专题1.1 反比例函数的图象（举一反三讲义）数学湘教版九年级上册

专题1.1 反比例函数的图象（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利用反比例函数定义求参数】 2 【题型2 反比例函数的图象】 4 【题型3 图象共存问题】 7 【题型4 反比例函数的对称性】 10 【题型5 求反比例函数的解析式】 13 【题型6 反比例函数的增减性】 17 【题型7 双曲线分布的象限】 19 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 21 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 26 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 利用反比例函数定义求参数】 【例1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（   ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义可得出关于m的式子，解之即可得出m的值，此题得解． 【详解】∵函数是反比例函数， ∴， 解得m=-2， 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键． 【变式1-1】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据反比例的三种形式判断即可． 【详解】解：反比例的三种形式分别为：，，． ①中的次数是，是一次函数，不是反比例函数； ②，③是反比例函数； ④中分母是，故不是反比例函数； ⑤是反比例函数； ⑥中没有，故不是反比例函数； ⑦分母是，故不是反比例函数； ⑧中的次数是，是一次函数，不是反比例函数． 故有三个是反比例函数． 故选C． 【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式1-2】（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）已知，当 时，是的反比例函数． 【答案】1 【分析】此题考查了反比例函数的定义，形如或 的函数叫做反比例函数．据此得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，在，当，即时， 是的反比例函数． 故答案为：1． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质等知识点，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键． 【题型2 反比例函数的图象】 【例2】（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 【答案】k1＜k2＜k3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点可得k=xy，进而可分析k1、k2、k3的大小关系． 【详解】解：读图可知：反比例函数 y＝的图象在第二象限，故k1＜0； y=，y=在第一象限；且y=的图象距原点较远，故有：k1＜k2＜k3； 故答案为k1＜k2＜k3． 【点睛】本题考查反比例函数y=的图象，反比例函数y=的图象是双曲线，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．且图象距原点越远，k的绝对值越大． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知闭合电路的电压U（单位：V）为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）呈反比例函数关系．下列能反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图像，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据电流I与电阻R之间函数关系可知图像为双曲线，据此即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象是双曲线 ∴图像是第一象限双曲线的一支． 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数点图象上三点A，B，C横坐标分别为-3，-2，-1，若，则k的值为 【答案】 【分析】先求出三个点的坐标，然后利用勾股定理得出，结合题意求解，考虑反比例函数所在象限即可． 【详解】解：当x=-1时，y=k；当x=-2时，y=；当x=-3时，y=； ∴A（-1，k）、B（-2，）、C（-3，） ∴ ∵ ∴ ∴ 解得（负值已舍去） 故答案为：． 【点睛】题目主要考查反比例函数的性质及坐标中两点的距离，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据列表、描点、连线画出的图象，即可解题． 【详解】解：列表： x … 1 2 3 … y … … 描点，连线，画出函数图象如图， 故选：C． 【题型3 图象共存问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【变式3-1】（2025·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号再根据一次函数的性质进行解答． 分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故A错误； B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、二、四象限，故B错误； C 、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故C错误； D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，， ， 一次函数的图象经过一、三、四象限，故D正确． 故选：D． 【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝(a≠0)的图象可能是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据一次函数的图像得a值，根据a值求判断反比例函数图像. 【详解】解：A、由一次函数的图象，得k＜0，与k＝2矛盾，故A不符合题意； B、由一次函数的图象，得k＜0，与k＝2矛盾，故B不符合题意； C、由一次函数的图象，得a＜0，当a＜0时反比例函数的图象位于二四象限，故C不符合题意； D、由一次函数的图象，得a＞0，当a＞0时反比例函数的图象位于一三象限，故D符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数和一次函数，熟练掌握二者的图像是解题的关键. 【变式3-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断.. 【详解】ax-2a=-， 则x-2=-， 整理得，x2-2x+1=0， △=0， ∴一次函数y=ax-2a与反比例函数y=-只有一个公共点， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的图象和性质，函数图象的交点的求法是解题的关键． 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【答案】B 【分析】①由平移变函数关系式的规律“左加右减”，即可判断；②由的图象关于对称，即可判断；③由的图象关于直线对称，即可判断；④画出图象，结合图象，即可求解． 【详解】解：①的图象可以由的图象向左平移3个单位长度得到，结论错误； ② 的图象关于对称，当时，， 的图象关于点对称；结论正确； ③ 的图象关于直线对称，的图象关于直线对称；结论正确； ④如图， 根据图象可知，的解集是；结论错误； 正确的有②③； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，平移的性质，反比例函数图象与几何变换，掌握性质，数形结合是解题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查反比例函数的图象与性质、正比例函数的图象和性质，掌握其性质是解决此题的关键． 已知两函数的图象分别关于坐标原点对称，则点A与点B的坐标关于原点对称． 