11.1.1 不等式及其解集 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第十一章不等式与不等式组 11.1不等式 11.1.1不等式及其解集 1.学习目标 2.新课导入 3.知识点1 不等式的概念 4.知识点2 用不等式表示数量关系 5.知识点3 不等式的解与解集 6.知识点4 不等式的解集的表示方法 7.课堂小结 8.当堂小练 9.对接中考 10.拓展与延伸 目 录 C ● N T S N TE 学习目标 ●1. 了解不等式及其解的概念.重 ● 2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表达中渗透数形结合的 思想 . 点 ● 3.理解不等式的解集及解不等式的意义. 新课导入 谁快谁慢 新课导入 摩拜单车在2017年3月推出了红包车的运动.用户扫码解锁后有效骑行红包车超 过10分钟，锁车后即可获得1个现金红包；骑行红包车次数及领取红包次数不限.红 包金额随机，高于1元，且低于100元.你能用关系式表示可获红包金额的大小吗? x>1 且 x<100 我们很容易知道圆球 的质量大于砝码的质量， 即x>50. 【问题1】如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘放上一质量为50g的砝码， 左盘放上一个圆球后向左倾斜，问圆球的质量xg 与质量为50g的砝码之间具有怎 样的关系? 知识点1 不等式的概念 新课讲解 新课讲解 【问题2】一辆汽车在高速公路上匀速行驶，6:00时汽车距前方的A 地210km, 汽车要在8:00之前驶过A 地，车速应满足什么条件? 分析： 设车速是x km/h. 汽车要在8:00之前驶过A地 ， 从时间上看，就是以x km/h的速度行驶210km 的时间不到2h, 这个不等关系可以表示为 ① 从路程上看，就是以x km/h的速度行驶2h的路程要超过210km, 这个不等关系可以表示为 2x>210. ② 新课讲解 x>50, ,2x>210. 它们有什么共同的特点? 左右不相等 这样用符号“<”或“>”表示不等关系的式子，叫作不等式. 像a+2≠a-2 这样用“≠”表示不等关系的式子也是不等式. 总结 符号 名称 读法 实际意义 举例 小于号 小于 小于、不足 -2<3 > 大于号 大于 大于、超出 3>1 ≤ 小于等于号 小于或等于 不大于、不超过、至多 x≤3 ≥ 大于等于号 大于或等于 不小于、不低于、至少 x≥-6 ≠ 不等号 不等于 不相等 3≠4 新课讲解 常见的不等号： (1)有些不等式不含字母，如3<4, 有些不等式含有字母如2x<1. (2)判断一个式子是不是不等式，关键是看该式子是否含有不等符号. (3)不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换. 新课讲解 注意 ①3<2; ②2x²-3>0; ③5y²-8; 不含不等号 ④2x+3=7; 含等号 ⑤3x+1≤7; ⑥x≠5. 新课讲解 1.下列式子中是不等式的有①②⑤⑥ .(填序号) 1 .下列式子： ①-3<0;②4x+3y>0;③3x=5;④x²—xy+y²;⑤x+2>-7. 其中不等式的个数是( C ) A.5 B.4 C.3 D.2 新课讲解 练一练 2.判断下列式子是不是不等式： (1)-3>0; (2)4x+3y<0; (3)x=3; (4)x²+xy+y²; (5)x≠5; (6)x+2>y+5. 解 ： (1) (2) (5)(6)是不等式； (3) (4)不是不等式. 新课讲解 练一练 2. 用不等式表示下列不等关系： (1)a与15的和(大于27; (2)b的 半与3的差是负数； (3)某县在乡村振兴项目的援助下，共种植1333 hm² 猕猴桃，种植面积 超过全县原有猕猴桃种植面积的18倍. 解：(1)a+15>27; ② 5 (3)设这个县原有猕猴桃种植面积为xhm², 那么1333>18x, 也可以表示为18x<1333. 知 识 点 2 用不等式表示数量关系 新课讲解 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a>0 a是负数 a<0 a是非正数 a≤0 a是非负数 a≥0 a,b同号 ab>0 a,b异号 ab<0 新课讲解 常见的不等式基本语言及其符号表示： 1.用不等式表示： (1)a 的一半与3的和大于5; (2)x 的3倍与1的差小于2; 3x-1<2. (3)a 日 与1的差是正数； (4)m 与2的差是负数； m—2<0. (5)今年植树节，小青和小贤栽种了一棵树，此树的树围(树干一圈 的长度)为15cm. 