第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系 【人教A版2019】 模块一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设平面的一个法向量为，由法向量的求法可得满足的关系式，即可判断． 【解答过程】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】利用法向量的定义、求法进行计算即可. 【解答过程】显然与不平行，设该平面的一个法向量为， 则有，即， 令，得，所以，故A,B错误，C正确； 令，得，则此时法向量为，故D错误. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【解题思路】令，求出，设出平面的一个法向量，利用空间向量数量积的运算律列式求解. 【解答过程】在平行六面体， 令，则， 设平面的法向量，而， 则，整理得，令，得， 所以平面的一个法向量为. 故选：A. 【变式1.3】（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据法向量的求解方法求解即可. 【解答过程】由题意，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有，令，得，， . 故选：A. 模块二 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】求出，再利用，解得得到关于的方程，求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 由已知，， 所以，即，解得， 所以. 故选：D. 【变式2.1】（24-25高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【解题思路】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【解答过程】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B. 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【解题思路】建立空间直角坐标系，由向量共线坐标运算即可求证. 【解答过程】如图所示，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，，，则得下列各点的坐标： ，，，，，. 由即，可得：， 由，即，可得：． ，，． 又与不共线，． 【变式2.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【解题思路】利用空间直角坐标系，由正四棱柱的各棱长分别表示出向量与，根据向量共线定理即可证明. 【解答过程】根据正四棱柱性质可知，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以， 可得，即向量与共线， 又不在同一条直线上， 所以. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】确定两个向量是否垂直即可． 【解答过程】选项A，； 选项B，； 选项C，； 选项D，，D可能满足直线与平面平行． 故选：D． 【变式3.1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【解题思路】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【解答过程】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 【变式3.2】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【解答过程】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 【变式3.3】（2025高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，从而证得，进而得证. 【解答过程】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系， 则 ∵分别是的中点 ∴ 则 显然平面的一个法向量为， 所以，则， 又面 ，所以平面. 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【解题思路】利用两个平面平行，可以得到两个平面的法向量也平行，再利用向量共线定理即可求得的值. 【解答过程】设平面的法向量为，平面的法向量为， ，， 设，即，，. 故选：C. 【变式4.1】（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）平面的法向量为，平面的法向量为，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【解题思路】根据，由两个平面的法向量平行列式得解. 【解答过程】因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，解得. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【解题思路】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【解答过程】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【变式4.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 模块三 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【解答过程】在正方体中，建立空间直角坐标系，令棱长为2，体对角线的端点为， 对于A，，直线的方向向量，    ，显然，直线与不垂直，A不是； 对于B，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，B不是； 对于C，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，，C是； 对于D，由选项A知，直线的方向向量，，    则,显然，直线与不垂直，D不是. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解答过程】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 【变式5.2】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，. (1)求证：； (2)求线段AO的长度. 【解题思路】（1）利用空间向量数量积计算得证. （2）利用空间向量基本定理，得到，再利用数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）在三棱柱中，由，，， 得， 则，因此， 所以. （2）三棱柱中，由，得是的中点，由，得， ， 则， . 所以线段的长度为. 【变式5.3】（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【解题思路】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长； （2）由（1）求，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【解答过程】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）由（1）可得：， 因为， 所以. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【解题思路】判断的关系，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【解答过程】由向量，，得，即， 所以. 故选：A. 【变式6.1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，根据共线的坐标运算列式探索满足的条件. 【解答过程】由题意：，所以 . 故选：B. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【解题思路】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【解答过程】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 【变式6.3】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【解题思路】，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，法一：由，得，又由，由线面垂直的判定证明平面；法二：设，由得，结合，求得坐标，从而得到平面的法向量，由得平面． 