2026届高三数学一轮复习专题5 立体几何2：立体几何小题专练

夯实基础 提升能力 2026届高三数学一轮复习专题5 立体几何2：立体几何小题专练（解析） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果是边长为12的正方形，则这个八面体的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 2．如图,在正方体中,M､N分别为AC,的中点,则下列说法错误的是( ) A.平面 B. C.直线MN与平面ABCD所成角为45° D.异面直线MN与所成角为60° 3．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则( ) A. B. C. D. 4．已知空间三点，，若，且，则点P的坐标为( ) A. B. C.或 D.或 5．已知平面和平面的夹角为,,已知A,B两点在棱上,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,,则的长度为( ) A. B. C. D.或 6．如图，二面角等于，A、B是棱l上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( ) A. B. C.4 D.2 7．已知平面，，，，则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线,所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( ) A. B. C.1 D.3 10．如图,在棱长为的正方体中,E为的中点,F为的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( ) A. B.向量与所成角的余弦值为 C.平面AEF的一个法向量是 D.点F到平面AEF的距离为 11．如图，在四棱锥中，底面平行四边形，,,，若,，则( ) A. B. C. D. 12．如图,在四面体 中,,,D,E,F 分别是棱,,的中点,则下列结论中成立的是( ) A.平面 B.平面 C.平面平面 D.平面平面 三、填空题 13．已知正四棱台的上底面的边长为,下底面的边长为,记该正四棱台的侧面积为,其外接球表面积为,则当取得最小值时,的值是________. 14．已知向量，，则在上的投影向量坐标为________. 15．如图已知点A,B在圆锥的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥的底面积为，，若与截面所成角为，则圆锥的侧面积为________. 16．正三棱柱的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线上求一点N,当CN的长为________时,使. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$夯实基础 提升能力 2026届高三数学一轮复习专题5 立体几何2：立体几何小题专练（解析） 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果是边长为12的正方形，则这个八面体的外接球的体积为( ) A. B. C. D. 1．答案：D 解析：因八面体的每一个面都是正三角形，是正方形， 连接，，,则三线交于点O,易得平面, 在中，,则, 即, 故个八面体的外接球的半径为，故其体积为. 故选：D. 2．如图,在正方体中,M､N分别为AC,的中点,则下列说法错误的是( ) A.平面 B. C.直线MN与平面ABCD所成角为45° D.异面直线MN与所成角为60° 2．答案：D 解析：如图,连结BD,, 由M,N分别为AC,的中点,知, 而平面,平面, 平面,故A正确; 在正方体中,平面,则, ,,故B正确; 直线MN与平面ABCD所成角等于与平面ABCD所成角等于45°,故C正确; 而为异面直线MN与所成角,应为45°,故D错误. 故选:D 3．如图所示，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则( ) A. B. C. D. 3．答案：D 解析：.故选D. 4．已知空间三点，，若，且，则点P的坐标为( ) A. B. C.或 D.或 4．答案：C 解析：，可设． 易知，则．又， ，解得， 或． 设点P的坐标为， 则， 或 解得或 故点P的坐标为或． 故选C． 5．已知平面和平面的夹角为,,已知A,B两点在棱上,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,,则的长度为( ) A. B. C. D.或 5．答案：D 解析：平面和平面的夹角为,则二面角的大小为或, 因为,,所以或, 由题可知, , 故或, 或. 故选：D. 6．如图，二面角等于，A、B是棱l上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于( ) A. B. C.4 D.2 6．答案：C 解析：由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，，得，，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 7．已知平面，，，，则“”是“且”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7．答案：C 解析：由于，所以，， 若，则，，故充分性成立， 若，，设，， 则存在直线使得，所以，由于，故， 同理存在直线使得，所以，由于，故， 由于a，b不平行，所以a，b是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立， 故选：C. 8．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线,所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. 8．答案：D 解析：取的中点O，连接，由四边形为菱形，， 得， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 故以O为坐标原点，为y轴建立如图空间直角坐标系， 设，则,,,， 故,， 所以， 即直线,所成角的余弦值为. 故选：D 二、多项选择题 9．已知直线，的方向向量分别是，，若且，则的值可以是( ) A. B. C.1 D.3 9．答案：AC 解析：直线、的方向向量分别是， ，且， ，解得， 或， 或. 10．如图,在棱长为的正方体中,E为的中点,F为的中点,如图所示建立空间直角坐标系,则下列说法正确的是( ) A. B.向量与所成角的余弦值为 C.平面AEF的一个法向量是 D.点F到平面AEF的距离为 10．答案：BCD 解析：由题可知,,,,,,, 所以,故选项A错误; ,,所以,故选项B正确; ,,记, 则,,故,, 因为,AE,平面AEF, 所以垂直于平面AEF,故选项C正确; ,所以点D到平面AEF的距离,故选项D正确; 故选:BCD 11．如图，在四棱锥中，底面平行四边形，,,，若,，则( ) A. B. C. D. 11．答案：BC 解析：A：，故A错误； B：，故B正确； C：，故C正确； D：，故D错误． 故选：BC. 12．如图,在四面体 中,,,D,E,F 分别是棱,,的中点,则下列结论中成立的是( ) A.平面 B.平面 C.平面平面 D.平面平面 12．答案：ABC 解析：对于A中,因为D,F分别为,的中点,可得, 又因为平面,且平面,所以平面,所以A正确; 对于B中,因为,且E为的中点,可得, 又因为,且E为的中点,可得, 因为且,平面,所以平面, 又因为,所以平面,所以B正确. 对于C中,由B项知：平面,因为平面, 所以平面平面,所以C正确; 对于D中,设直线,易得,可得,所以, 假设平面平面,且平面平面,平面, 所以平面, 因为平面,所以, 又因为与不一定垂直,所以平面与 平面不一定垂直,所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题 13．已知正四棱台的上底面的边长为,下底面的边长为,记该正四棱台的侧面积为,其外接球表面积为,则当取得最小值时,的值是________. 13．答案： 解析：当取得最小值时,则球心O在正四棱台的下底面内,为上底面的中心,如图所示, 由此可得外接球的半径为,进而可得, 进而可求侧面的斜高. 则侧面的面积, 又,所以. 故答案为:. 14．已知向量，，则在上的投影向量坐标为________. 14．答案： 解析：因为,， 所以，， 则在上的投影向量坐标为. 故答案为： 15．如图已知点A,B在圆锥的底面圆周上，S为圆锥顶点，O为圆锥的底面中心，且圆锥的底面积为，，若与截面所成角为，则圆锥的侧面积为________. 15．答案： 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 因为圆锥的底面积为， 所以，故， 过点B作，垂足为D，连接， 由已知平面，平面， 所以，，平面， 所以平面，所以在平面上的射影为， 所以为直线与截面所成的角， 由已知，又， 所以为等边三角形，故， 因为，， 由余弦定理可得， 所以， 所以， 所以圆锥的侧面积为. 故答案为：. 16．正三棱柱的侧棱长为2,底面边长为1,M是BC的中点.在直线上求一点N,当CN的长为________时,使. 16．答案：/0.125 解析：取的中点为,连接,AM, 由正三棱柱性质可得,,, 因此以M为坐标原点,以AM,BM,所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如下图所示: 易知,,,设CN的长为a,且,可得; 易知 若,则,解得, 所以当CN的长为时,使. 故答案为: 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$