已知此树树围平均每年增长3 cm, 生 长x 年 后，此树树围超过60 cm . 3x+15>60. 新课讲解 练一练 2.已知一支圆珠笔x元，签字笔与圆珠笔相比每支贵y元.小华想要买3支圆 珠笔和10支签字笔，若付50元仍找回若干元，则如何用含x,y 的不等式 来表示小华所需支付的金额与50元之间的关系? 解 ：3x+10(x+y)<50 新课讲解 用不等式表示数量关系关键是找出关键词：例如 “大于”“超过”“多于”等用“>”表示； “小于”“不足”“少于”等用“<”表示； “不小于”“至少”用“≥”表示； “不大于”“至多”用“≤”表示； “不等于”用“≠”表示。 新课讲解 归纳 【探究1】下面给出的数中，能使不等式x>50 成立吗?你还能找出其他的数吗? 20, 40, 50, 100. 解： 当x=20,20<50, 不成立； 当x=40,40<50, 不成立； 当x=50,50=50, 不成立； 当x=100,100>50, 成立. 当x=108,108>50, 成立. 知识点3 不等式的解与解集 新课讲解 判断一个数是不是不等式的解的方法 判断一个数是否为不等式的解，就是将这个数代替不等式中的未知数， 看不等式是否成立.若成立，则该数是不等式的一个解，反之不是. 例如，110是不等式x>100 的解，而90不是不等式x>100 的解. 注意：一般情况下，不等式的解有无数个，但不等式的特殊解可以是有限个. 与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解. 代入法是检验某个值是否是不等式的解的简单、实用的方法. 新课讲解 总 结 新课讲解 【探究2】判断下列数中哪些是不等式 的 解 ： 60,73,74.9,75.1,76,79,80,90. x 60 73 74.9 75.1 76 79 80 90 不是 不是 不是 是 是 是 是 是 比75小的数都不是不等式的解，比75大 的数都是不等式的解. 你从表格中发现了什么规律? 一般地， 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 例如：x>75 是不等 的解集. 求不等式的解集的过程叫作解不等式. 不等式的解集必须符合两个条件： (1)解集中的每一个数值都能使不等式成立； (2)能够使不等式成立的所有数值都在该解集中. 新课讲解 总结 ④x>2 中的任何一个数都可以使不等式4x—5>0 成立，所以x>2 是不等式 4x—5>0 的解集. 其中正确的有( B) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 3. 下列四个说法： ①. 不等式4x-5>0 的一个解； ② 是不等式4x—5>0 的一个解； ③. 是不等式4x-5>0 的解集； 新课讲解 1. 下列说法中，错误的是( C) A.x=1 是不等式x<2的一个解 B.x=-2 是不等式2x<1的一个解 C.不等式3x>9 的解集是x=4 D. 不等式x<10 有无数个解 新课讲解 练一练 2.在4,3,2,1,0, 中，能使不等式3x-2>2x 成立的 数有 2 个 . 新课讲解 练一练 不等式的解 不等式的解集 区 别 定义 能使不等式成立的某个未知数的值. 能使不等式成立的所有未知数的值. 特点 个体 全体 形式 如： x=3是2x- 3<7的 一个解 如： x<5是2x - 3<7的解集 联系 某个解定是解集中的一员 解集一定包括了某个解 不等式的解与不等式的解集的区别与联系 新课讲解 用数轴：一般标出数轴上某一范围，其中的点对应的数 值都是不等式的解. 知识点4 不等式的解集的表示方法 用式子：用最简形式的不等式(如x>a 或 x<a)来表示. 怎样表示不等式的解集呢? 新课讲解 则点A 右边所有的点表示的数都 大于2,而点A 左边所有的点表示 的数都小于2. 因此可以像图那样表示不 先在数轴上标出表示2的点A 等式的解集x>2. -1 0 1 2 3 4 5 6 新课讲解 【问题】如何在数轴上表示出不等式x>2 的解集呢? 把表示2的点A画成空心圆圈，表示解集不包括2. > 用数轴表示不等式的解集的步骤： 1.定边界点：在数轴上要标出原点和边界点，有等号边界点画实心圆点(表示 包括这一点),无等号边界点画空心圆圈(表示不包括这一点). 2.定方向：大于向右，小于向左 . 不等式的解集 x>a x<a x≥a x≤a 数轴表示 0a 0 a 0 a 归纳 常见不等式的解集在数轴上的表示： 新课讲解 (1)x>-1; (2) 空心圆圈表 示不含此点 ① -1 0 方向向右 表示-1的点 新课讲解 4.