精品解析：2025年广东省清远市英德市二模数学试题

2025年初中毕业生学业水平考试模拟（二） 数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A. 上升5米 B. 下降5米 C. 下降17米 D. 上升17米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：上升17米记作米，则米表示下降5米， 故选：B． 2. 下列多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 正五边形 B. 平行四边形 C. 直角梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意； 故选：D． 3. 文化和旅游部月日公布年“五一”假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期天，全国国内出游约人次，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 4. 杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等求出的度数，然后根据邻补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，解题关键是熟悉上述法则，并能熟练运用求解．根据同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，对四个式子逐一计算，再作判断． 【详解】，故A计算正确，符合题意； 错误，错在将加法当作乘法计算，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算错误，不符合题意； ，故D计算错误，不符合题意； 故选：A． 6. 是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的值，然后再减去1后的结果再除以2，即可解题． 【详解】解：， ， ， ， 即的值估计在0和1之间， 故选：A． 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A. 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解题关键．分别求出摸出四种颜色球的概率，即可得到答案． 【详解】解：A、摸出白球的概率为，不符合题意； B、摸出红球，符合题意； C、摸出绿球，不符合题意； D、摸出黑球，不符合题意； 故选：B． 8. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解集的表示，根据不等式解集的表示方法即可判断． 【详解】解： ∴该不等式组的解集是：． 在数轴上表示为： ， 故选：C． 9. 如图，将一个三角尺角的顶点放在上，三角尺的两边与交于两点，连接，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，顶点在圆上，， ∴， 故选：C． 10. 代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A. 证明：， B. 证明：， C. 证明： ， D. 证明：， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了代数推理和完全平方公式，解题的关键是运用完全平方公式进行变形和推导． 通过完全平方公式将不等式转化为易于分析的形式，判断各选项证明方法的正确性，从而确定符合题目要求的选项． 【详解】根据题意可知：；当时，左右两边取等号． A．通过完全平方公式将转化为 ，而总是大于或等于0．因此，这个推理是正确的，故该选项符合题意； B．并不等于而是等于 ，这不等于0，因此，这个推理是错误的，故该选项不符合题意； C．虽然是正确的，但  仅在时成立，这与题目要求的 时取等号不符，故该选项不符合题意； D．并不等于，且 仅在时时成立，这与题目要求的时取等号不符，故该选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据平方差公式因式分解， 根据题意得，再根据平方差公式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 12. 化简：=__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质计算． 【详解】解：原式=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简．注意最简二次根式的条件是：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数因式．上述两个条件同时具备（缺一不可）的二次根式叫最简二次根式． 13. 一组数据3，4，2，3，5的中位数是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，解题的关键是掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：把这些数从小大排列为2，3，3，4，5， 则中位数是3． 故答案为：3． 14. 一个反比例函数图象经过，写出另外一个在该图象上的点的坐标___________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为k是解题关键． 设反比例函数的解析式为，求出，根据反比例函数的性质只要横纵坐标之积为12即可符合题意． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴该函数图象上的点的坐标可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 15. 如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形，掌握平移的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 过点作，交于点，由等边三角形的性质和含角的直角三角形，可得，，继而可求出，即，再由判定是等边三角形，进而求出，再根据中线的性质得出，进而根据两个三角形重叠部分面积为得出结果． 