专题1.2 反比例函数的性质（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题1.2 反比例函数的性质（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 2 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 2 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 3 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 4 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 5 【题型6 反比例函数中的规律探究】 6 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 8 【题型8 反比例函数中的动点问题】 10 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东佛山·期中）已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是 ． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南漯河·期末）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数），函数的图象为曲线L，若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，位于第二象限，,，直角顶点在直线上，且点的横坐标为，边、分别平行于轴、轴．若双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为 ． 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【变式5-2】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ）    A．2 B． C．1 D．4 【变式5-3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于 ． 【题型6 反比例函数中的规律探究】 【例6】（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【变式6-1】（2025·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 【例7】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 【变式7-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，过点A作反比例函数图象． (1)求出a，k的值； (2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由． 【变式7-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． (1)求的值； (2)连接，求的面积； (3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【题型8 反比例函数中的动点问题】 【例8】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 反比例函数的性质（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 2 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 5 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 7 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 10 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 14 【题型6 反比例函数中的规律探究】 19 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 24 【题型8 反比例函数中的动点问题】 31 知识点1 反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点2 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 【题型1 比较坐标大小（知横坐标比纵坐标）】 【例1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图象经过点，，下列说法一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 根据反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 点位于第一象限，点位于第三象限， ； 当时，， 点，位于第一象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； B、， 函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， ，， 点，位于第三象限， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； C、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， 当时，， 点位于第四象限，点位于第二象限， ， 当时，， ， ，原说法错误，故此选项不符合题意； D、， 函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ，， 点，位于第二象限， ， ，正确，此选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如果反比例函数的图象经过点、，，且，那么和的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较 【答案】A 【分析】先根据反比例函数图象经过点得出，判断此函数图象所在的象限，再根据判断出、所在的象限，根据此函数的增减性即可解答． 【详解】解：反比例函数图象经过点， ， 此函数的图象在二、四象限，在每一象限内随的增大而增大， ， 、两点均位于第二象限， ． 故选：． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的图像是解题的关键．根据判断出反比例函数在一、三象限，由横坐标大小判断即可． 【详解】解：， 反比例函数在一、三象限， 故在每个象限内，随的增大而减小， 位于第三象限， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级下·广东佛山·期中）已知，，，都在反比例函数的图象上，其中，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，正确求出反比例函数解析式是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出，从而得到反比例函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大，即可得到答案． 【详解】解：，，在反比例函数的图象上， ， 解得：， 反比例函数图象位于第二、四象限，且在第二象限内，随的增大而增大， ，都在反比例函数的图象上，且， ， 故选：C． 【题型2 比较坐标大小（知纵坐标比横坐标）】 【例2】（2025·陕西西安·模拟预测）已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先确定反比例函数图象所在象限及单调性． 根据判断点、在第四象限，点在第二象限． 利用单调性得出、、的大小关系即可． 