精品解析：2025年新疆维吾尔自治区和田地区中考三模数学试题

2025年初三年级适应性测试卷数学（问卷） 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试题卷共4页，答题卷共4页，要求在答题卷上答题，在试题卷上答题无效． 3．答题前，请先在答题卷上认真填写学校、姓名和准考证号． 4．答题时，选择题答案必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 5．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写答案无效；在草稿纸、问卷上答题无效．答题时不允许使用计算器． 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）每题选项中只有一项符合要求． 1. 课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份平均气温，其中气温最低的是（ ） A. 乌鲁木齐 B. 郑州 C. 呼和浩特 D. 成都 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若关于一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 9. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 若式子有意义，则的取值范围是_______． 11. 目前所知病毒中最小是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即0.000000023米，将0.000000023化成科学记数法为______． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 13. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 ． 18. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 20. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求长． 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔高度（结果保留根号）． 22. 某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． （1）求智能手表和蓝牙耳机的单价； （2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 23. 如图，是的直径，连接并延长至点，使得，平分与圆相交于点，与相交于点，连接交于点． （1）证明：； （2）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初三年级适应性测试卷数学（问卷） 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本卷由试题卷和答题卷两部分组成，其中试题卷共4页，答题卷共4页，要求在答题卷上答题，在试题卷上答题无效． 3．答题前，请先在答题卷上认真填写学校、姓名和准考证号． 4．答题时，选择题答案必须使用铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，要求字体工整，笔迹清楚． 5．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区书写答案无效；在草稿纸、问卷上答题无效．答题时不允许使用计算器． 一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）每题选项中只有一项符合要求． 1. 课堂上，地理老师给同学们呈现了四个城市今年三月份的平均气温，其中气温最低的是（ ） A. 乌鲁木齐 B. 郑州 C. 呼和浩特 D. 成都 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，由有理数的大小比较法则得出，即可得解． 【详解】解：，， ∴， ∴气温最低的是乌鲁木齐， 故选：A． 2. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 3. 下列运算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的混合运算，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据幂的混合运算法则及合并同类项法则计算，即可判断答案． 【详解】A、因为与不同类项，不能合并同类项，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 4. 已知，下列不等式的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，则，原式变形错误，不符合题意； B、由可得，原式变形正确，符合题意； C、由不一定可得，例如当时，满足，但不满足，原式变形错误，不符合题意； D、由可得，原式变形错误，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，的直角顶点在直线上，斜边在直线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，直角的定义，角度的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用直角的定义及角度的和差求出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 6. 如图，是的直径，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，三角形内角和定理，连接，则可求出，，据此根据三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2或0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图①是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与的函数图象如图②所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 客人距离厨房门口 B. 慧慧比聪聪晚出发 C. 聪聪的速度为 D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远相距 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，理解图象，掌握行程问题的数量关系，数形结合是解题的关键．根据图象求出聪聪的解析式，结合图象，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由图象知，客人距离厨房门口，选项说法正确，故不符合题意； B、由图象得，慧慧比聪聪晚出发，选项说法正确，故不符合题意； C、由图象得，慧慧提速前的速度是，则慧慧提速后速度为， 故提速后慧慧行走所用时间为：， ∴， ∴聪聪的速度为，选项说法不正确，故符合题意； D、∵聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变， ∴表示的是聪聪行走的时间与路程的关系， 设的解析式为，图象经过点， ∴，解得， ∴的解析式为， 当时，聪聪与慧慧的距离逐渐增大， ∴当时，， 当时，慧慧的速度大于聪聪的速度，则聪聪与慧慧的距离先减小，再增加， ∵当时，，， ∴； ∵， ∴当时，聪聪与慧慧的距离逐渐减小到， ∴从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧最远距离为， ∴选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】①先证明，进而可依据“ASA”判定和全等，则，再根据可得出，由此可对结论①进行判断；②设与相交于点T，根据，得是等腰直角三角形，则，再根据，利用三角形内角和定理得，由此可对结论②进行判断；③根据和全等得进而得，由此可对结论③进行判断；④过点O作于点H，由勾股定理得，依题意得，则，证明是等腰直角三角形，再由勾股定理得则由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形是正方形 ∴，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， ∴， 故结论①正确； ②设与相交于点T，如图1所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故结论③正确； ④过点O作于点H，如图2所示： ∵是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得： ∵，，， ∴， ∴ ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ 即， 故结论④正确， 综上所述：正确结论的序号是①②③④． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分） 10. 若式子有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一元一次不等式的解集，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数，是解题的关键．