【详解】解：如图，过点作，交于点， ∵是边长为4的等边上的高， ∴，，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边上的高， ∴，， ∴， 又∵点是的中点， ∴点是的中点， ∴，同理， ∴两个三角形重叠部分面积为， 故答案：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别计算，然后再进行加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 广东以“打造低空经济产业”为目标．某商家看准商机，购进和两款无人机共45架，购进款无人机的数量是款无人机数量的2倍．求购进两款无人机的数量分别是多少架？ 【答案】购进两款无人机的数量分别是15架和30架． 【解析】 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设购进两款无人机的数量分别是x架和y架，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设购进两款无人机的数量分别是x架和y架， 根据题意得：， 解得：， ∴购进两款无人机的数量分别是15架和30架． 18. 已知，如图，是平行四边形的对角线． （1）作线段的垂直平分线，交于点，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，猜想线段和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）由平行四边形对边平行得到，再证明，则可证明，得到． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为进一步落实“保障学生每天综合体育活动时间不低于两小时”工作，促进学生身心健康和全面发展．某学校增设了丰富多彩的体育课程，分别是：花式跳绳、毽球、萝卜蹲、蛙蛙跳四种课程（依次用表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每位学生只能选一项课程），并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）若从喜好“萝卜蹲”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加比赛，请用树状图或列表法求恰好乙和丁同学被选到的概率是多少？ 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，列表法或画树状图法求概率等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出选择课程的人数，补全条形统计图即可； （2）画出树状图，即可求解． 【小问1详解】 解：调查的学生人数为：（人）， ∴选择课程的人数为：（人）， ∴选择课程的人数为：（人）， 补全条形统计图为： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能情况，恰好乙和丁同学被选到的有种， ∴恰好乙和丁同学被选到的概率为． 20. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图-1，电脑水平放置在桌面上，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员将电脑屏幕绕点O旋转，减小张角度数继续探究，最后发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想． （1）求电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到转过的弧长（结果保留）； （2）请在图-2中画出线段，用其长度表示旋转后顶部边缘处离桌面的高度（不说理由），并求出高度约为多少厘米（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】（1） （2）23厘米 【解析】 【分析】(1)首先可求得，根据直角三角形的性质，即可求得、的长，再由题意可得的度数，最后利用弧长公式即可求解； (2)过点作于点D，线段的长即为旋转后顶部边缘处离桌面的高度，再求出的度数，利用解直角三角形进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ， 电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到转过的弧长为： ； 【小问2详解】 解：如图：过点作于点D，线段的长即为旋转后顶部边缘处离桌面的高度， ， ， ， 故旋转后顶部边缘处离桌面的高度约为23厘米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的性质，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解题的关键． 21. 【问题背景】 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． 【探究发现】 （1）单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌．若只用正三角形地砖在一个拼接点处实现平面镶嵌，则需要___________块； 【实际应用】 （2）某业主有个房间长，宽；如果业主选用一种长为，宽为的矩形地砖进行镶嵌（缝隙忽略不计），在不允许切割，不计损坏的情况下，如果你是铺地砖的师傅，通过计算，需要多少块这样的地砖？ 思考拓展】 （3）该业主有个长为，宽为的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于）．若正三角形地砖每块元，正六边形地砖每块元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元？（参考数据：） 【答案】（1）；（2）需要块这样的地砖；（3）购买地砖的最少费用是元． 