【详解】∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∵， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴点，在第四象限，且在第四象限随的增大而增大， ∴ ，而第四象限的值大于， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·江苏无锡·期中）已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，先判断，可知反比例函数的图象在二、四象限，再利用函数性质可得答案，理解“在每个象限内，随的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键． 【详解】解：， 反比例函数（a是常数）的图象在二、四象限， 在每一象限内，随的增大而增大， ∵ ∴在第四象限，，在第二象限， ∴，， 即， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·河南漯河·期末）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数解析式，求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故选：D． 【变式2-3】（2025·天津河西·一模）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型3 求反比例函数中参数的取值范围】 【例3】（24-25九年级下·河北邯郸·期中）如图，当反比例函数的图象将矩形的内部（不含边界）的横、纵坐标都为整数的点分成数量相等的两部分，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图像，整数点的问题，解题的关键是要找到临界状态． 先找出矩形内部整数点共8个，然后找到两个临界位置，求出对应的比例系数k，即可求出取值范围． 【详解】解：矩形内的整数点有， ∴当反比例函数图像经过点时，此时， 当反比例函数图像经过点时，此时， ∴时，图像下方有点，图像上方有， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·四川达州·期末）如图是4个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作（m为1～4的整数），函数的图象为曲线L，若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 先求出四个点的坐标，分别求出过个点时的值，可得结果． 【详解】解：∵每个台阶的高和宽分别是1和2， ∴， ∴当过点时，， 当过点时，， ∴若曲线L使得，这些点分布在它的两侧，每侧各2个点，k的取值范围是：； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的应用．根据题意，求出各点的坐标，是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，连接，过A点作双曲线交线段于点D（不与点B、C重合），已知，若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及解不等式．先求出双曲线解析式，由题意可用a表示出D点坐标．即可求出和的长．再由线段与双曲线有交点且与点B、C不重合和可列出不等式，解出不等式即可求出a的取值范围． 【详解】解：由题意可知点A在双曲线上， ∴将点A坐标代入双曲线解析式得：， 解得：． 即双曲线解析式为， ∵，， ∴轴， ∴D点纵坐标为a， 将D点纵坐标代入双曲线解析式得：， 即， ∴D点坐标为． ∵线段与双曲线有交点且与点B、C不重合， ∴， 解得：． ∵，，且． ∴． ∴． 综上可知． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，位于第二象限，,，直角顶点在直线上，且点的横坐标为，边、分别平行于轴、轴．若双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象交点问题，根据所给的信息观察图象是解题的关键． 利用的横坐标为，代入后求出的坐标，再根据,，可得和的坐标，设直线与的交点坐标为，求出的坐标后，观察图象即可得到结果． 【详解】解：∵的横坐标为， ∴把代入可得：， ∴， ∵,， ∴，， 设直线与的交点坐标为，则为的中点，如图所示： ∴， 反比例函数图象经过或时，， 反比例函数经过点时，， 由图像可得：双曲线与 的边有个公共点，则的取值范围为； 故答案为：． 【题型4 求反比例函数中的图形面积】 【例4】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据和都是等腰直角三角形可得出、，设，，则点的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出，再根据三角形的面积即可得出与的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， 设，， 则点的坐标为， ∵反比例函数在第一象限的图象经过点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图为反比例函数与在第一象限中的图象，点P为其中一个反比例函数图象上点，过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B，则面积应是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的图像和性质是解题的关键．设，即可求出点A，点B的坐标从而求出面积． 【详解】解： P在反比例函数图象上， 设， 点A，点B在反比例函数图象上， 过点P作y轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点A，过点P作x轴的垂线与另一个反比例函数图象交于点B， ， ， ． 故选C． 【变式4-2】（2025·湖北·模拟预测）如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，则的面积等于 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，理解的几何意义是解题的关键．延长交轴于点，连接、，根据反比例函数中的几何意义得到，，从而推出，最后利用和同底等高即可得到答案． 【详解】解：延长交轴于点，连接、，如图 点在双曲线上，点在双曲线上，且轴 ， 和同底等高 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，平面直角坐标系中，点为双曲线上任意一点，将点绕原点顺时针旋转后得到点，点在直线上．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的变化-旋转，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 连接，得到是等边三角形，得到点重合，设，得到，，得出，因为是等边三角形，得到的高为，根据三角形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 将点绕原点顺时针旋转后得到点， ，， 是等边三角形， ， ， 点重合， 设， 点为双曲线上任意一点，点在直线， ，， ，， 是等边三角形， 设边上的高为， ， ， 故选：B． 【题型5 由图形面积求反比例函数的比例系数】 【例5】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数的图象于点，若的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，反比例函数的几何意义，根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，得出，根据，可得，即可求解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴，则 ∵， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数图象在第二象限，则， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（24-25八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点在轴上，垂直于轴、点分别在函数和的图象上．