根据二次根式的被开方数为非负数进行解答即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为23纳米，即0.000000023米，将0.000000023化成科学记数法为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．根据科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：将0.000000023用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 如图，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．利用树状图列举出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率． 【详解】解：用树状图表示所有可能出现的结果有： ∴能让灯泡发光的概率， 故答案为：． 13. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数，根据的纵坐标相同以及点在反比例函数上得到的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出一元一次方程求解即可． 【详解】是平行四边形 纵坐标相同 的纵坐标是 在反比例函数图象上 将代入函数中，得到 的纵坐标为 即： 解得： 故答案为：． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 三、解答题（共9小题，满分90分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，实数的混合运算，解题关键是熟练运用分式运算法则，掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，化简绝对值进行求解． （1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，化简绝对值，进行计算即可求解； （2）先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，即可求解． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来 ． 【答案】1≤x＜4，数轴上表示见解析 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到x≥1；x＜4．它们的公共部分即为原不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上． 【详解】解: 解不等式①，得x≥1； 解不等式②，得x＜4． ∴1≤x＜4． 在数轴上表示为： ． 【点睛】考查了解不等式组的方法：分别解各不等式，然后写出它们的公共部分即为不等式组的解集．也考查了利用数轴表示不等式组的解集得方法． 18. 如图，已知． （1）请用无刻度的直尺和圆规在上方作，在射线上截取，连接交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，求证：． 【答案】（1）作图见详解 （2）证明过程见详解 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角等于已知角，等腰三角形的三线合一，全等三角形的判的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据尺规作角等于已知角即可； （2）根据等腰三角形的三线合一得到，再证明，得到，由此即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接， 以点为圆心，以长为半径画弧交于点， 以点为圆心，以长为半径画弧交于点，连接并延长得到射线， ∵， ∴， ∴，即， ∴射线即为所求， 以点为圆心，以长为半径画弧，交射线于点，连接交于点，如图所示， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19. 百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息： 抽取对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； 抽取对B款聊天机器人的评分数据：66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 B 88 87 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，_________，________； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？ 【答案】（1）15；88.5；98 （2）A款，因A款中位数88.5大于B款的87，所以A款好 （3）69人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键； （1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：“满意”所占百分比为， ∴“比较满意”所占百分比为， ∴； ∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89； ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴， 在B款的评分数据中，96出现的次数最多， ∴； 故答案为： ； 【小问2详解】 解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为， 估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）． 20. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，点F在边上，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理，角平分线的定义等知识，熟练掌握矩形和等腰三角形的判定是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可得证； （2）先证明，由平行四边形的性质，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：四边形是矩形， ∴， ∴， 中，． 21. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）电线塔的高度． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 22. 某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个． （1）求智能手表和蓝牙耳机单价； （2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？ 【答案】（1）耳机单价150元，手表单价600元 （2）采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用等，根据题意准确抓住相等关系或不等关系是解题的根本和关键． （1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”这一条件列方程，求解并检验得出蓝牙耳机单价，进而求出智能手表单价． （2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，利用一次函数性质求出最小值及对应的采购数量． 【小问1详解】 解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得 解得： 经检验：是所列方程的解． 元， 答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元． 【小问2详解】 设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得 ∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元； 设采购总成本为W元，则 ，， （元） 采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元． 23. 如图，是的直径，连接并延长至点，使得，平分与圆相交于点，与相交于点，连接交于点． （1）证明：； （2）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆的性质证出为的垂直平分线，得到即可解答； （2）连接，判定出，再通过相似三角形的比值关系列式运算即可 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵四边形为圆内接四边形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了的圆的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线的定义，三角函数的比值关系，相似三角形的判定及性质，熟悉掌握各性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $