）等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可． （4）当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性． 【典型例题一 由基本不等式比较大小】 【例1】1．下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．设，，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知为正实数，以下不等式成立的有（    ） ①；②；③；④ A．②④ B．②③ C．②③④ D．①④ 6．已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 7．已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．若，且，则（   ） A．有最小值为 B．有最大值为 C．有最小值为 D．有最大值为 【典型例题二 由基本不等式证明不等关系】 【例1】已知一个直角三角形的斜边长为8，则其面积的最大值是（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【例2】已知，且，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 1．已知且，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C． D． 2．已知正数满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．已知，则的最小值是（    ） A． B．1 C．4 D．7 4．已知实数，则的最小值是（    ） A． B． C．6 D．5 5．函数的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．若，，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．设，不等式恒成立，则a的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D． 8．对一切x，，都有，则实数a的最小值是（   ） A．8 B．9 C．10 D．前3个答案都不对 【典型例题三 基本不等式求积的最大值】 【例1】已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．已知，且恒成立，则的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若关于x的不等式对任意恒成立，则正实数a的可能值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．设，，且，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 5．（多选题）若，且，则下列不等式中，恒成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（多选题）若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（    ） A．          B． C．         D． 7．[多选题]下列选项正确的是（   ） A．若，则的最小值是2 B．若，则的最小值为 C．若，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为8 8．（多选题）下列命题是真命题的有（ ） A．时，的最大值为 B．已知，则的最小值为 C．已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是 D． 【典型例题四 基本不等式求和的最小值】 【例1】．（多选题）下列有关最值的结论正确的是（    ） A．当时，函数的最小值为2 B．若均为正数，且，则的最小值为4 C．若均为正数，且，则的最小值为1 D．若均为正数，且，则的最小值为2 【例2】．（多选题）已知正数x，y满足，则(    ) A． B． C． D． 1．（多选题）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 2．（多选题）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知为正数，且，下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为9 4．（多选题）下列选项正确的是（    ） A．若正实数满足，则的最小值为10 B．函数的值域是 C．若正实数满足，则的最大值为 D．若正实数满足，则的最小值为 5．（多选题）下列说法正确的有（    ） A．的最小值为 B．已知，则的取值范围是 C．已知，则的最小值为4 D．已知，则最小值为2 6．若、、、、、是正实数，且，，则有 ．（比较大小） 7．当时，下列不等关系成立的是 ． ①；②； ③；④. 8．设，，若，则的最大值为 . 【典型例题五 基本不等式的恒成立问题】 【例1】．已知，且，则的最大值为 . 【例2】．若，则的最大值为 ． 1．已知，那么函数的最小值是 . 2．已知函数，则的最小值为 ． 3．的最小值为 . 4．函数的最小值是 . 5．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为 . 6．已知，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 7．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元． 8．已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是 . 【典型例题六 对勾函数求最值及容积最值】 【例1】．用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m，则车厢的最大容积是 ． 【例2】．已知，，且，则的最小值是 . 1．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 2．若，则的最小值是 ． 3．若，且，则的最小值为 ． 4．已知，且，则的最小值为 5．（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 6．已知，，证明：． 7．已知a、b是互不相等的正数，求证：. 8．设a是正数，求证：. 【典型例题七 基本不等式的应用】 【例1】．已知，求证：． 【例2】．（1）已知，求的取值范围； （2）设，，均为正数，且，证明：； 1．设，为正数，证明下列不等式： (1)； (2)． 2．（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 3． 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为多少元？ 4．某工厂拟造一座平面图（如图）为长方形且面积为的三级污水处理池．由于地形限制，该处理池的长、宽都不能超过16 m，且高度一定．如果四周池壁的造价为400元/，中间两道隔墙的造价为248元/，池底造价为80元/，那么如何设计该处理池的长和宽，才能使总造价最低？（池壁的厚度忽略不计）      5．已知、、、为正实数，利用平均不等式证明（1）（2）并指出等号成立条件，然后解（3）中的实际问题． (1)请根据基本不等式，证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：； (3)如图，将边长为米的正方形硬纸板，在它的四个角各减去一个小正方形后，折成一个无盖纸盒．如果要使制作的盒子容积最大，那么剪去的小正方形的边长应为多少米? 6．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 7．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案： 方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为； 方案二：其给出的整体报价为元， (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 8．如图，要挖一个面积为的矩形鱼池，并在四周修出宽的小路，试求鱼池与路的占地总面积的最小值． 【典型例题八 基本不等式“1”的妙用求最值】 【例1】．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【例2】．若正数满足：， (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 1．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 2．回答下列问题 (1)已知，求的最大值 (2)已知正数，，，满足，，的最小值为，求，的值 (3)已知，且，求的最小值 3．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 4．在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 5．利用一堵长8m，高3m的旧墙建造一个无盖的长方体储物仓库，如图所示．由于空间限制，仓库的宽度固定为3m．已知仓库三个侧面的建造成本为900元/，仓库底面的建造成本为600元/．整个仓库的建造成本预算为32400元，假设成本预算恰好用完．设仓库的长与高分别为a，b（单位：m）． (1)求a与b满足的关系式； (2)求仓库占地（即底面）面积S的最小值； (3)求仓库的储物量（即容积V）的最大值． 6． 异号时，．( ) 7． ；( ) 8．若，则的最小值是．( ) 一、单选题 1．已知，且，则的最大值为（    ） A． B．25 C．36 D．49 2．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 3．若，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D．非上述情况 4．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．若正数a、b满足，则下列各式中恒正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 6．已知，且，则的最大值是(    ) A． B． C． D． 7．已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．若正数x，y满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．下列说法中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知，且，则下列不等式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 11．若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 三、填空题 12．已知代数式，则其最小值为 ． 13．若，则的最大值是 . 14．若正实数满足，则的最大值为 . 四、解答题 15．设，将四个正数a、b、，按从小到大的顺序排列，并说明理由. 16．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积. 17． 设，，，求证：． 18．设矩形（其中）的周长为24，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点.设，求的最大面积. 19．设、均为正实数，且，求的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$