若的面积为5，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，连接，利用平行线间的距离相等，即可求得，利用反比例函数系数的几何意义得出，，即可得出即 ，与构成方程组，解方程组即可求解，明确是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵的顶点在轴上，垂直于轴， ∴轴， ∴， ∵点分别在函数和的图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得，即 ， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连结，，若的面积与的面积相等，则的值是（    ）    A．2 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．过点作轴于点，先根据一次函数的解析式求出，再根据反比例函数可得的面积为1，利用三角形的面积公式可得，从而可得点的坐标，代入计算即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    对于一次函数， 当时，，即， ∵点位于反比例函数的图象上，且轴于点， ∴的面积为， ∵的面积与的面积相等， ∴，即， ∴， 将代入一次函数得：， ∴， 将点代入反比例函数得：， 故选：D． 【变式5-3】（24-25八年级下·山西临汾·期中）如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于 ． 【答案】 【分析】延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形的面积为5，矩形的面积为，结合平行四边形的面积为4，可得k值． 【详解】解：延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，如图所示： 则， 根据反比例函数k的几何意义：矩形的面积为5，矩形的面积为， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积为4， ∴平行四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义找出、是解题的关键． 【题型6 反比例函数中的规律探究】 【例6】（2025·山东淄博·一模）如图，双曲线与直线相交于点A，B，在直线上取点，，…，依次以，…为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形，…．矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：；矩形的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：，…．按此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标规律探索，反比例函数的性质，根据题意得出每个矩形上都有4个点，根据，得出点在矩形上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知：在矩形上，在矩形上，,在矩形上，因此每个矩形上都有4个点， ∵， ∴点在矩形上，且在第一象限内， ∴横坐标为， 把代入得：， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】（2025·河北张家口·二模）如图，平面直角坐标系中，边长为的正方形的顶点、分别在轴、轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，…，依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意得出P1点的坐标，进而可得出反比例函数的解析式，再依次求出点P2，P3的坐标，找出规律即可得出结论． 【详解】解：∵正方形OAP1B的边长为1，点P1在反比例函数y=（x＞0）的图象上， ∴P1（1，1）， ∴k=1， ∴在反比例函数的解析式为：y=， ∵B1是P1A的中点， ∴P2A1=AB1=， ∴OA1=2， ∴P2（2，）， 同理，P3（22，）， … ∴Pn（2n-1，）． 当时，则有 的坐标为：（，） 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，找出规律是解题的关键． 【变式6-2】（2025·陕西渭南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系的第一象限中，和，点在上，轴交于点，轴交于点，轴交于点，，按照此规律作图，则的点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点的应用，依次代入求出各个点的坐标事解此题的关键，此题是一个中档题目，难度适中．根据反比例函数图象上点的特点依次代入求出、、、的坐标，即可得出的纵坐标，代入即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 即， 所以点的纵坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是2， 把代入得：， 即， 所以的横坐标是4， 把代入得：， 即， 所以的纵坐标是1， 把代入得：， 即， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·湖南·阶段练习）如图，在反比例函数的图象上有、B两点，连接，过这两点分别作x轴的垂线交x轴于点C、D，已知，点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，得到；……按照此规律继续进行下去，则的面积为 ．（用含正整数n的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先求出，得到，，，进而求出，得到，则，根据梯形面积公式求出，再分别求出 ，，进而得到规律，，则． 【详解】解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵轴， ∴点B的纵坐标为1， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ……， 以此类推可知，，， ∴， 故答案为：． 【题型7 反比例函数中的存在性问题】 【例7】（24-25八年级上·上海奉贤·期末）如图，已知正比例函数经过点，过点作轴，交反比例函数于点（点在点下方），连接得的面积为．    (1)求的值； (2)求反比例函数解析式； (3)在直线上是否存在一点，使得是直角三角形？若有，请求出点的坐标；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）设点B的横坐标为，根据的面积为得到，求出，设反比例函数解析式为，代入点B坐标求解即可； （3）设，根据题意分和两种情况，分别根据题意求解即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数经过点， ∴ ∴； （2）解：∵轴，的面积为 ∴设点B的横坐标为 ∴ ∴ ∴ ∴ 设反比例函数解析式为 将代入得， ∴ ∴反比例函数解析式为； （3）解：∵点C在直线上 ∴设 如图所示，当时，即    ∵轴， ∴轴 ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∴ ∴ 整理得， 解得或（舍去） ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数，反比例函数和几何综合题，待定系数法求解析式，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式7-1】（24-25九年级上·四川成都·期末）一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，过点A作反比例函数图象． (1)求出a，k的值； (2)在x轴上是否存在点D，使得，若存在请直接写出坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）把点代入一次函数解析式，求出的值，进而求出值即可； （2）分点在轴的正半轴和负半轴上，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得：， ∴， ∴； （2）解∶ ①当点在轴的正半轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵ ∴； ②当点在轴的负半轴上时，设交轴与点， ∵， ∴， 设， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∴或． 