【详解】解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点A与点B的坐标关于原点对称， ∵点B的坐标为， ∴点A的坐标为． 故选：A． 【变式4-2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握解直角三角形是关键． 作第一象限的角平分线，根据图象对称性得到点、关于直线对称，作轴，垂足为点，可得到，利用解直角三角形得到点坐标，继而求出值． 【详解】解：如图，作第一象限的角平分线，则反比例函数在第一象限分支关于直线对称， ， 点、关于直线对称， ， 作轴，垂足为点， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 【变式4-3】（2025·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【答案】10 【分析】本题为反比例函数与正比例函数的综合．根据反比例函数上点的坐标特征推出与与的关系，直线与双曲线交点的特征推出与与的关系是解答本题的关键． 先根据点是双曲线上的点可得出，再根据直线与双曲线交于点两点可得，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵点是双曲线上的点， ， ∵直线与双曲线交于点两点， 即两点关于原点对称． ， ， 故答案为：10． 【题型5 求反比例函数的解析式】 【例5】（24-25八年级·山东烟台·期末）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的平移、反比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．先求出点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点的坐标，然后根据平移后的点仍在这个反比例函数图象上，得出，求出m的值，再求出k的值即可． 【详解】解：把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位后的点的坐标为， ∵点A和点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：6． 【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据题意，运用待定系数法得到反比例函数解析式，再将选项代入计算即可判定． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式， ∴A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D ． 【变式5-2】（2025·安徽宿州·二模）反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式；把点A，B的坐标分别代入反比例函数式中求得k与a的值，再把A，B两点的坐标代入一次函数解析式中，求得m，n的值，即可求得结果． 【详解】解：把点A的坐标代入中，得，即， ∴； 把点B的坐标代入中，得，即， ∴； 把点A，B的坐标分别代入中，得， 解得：， ∴； 故选：D． 【变式5-3】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，将直线沿轴向上平移得到直线，与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，，当的面积为12，直接写出直线向上平移的距离． 【答案】(1)，； (2)； (3)直线向上平移的距离为． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数的平移问题，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）设直线沿轴向上平移个单位长度，可求出，如图所示，连接，由平移的性质可得，则，根据三角形面积计算公式得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入中，得， ∴， 在的图象上， ， ， 将点代入，， 解得， ． （2）解：由函数图象可知，当时，． （3）解：在中，令，则， ． 设直线沿轴向上平移个单位长度， 直线的解析式为， 在中，当时， 点坐标为， ∴， 如图所示，连接， 由平移的性质可得， ∴， ∴，即， ∴， 故直线向上平移的距离为． 【题型6 反比例函数的增减性】 【例6】（24-25八年级下·河南开封·期中）若函数的图象在其每一个分支中的值随值的增大而增大，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据k＜0，反比例函数的函数值y在每一个分支中随x值的增大而增大列出不等式计算即可得解． 【详解】解：∵在其每一个分支中的值随值的增大而增大， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y= ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 【变式6-1】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质，由题意得出，从而推出，最后由反比例函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数过第二象限， ∴， ∴， ∴则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而减小， 故答案为：减小． 【变式6-2】（2025·广东深圳·二模）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，求反比例函数解析式和反比例函数的函数值，根据题意可得反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，再由当时，y的最大值是，可得当时，，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是， ∴反比例函数的图象经过第三象限， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴当时，y的最小值为， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【详解】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 【题型7 双曲线分布的象限】 【例7】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质、描点法等知识点，掌握相关知识是解答本题的关键． 根据题意得到，那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，即可判断A、B，再结合反比例函数性质得到经过的象限即可判断C、D． 【详解】解：，， 即， 那么函数在时，y的值随x的增大而减小，时，y的值随x的增大而减小，故A、B选项错误，不符合题意； 图像不经过第二象限，经过第四象限， 故C正确，符合题意；D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式7-1】（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．当时，函数图象位于第一、三象限；时函数图象位于第二、四象限． 先求得点关于轴对称的点的坐标，然后根据题意求得𝑘的值，进而即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点为， 把代入中，可得，解得， ∴这个函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A． 【变式7-2】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得到求解，即可解题． 【详解】解： 反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 故选：D． 