【解析】 【分析】（1）根据正三角形每个内角度数和拼接点的角度和是即可求解； （2）先换算长度单位，再分矩形地砖是横铺或者竖铺的情况分析讨论，即可求解； （3）在正六边形中，连接、，过点作于点，延长，交于点，延长和，过点作直线，作于点，作于点，通过等腰三角形的性质证明四边形、四边形、四边形、四边形是矩形，利用三角函数求得的值，利用勾股定理求得的值，可得正六边形横长为，竖宽为，即可求得此大厅共铺正六边形地砖块，正三角形地砖块，即可求解费用． 【详解】（1）解：正三角形的每个内角为，且拼接点的角度和是， （块）， 故答案为：． （2）解：，， 分两种情况，如下： ①若矩形地砖是横铺，则块，块， 需要块矩形地砖； ②若矩形地砖是竖铺，则块，块， 需要块矩形地砖； 答：需要块这样的地砖． （3）解：如图，在正六边形中，连接、，过点作于点，延长，交于点，延长和，过点作直线，作于点，作于点， 根据题意，可知：，正六边形的每个内角为， ，，， ， ，， ， ， ， 同理可得：， ，， ，， 四边形、四边形、四边形、四边形是矩形， ，，， ， ，，，， ， ， 在中，， 同理可得：， ， 此大厅铺地砖时，在正六边形地砖之间上下铺正三角形地砖，在大厅四周边角时，各铺一块正三角形地砖的一半， 此大厅横铺正六边形地砖，即块，铺正三角形地砖块，封边， 竖铺正六边形地砖，即块，封边， 此大厅共铺正六边形地砖块，正三角形地砖块， 费用为元． 答：在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是元． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，正三角形即等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，理解题意、分情况分析是解题关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知正方形和等边三角形，点在直线上，三点在直线上方，． （1）当点在点右侧，如1图，连接和，分别与正方形的边交于点和． ①当时，___________，___________； ②若，设，求与的关系式； （2）当点在点左侧，且的外接圆刚好经过正方形的一个顶点（点除外）时，请直接写出此时的值． 【答案】（1）①；；② （2）4或或 【解析】 【分析】（1）①过点E作于M，则，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出的长；利用勾股定理求出的长，求出即可得到答案； ②过点E作于M，则，，证明，得到；证明，得到，则； （2）分的外接圆恰好经过点A或点B或点C，三种情况画出示意图讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，过点E作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，过点E作于M， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴，即， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∴； 小问2详解】 解：如图2-1所示，当点F与点A重合，的外接圆一定经过点A，此时满足题意，则； 如图2-2所示，当的外接圆恰好经过点B时，过点O分别作的垂线，垂足分别为P、Q， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上，即点O在线段， ∴此时平分， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图2-3所示，当的外接圆恰好经过点C时，则， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴ ∴三点共线， ∴， ∴ 综上所述，m的值为4或或． 【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． （1）如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． （2）如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）①四边形是正方形，理由见解析 ②是定值 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、特殊四边形和圆的基本知识； （1）①先证明四边形是矩形，又，故四边形是正方形； ②设点的坐标为，则，即a为定值，求出直线l的解析式，即可求出，的长，然后代入计算解题即可； （2）证明为等边三角形，再求点的坐标，进而求出点、、的坐标，依次求出二次函数、直线、直线的表达式，联立直线和二次函数的解析式求出交点坐标即可求解． 【小问1详解】 ①解：四边形是正方形，证明如下： ∵分别与两坐标轴相切， ， ， 又∵， ， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形； ②解：设点的坐标为， ∴，即a为定值， 设直线l的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线l的解析式为， 当时，，令，则， ∴，， ∴为定值； 【小问2详解】 解：连接， 过点作于， ∵四边形为菱形， (半径)， 为等边三角形， 在中， ， ∴代入 解之得：(负值舍去)， 则 ∵四边形是矩形， ∴ ， ； 设二次函数解析式为：过点， 解得， ∴二次函数解析式为：； 设直线的解析式为： 据题意得：，解得： ， ∴直线的解析式为 过点作直线，则可得直线的解析式为， 解方程组： 解得 或 ， 过点作直线，则可设直线的解析式为：， ，解得 ， ∴直线的解析式为， 解方程组： ，解得 或 ， 综上可知，满足条件的的坐标有四个，分别为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中毕业生学业水平考试模拟（二） 数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A. 上升5米 B. 下降5米 C. 下降17米 D. 上升17米 2. 下列多边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 正五边形 B. 平行四边形 C. 直角梯形 D. 菱形 3. 文化和旅游部月日公布年“五一”假期文化和旅游市场情况．