【变式7-2】（24-25九年级上·山东泰安·期中）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积； （3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； （3）存在，设点， ∵，， ∴， ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 【变式7-3】（24-25九年级上·吉林白山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交点于点与轴交于点，轴交于点． (1)求的值； (2)连接，求的面积； (3)在反比例函数图象上存在一点，若点为坐标轴上的一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； (2)的面积为； (3)点或或． 【分析】（）由直线图象过点，与轴交于点，可求出，，则有点，然后代入即可求解； （）由（）得一次函数解析式为，则点，然后用三角形面积公式即可求解； （）分当点在轴上时和当点在轴上时，两种情况讨论，由平行四边形的对角线互相平分列出等式可求解； 【详解】（1）解：∵直线图象过点，与轴交于点， ∴，， ∴，， ∴点， ∵反比例函数的图象过点， ∴； （2）解：如图， 由（）得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴的面积为； （3）解：当点在轴上时，设点，点， ∵以为顶点的四边形为平行四边形， ∴和是对角线，且互相平分， ∴， ∴， ∴点， ∴， ∴， ∴点， 当点在轴上时，设点，点， 若为对角线， 则，， ∴，， ∴点， 若为对角线， 则，， ∴，， ∴点， 此时点在的延长线上，不合题意舍去， 当为对角线时，同理可求点，点， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法，平行四边形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键. 【题型8 反比例函数中的动点问题】 【例8】（24-25八年级下·四川眉山·期中）已知，矩形OABC在平面直角坐标系内的位置如图所示，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求直线的解析式； (2)已知直线与双曲线在第一象限内有一交点Q为；若动点P从A点出发，沿折线的路径以每秒2个单位长度的速度运动，到达C处停止，求的面积S与点P的运动时间t（秒）的函数关系式并画出函数图象； (3)在（2）的条件下，当时，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)或 【分析】（1）根据矩形的对边相等的性质直接写出点C的坐标，然后利用待定系数法求函数的解析式； （2）分类讨论：当时，，当时，；利用三角形面积公式求出函数解析式，再画出函数图象即可； （3）分类讨论：当时，当时，结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． 设直线的解析式为，将、代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵在直线上， ∴， 又∵双曲线过Q， ∴， ∴， ②当时，， 过Q作，垂足为D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 当时，， 过Q作，垂足为E，如图所示： ∵， ∴， ∴， 综上所述，． 如图， （3）把代入，得，． 把代入，得，． 结合图象可知，当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查矩形的性质，待定系数法求函数解析式，画函数图象，一次函数和反比例函数的交点问题，分类讨论是解题的关键． 【变式8-1】（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图所示，已知，为反比例函数图象上的两点，动点在轴正半轴上运动，当线段与线段之差达到最大时，点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交x轴于点，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，利用待定系数法求得直线的表达式，然后令求解即可． 【详解】解：连接交x轴于点，则，当A、B、共线时取等号，即点P与点重合，此时线段与线段之差达到最大，    ∵，为反比例函数图象上的两点， ∴，，则，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴， 令，由得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、求一次函数解析式，正确得出最大值时点P的位置是解答的关键． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，， ∴轴，轴， ∴点C的坐标为， 当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为， 此时k的取值范围为， 当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为， 此时k的取值范围为， ∴k的取值范围公共部分是， ∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点， ∴和只会被经过一次， ∵，6不在在内， ∴图象L不可能经过两次， ∵，4在内，且不是线段和的端点， ∴图象L经过两次的是， 故选：C 【变式8-3】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，轴于点C，交的图象于点A，轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①与的面积相等；②四边形的面积不会发生变化；③与始终相等；④当点A是的中点时，点B一定是的中点．其中一定正确的是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数的图象等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 由点均在反比例函数的图象上，利用反比例函数系数的几何意义即可得出，即可判断①正确；利用分割图形求面积法即可得出四边形的面积为，即可判断②正确；设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，求出的长度，可得出与的关系无法确定，即可判断③错误；连接，由点是的中点可得，结合，可得，从而可得，即可判断④正确． 【详解】解：∵点均在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴，， ∴，结论①正确； ∵点在反比例函数的图象上，且轴，轴， ∴， ∴， 即四边形的面积不会发生变化，结论②正确； 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ，， 与的关系无法确定，结论③错误； 如图，连接， 点是的中点， ， ，， ，即， ， ∴点一定是的中点，结论④正确； 综上，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$