利用数轴来表示下列不等式的解集. 【变式】已知x的解集在数轴上表示如图，你能写出x的解集吗? 0 1 方向向左 的点 表示 1 1 2 解： (1) x<-4; (2)x>4. 1. 已知x的解集如图所示，你能写出x 的解集吗? 新课讲解 练一练 (1) 一 2.直接写出不等式2x>8 的解集，并在数轴上表示出来. 解：x>4. 这个解集在数轴上表示为： 新课讲解 练一练 新课讲解 【变式】不等式的特殊解 填空：(1)写出不等式x<3 的所有正整数解： 1,2 ; (2)写出不等式x>-4 的所有负整数解： -3,-2,-1 (3)写出不等式x<2 的所有非负整数解： 0,1 ; (4)写出不等式x>-3 的最小整数解： -2 方法点拨： 将解集表示在数轴上→找出符合要求的解. 题号 在数轴上表示解集 找出特殊解 (1) 正整数解：1,2 (2) 负整数解：-3,-2,-1 (3) 非负整数解：0,1 (4) 最小整数解：-2 一般情况下，不等式 的解有无数个，但不 等式的特殊解可以是 有限个，比如：不等 式x<3 的解有无数 个，但是它的正整 数解只有1和2两个. 注意 解： 如表所示. -3 -2-1 0 1 23 ; 定义 用不等号表示不等关系的式子 用不等式表示数量关系 解集：不等式的所有的解组成解集 A 解及解集 包含 组成 解：使不等式成立的未知数的值 在数轴上表示不等式的解集 课堂小结 不等式 当堂小练 1.给出下列式子：①-2<0,②2y-5≥1,③m=1,④x²-x,⑤x≠-2,⑥x+1<2x-1. 其中是不等式的有(C) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下列各项中，蕴含不等关系的是 (D ) A. 老师的年龄是你年龄的2倍 B. 小军和小红一样高 C. 小明比爸爸小26岁 D.x² 是非负数 当堂小练 3. 在-2,-2.5,0,1中，是不等式2x>1 的解的是 1 B.x>1 是不等式x+1>0 的 解 集 0+1>0,但0<1 C.不等式x≥-3的负整数解有无数个X -3,-2,-1 4. 下列说法中，正确的是( D ) A.-3 是不等式x+4<1 的解 × D. 不等式x<5 的非正整数解有无数个 2×(-2)=-4<1 2×0=0<1 2×(-2.5)=-5<1 -3+4=1 当堂小练 5. 在数轴上表示不等式3x>5 的解集，正确的是 ( A ) 0 1 2 A 5 一 C D B 3 当堂小练 6.直接写出下列不等式的所有整数解： (1)|x|<4; 解 ：|x|<4的所有整数解： - 3 , 一 2, - 1,0,1,2,3 . (2)|x|<3. 解：|x|<3的所有整数解： - 2 , - 1,0,1,2 . 当堂小练 7. 【新考法数形结合法】已知实数 a, b, c 在数轴上对应的点的位置 如图所示，则下列式子中正确的是 ( C ) A.cb<ab B.ac>ab C.cb>ab D.c+b>a+b 8. 限高标志牌是指禁止装载高度超过标志所示数值的车辆通行.如图所 示是某桥洞的限高标志牌，则下列装载高度的车辆不能通过此桥洞的 是 ( A ) A.5.5m B.4.5m C.3.5m D.2.5m 当堂小练 当堂小练 9.某弹簧测力计的测量范围是0至50N (含50 N), 佳佳未注意到弹簧测 力计的测量范围，用这个弹簧测力计测量一个物体，取下物体后，发现 弹簧没有恢复原状.设这个物体的重力为 G, 则这个物体的重力范围用不 等式表示为 G>50N . 方法点拨： 1.根据测量完成后弹簧没有恢复原状，说明超过了测量范围. 2.对于实际问题，读懂题意，分析好数量关系，才能正确表示出范围. 对接中考 1.下列数中，能使不等式5x-1<6 成立的x 的值为 ( A ) A.1 B.2 C.3 D.4 方法点拨：本题考查不等式的解，正确理解不等式解的定义是解题的关键. 解：当 x=1 时，5×1- 1=4<6,因此x=1是不等式5x-1<6 的解. 同理可知，B,C,D 选项不是该不等式的解. 故能使不等式5x-1<6 成立的x 的值为1. 2. 据某天气网站预测，某市最高气温是6℃,最低气温是 - 1℃,则 当天该市气温 t (单位℃)的变化范围是( D ) A.t≤6 B.t≥-1 t≥-1 C.t≥-1 或 t≤6 D.t≥-1 且 长 6 t≤6 对接中考 方法点拨：利用数轴上表示解集的“边界点”,将不等式转化为有关字母的 方程求解. 解：因为数轴上表示的不等式的解集为x>-1, 所以 a-1=-1, 解得a=0. 拓展与延伸 已知关于x 的不等式x>a-1 的解集如图，则a 的值为 0 $$