经文化和旅游部数据中心测算，假期天，全国国内出游约人次，数据用科学记数法表示为（　　） A B. C. D. 4. 杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，则的度数为（　　） A B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 是一个很奇妙的数，在艺术、建筑中以“黄金分割”体现美感，估计的值（　　） A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间 7. 一个不透明袋子中装有4个白球，3个红球，2个绿球，1个黑球，每个球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，则下列事件发生的概率为的是（ ） A 摸出白球 B. 摸出红球 C. 摸出绿球 D. 摸出黑球 8. 关于的一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，将一个三角尺角的顶点放在上，三角尺的两边与交于两点，连接，则（　　） A. B. C. D. 10. 代数推理是一种数学推理方法，它主要基于代数运算和代数结构的性质来进行逻辑推导和证明． ； ； ； ； 观察以上各式，用含有字母的式子归纳表示为：；当时，左右两边取等号．为了证明上述规律，下列选项做法正确的是（　　） A. 证明：， B. 证明：， C. 证明： ， D. 证明：， 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：___________． 12. 化简：=__________ 13. 一组数据3，4，2，3，5的中位数是___________． 14. 一个反比例函数图象经过，写出另外一个在该图象上点的坐标___________． 15. 如图1，将边长为4的等边沿其边上的高剪开，再把向左平移得到，当是的中点时，如图2，两个三角形重叠部分面积为___________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 广东以“打造低空经济产业”为目标．某商家看准商机，购进和两款无人机共45架，购进款无人机的数量是款无人机数量的2倍．求购进两款无人机的数量分别是多少架？ 18. 已知，如图，是平行四边形的对角线． （1）作线段的垂直平分线，交于点，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）； （2）设的垂直平分线交于点，猜想线段和的数量关系，并说明理由． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，为进一步落实“保障学生每天综合体育活动时间不低于两小时”工作，促进学生身心健康和全面发展．某学校增设了丰富多彩的体育课程，分别是：花式跳绳、毽球、萝卜蹲、蛙蛙跳四种课程（依次用表示），为了解学生对这四种课程的爱好情况，学校随机抽取若干名学生进行了问卷调查（每位学生只能选一项课程），并根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如图： （1）请补全条形统计图． （2）若从喜好“萝卜蹲”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人参加比赛，请用树状图或列表法求恰好乙和丁同学被选到的概率是多少？ 20. 某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图-1，电脑水平放置在桌面上，当张角时，顶部边缘A处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员将电脑屏幕绕点O旋转，减小张角度数继续探究，最后发现当张角时（点是A的对应点），用眼舒适度较为理想． （1）求电脑屏幕顶端A点绕O点旋转到转过的弧长（结果保留）； （2）请在图-2中画出线段，用其长度表示旋转后顶部边缘处离桌面的高度（不说理由），并求出高度约为多少厘米（结果精确到；参考数据：，，） 21. 【问题背景】 生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． 【探究发现】 （1）单独用正三角形、正方形、正六边形等都能进行平面镶嵌．若只用正三角形地砖在一个拼接点处实现平面镶嵌，则需要___________块； 【实际应用】 （2）某业主有个房间长，宽；如果业主选用一种长为，宽为矩形地砖进行镶嵌（缝隙忽略不计），在不允许切割，不计损坏的情况下，如果你是铺地砖的师傅，通过计算，需要多少块这样的地砖？ 【思考拓展】 （3）该业主有个长为，宽为的大厅，业主个人认为，为了使装修的图案效果更为美观，选择了1图的两种边长均为的正三角形地砖和正六边形地砖进行镶嵌，在镶嵌过程中缝隙忽略不计．若在不计损耗和损坏的情况下，两种地砖都使用，且按照如2图所示进行镶嵌，最后在四周用其它材料进行封边（每条封边的宽度小于）．若正三角形地砖每块元，正六边形地砖每块元，在镶嵌过程中，购买地砖的最少费用是多少元？（参考数据：） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知正方形和等边三角形，点在直线上，三点在直线上方，． （1）当点在点右侧，如1图，连接和，分别与正方形的边交于点和． ①当时，___________，___________； ②若，设，求与的关系式； （2）当点在点左侧，且的外接圆刚好经过正方形的一个顶点（点除外）时，请直接写出此时的值． 23. 在平面直角坐标系中，已知点是反比例函数图象上一个动点，以为圆心的圆始终与轴相切，设切点为． （1）如1图，当运动到与轴相切，设切点为． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②如2图，过点作直线，分别交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，则是否为定值？若是，请证明；若不是，请说明理由． （2）如3图，运动到与轴相交，设交点为．当四边形是菱形时，在过三点的抛物线上是否存在点，使的面积是菱形面积的？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$