【变式7-3】（2025·浙江丽水·二模）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据反比例函数图象上点的坐标特征研究反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：A、∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，， ∴点A、B在第一象限， ∴， ∴解不等式组得，故A错误，不符合题意； B、∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限，，， ∴点A、B在第三象限， ∴， ∴解不等式组得，故B错误，不符合题意； C、∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，，， ∴点均在第四象限， ∴， 解得：，故C错误，不符合题意； D、∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限，，， ∴点在第二象限，点在第四象限， ∴， 解得，故D正确，符合题意， 故选：D． 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图中给出的直线和反比例函数的图像，判断下列结论正确的个数有（  ） ①；②直线 与坐标轴围成的△ABO的面积是4； ③方程组的解为， ；④当－6＜x＜2时，有＞ . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①利用待定系数法分别求出直线和反比例函数的解析式，从而可知的大小关系； ②根据直线的解析式，首先求出A与B的坐标，然后由三角形的面积公式可求出△ABO的面积； ③观察直线和反比例函数的图象的交点坐标，即可判定方程组的解是否正确； ④观察直线位于反比例函数的图象上方的部分对应的x的取值，即可判断是否正确． 【详解】①由题意得： 解得： 即；故①正确． ②关于 交于 轴分别为 ,则直线 与坐标轴围成的△ABO的面积是4；故②正确． ③由图可知：方程组的解为， ；故③正确． ④＞ 时， 或 ，故④错误． 综上：正确的个数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式，求三角形的面积，函数图象与方程组的解的关系，解题关键是运用数形结合的思想． 【变式8-1】（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点，一次函数图象的平移，反比例函数的对称轴确定交点，再得到方程的解，理解图示，掌握一次函数的平移，反比例函数关于原点对称是关键． 根据一次函数与反比例函数交点确定方程的解即可． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和， ∴点的横坐标为， ∵是一次函数向下平移了个单位，根据反比例函数关于原点对称可得，一次函数与反比例函数在第三象限的交点为， ∴关于方程的解是， 故选：D ． 【变式8-2】（2025·江苏常州·二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点． (1)求m及k的值； (2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； (3)直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数和反比例函数即可求； （2）根据点B与点A关于二四象限角平分线对称写出即可； （3）观察函数图象根据其性质直接写出即可． 【详解】（1）将点A（2,1）的坐标分别代入一次函数与反比例函数， 可得，，， 解得：，； （2）∵两点关于直线对称， ∴点的坐标为； （3）由得 ， 即反比例函数的函数值大于一次函数的函数值， 由图像可知：或． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及了点关于对称的知识，注意数形结合在解题中的应用． 【变式8-3】（2025·河南周口·二模）根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值： x … … 0 1 2 4 … y … … 2 a … (1)_________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中，己画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象； (3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________； (4)直接写出方程的解． 【答案】(1)1； (2)见解析； (3)或（或者写亦可）； (4)或． 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，画函数图象，利用数形结合的思想是解题关键． （1）把代入解析式即可求出值， （2）根据列表描点连线即可， （3）观察图象即可得出结论， （4）根据图象可知，方程的解即与的交点横坐标． 【详解】（1）解：当时，代入得： ， 故答案为1； （2）解：如图， （3）观察图象可知：当或，当y随x的增大而减小时， （4）解：∵，可化为， 方程的解即与的交点横坐标． 由图可知：方程的解为或． 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 【例9】（2025·四川南充·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，以及根据交点情况求不等式解集，利用了数形结合的数学思想．先求得点B的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】解：直线与双曲线相交于，两点， ， ， ， 关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 【变式9-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是掌握相关知识．先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为，然后利用函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：点的坐标为， 反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点， 关于的不等式 的解集为或， 故答案为：或． 【变式9-2】（2025·山东青岛·模拟预测）一次函数与反比例函数中，若与的部分对应值如表： 1 2 3 5 4 3 1 0 1 3 则关于的不等式的解集是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．先根据与的部分对应值求得反比例函数的解析式，再求另一个交点坐标，即可得出关于的不等式的解集． 【详解】 解：由表可知，一个交点坐标为， 反比例函数的解析式为， 另一个交点为， 故关于的不等式的解集是或． 故选：D． 【变式9-3】（2025·山东泰安·二模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； (2)如图2，点E为一次函数的图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；同时考查函数的增减性，从而来解不等式． （1）①利用待定系数法即可求得； ②通过观察图象即可求得． （2）设E点坐标为，由题意得，，根据求出即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：①点，点在反比例函数上， ， ， 反比例函数的关系式为： 将点，代入 得，解得， 一次函数的关系式为：； ②由图象得，关于x的不等式的取值范围为或； （2）解：设E点坐标为， 由题意知：，， ， ， ∴，    当时，，； 当时，，； 因此， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 反比例函数的图象（举一反三讲义） 【湘教版】 【题型1 利用反比例函数定义求参数】 2 【题型2 反比例函数的图象】 3 【题型3 图象共存问题】 4 【题型4 反比例函数的对称性】 6 【题型5 求反比例函数的解析式】 7 【题型6 反比例函数的增减性】 7 【题型7 双曲线分布的象限】 8 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 8 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 10 知识点1 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点2 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点3 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型1 利用反比例函数定义求参数】 【例1】（24-25八年级下·江苏连云港·阶段练习）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（   ） A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数 【变式1-1】（24-25九年级上·山东东营·阶段练习）下列函数：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧．其中是的反比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）已知，当 时，是的反比例函数． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）若反比例函数的图像经过第二、四象限，则 ． 【题型2 反比例函数的图象】 【例2】（24-25九年级上·广东汕尾·阶段练习）如图所示是三个反比例函数、、的图象，由此观察得到、、的大小关系是 （用“＜”连接）． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北保定·期末）已知闭合电路的电压U（单位：V）为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）呈反比例函数关系．下列能反映电流I与电阻R之间函数关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，反比例函数点图象上三点A，B，C横坐标分别为-3，-2，-1，若，则k的值为 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）函数的图象为（　　） A． B． C． D． 【题型3 图象共存问题】 【例3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式3-1】（2025·广东清远·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在同一平面直角坐标系中，函数y＝2x﹣a与y＝(a≠0)的图象可能是(   ) A．   B．   C．   D．   【变式3-3】（24-25九年级上·湖南邵阳·阶段练习）如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4 反比例函数的对称性】 【例4】（24-25九年级上·湖南永州·期末）我们知道函数的图象可以由反比例函数的图象左右平移得到，下列关于的图象的性质： ①的图象可以由的图象向右平移3个单位长度得到； ②的图象关于点对称； ③的图象关于直线对称； ④若，根据图象可知，的解集是． 其中正确的是（   ） A．①② B．②③ C．②④ D．①②④ 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若点B的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，是反比例函数的图象上的两点，若是等腰三角形，且，，则的值是 ． 【变式4-3】（2025·北京·模拟预测）直线与双曲线交于两点（A在第二象限），则的值为 ． 【题型5 求反比例函数的解析式】 【例5】（24-25八年级·山东烟台·期末）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则 ． 【变式5-1】（2025·云南楚雄·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·安徽宿州·二模）反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式5-3】（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于，两点，将直线沿轴向上平移得到直线，与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，，当的面积为12，直接写出直线向上平移的距离． 【题型6 反比例函数的增减性】 【例6】（24-25八年级下·河南开封·期中）若函数的图象在其每一个分支中的值随值的增大而增大，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·江苏南京·阶段练习）若正比例函数过第二象限，则反比例函数的图象在每个象限，随x的增大而 （选填“增大”或“减小”） 【变式6-2】（2025·广东深圳·二模）已知反比例函数（m为常数且），当时，y的最大值是，则当时，y的最小值为 ． 【变式6-3】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【题型7 双曲线分布的象限】 【例7】（2025·上海奉贤·二模）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的常用方法，那么函数具有的性质是（   ） A．时，y的值随x的增大而减小 B．时，y的值随x的增大而增大 C．图像不经过第二象限 D．图像不经过第四象限 【变式7-1】（2025·云南楚雄·三模）若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【变式7-2】（24-25九年级上·甘肃定西·期末）若反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·浙江丽水·二模）已知点与点都在反比例函数的图像上，则下列说法中一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型8 利用图象求方程（组）的解】 【例8】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）图中给出的直线和反比例函数的图像，判断下列结论正确的个数有（  ） ①；②直线 与坐标轴围成的△ABO的面积是4； ③方程组的解为， ；④当－6＜x＜2时，有＞ . A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式8-1】（2025·广西钦州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和．则关于方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式8-2】（2025·江苏常州·二模）如图，直线与双曲线相交于、B两点． (1)求m及k的值； (2)不解关于x、y的方程组直接写出点B的坐标； (3)直接写出 的取值范围． 【变式8-3】（2025·河南周口·二模）根据学习函数的经验，对函数的图象性质进行探究．下表列出了y与x的几组对应值： x … … 0 1 2 4 … y … … 2 a … (1)_________； (2)在下图所示的平面直角坐标系中，己画出该函数的部分图象，请画出另一部分图象； (3)观察图象，当y随x的增大而减小时，x的取值范围是_________； (4)直接写出方程的解． 【题型9 利用图象求不等式（组）的解】 【例9】（2025·四川南充·二模）如图，直线与双曲线相交于，两点，则关于x的不等式的解集为 ．    【变式9-1】（2025·湖南·模拟预测）如图，，是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点，已知点的坐标为，则关于的不等式 的解集为 ． 【变式9-2】（2025·山东青岛·模拟预测）一次函数与反比例函数中，若与的部分对应值如表： 1 2 3 5 4 3 1 0 1 3 则关于的不等式的解集是（    ）． A． B． C． D．或 【变式9-3】（2025·山东泰安·二模）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与x轴、y轴相交于点C、D． (1)①求反比例函数和一次函数的表达式； ②直接写出关于x的不等式的取值范围； (2)如图2，点E为一次函数的图象上一点，过点E作反比例函数，连接，若面积为S，当时，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$