【解答过程】因为平面，平面，所以， 又因为底面是正方形，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，    设， 则，，，，． 所以，，． 法一：因为，所以，所以， 又因为，，平面， 所以平面． 法二：设，则，． 因为，所以， 即．① 又因为，可设，所以，，．② 由①②可知，，，，所以． 设为平面的法向量， 则有，即，所以，取，则． 所以，所以平面． 【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【解题思路】两平面垂直等价于两平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为0可得结果. 【解答过程】∵，∴， ∴，解得. 故选：B. 【变式7.1】（24-25高二·全国·课后作业）若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【解题思路】先判断法向量的位置关系，进而判断两平面的位置关系. 【解答过程】∵，则， ∴，故. 故选：B. 【变式7.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【解题思路】以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设平面与平面的法向量分别为，求出，可得，即可证明. 【解答过程】如图，以C为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，即，令， 可得平面的一个法向量． 因为， 所以， 所以平面平面． 【变式7.3】（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【解题思路】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【解答过程】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 【例8】（2025·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【解题思路】建立空间直角坐标系，结合线面平行的判定定理，线面垂直，面面垂直的判定定理，逐项判定计算即可． 【解答过程】因为为正方体，设正方体边长为2， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理解得平面的法向量， ，故A不正确； ，故B不正确； ， ，所以， 又，所以平面，C正确； 平面的一个法向量为， ，故D不正确； 故选：C. 【变式8.1】（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【解题思路】以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可. 【解答过程】    以为正交基底建立空间直角坐标系，设， 则. 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 取，则， 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，错误； 因为，所以与不平行，所以与平面不垂直，B错误； 因为，且线在面外，所以 平面，C正确； 因为，所以与平面不平行，D错误. 故选：C. 【变式8.2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【解答过程】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 【变式8.3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【解题思路】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【解答过程】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【解答过程】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A. 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用方向向量的定义判断得解. 【解答过程】由，得， 所以直线的一个方向向量的坐标为. 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【解答过程】，故， 故，解得. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 【解题思路】由 ，得到，求解即可； 【解答过程】由，得，即，解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【解题思路】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【解答过程】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①；②；③；④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．错误的结论是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 【解题思路】建立适当空间直角坐标系后，可得各点坐标及相应直线的方向向量及平面的法向量，借助空间向量逐项计算即可得. 【解答过程】建立以为坐标原点，以，，所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系， 设等腰直角三角形斜边，则，，， 则，，，， 对①：，故①正确； 对②：，故，故②正确； 对③：，故，故③正确； 对④：轴平面，则平面的一个法向量可为， 设平面的法向量设为， 由有，令，则，，故， 则，故④错误．      故选：D. 7．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 【解题思路】对于ABD：建系，利用空间向量结合线、面位置关系分析判断，对于C：根据面面平行的判定定理分析判断. 【解答过程】以D为原点，分别为建立空间直角坐标系，如图：    设，则，则， 因为点分别是的中点， 所以， 对于选项B：设平面的一个法向量为， 因为， 可得，取，解得， 设， 因为，则，可得，即， 则， 若∥平面，则， 可得，且，解得， 即为的中点，故B正确； 对于选项A：由B可知：， 若平面，则， 则，当且仅当时成立，故A错误； 对于选项D：由B可知：，则， 因为，则 ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 若平面平面，则，故D正确； 对于选项C：  当与D重合时， 因为分别是的中点， 则，且平面，平面， 可得平面， 同理可得：平面， 且，平面， 所以此时平面平面，故C正确；    故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】分析可知，平面的法向量与共线，逐项判断即可. 【解答过程】因为平面与平面平行，且是平面的一个法向量， 则平面的法向量与平行，因为，， 向量、与向量不共线，所以，AD选项中的向量可以作为平面的法向量. 故选：AD. 10．（24-25高二上·吉林白城·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 【解题思路】由直线方向向量的平行判断直线平行，由直线的方向向量与平面的法向量的平行与垂直判断直线与平面的平行与垂直，由两平面的法向量的垂直判断两平面垂直． 【解答过程】对于A，由，得，所以，所以，故A正确； 对于B，假设，则存在唯一得实数λ，使得，即，所以无解，所以不共线，所以l，α不垂直，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以不垂直，所以l，α不平行，故D错误． 故选：AC． 11．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（   ） A．不存在λ的值，使得直线平面； B．当时，直线平面； C．当时，平面平面； D．当时，平面平面； 【解题思路】建立如图所示空间直角坐标系，求出的坐标即可得到A错误；B正确；分别求出平面的法向量和平面的一个法向量，由两法向量的数量积为零解出即可得到C、D正确； 【解答过程】以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 由已知得， 则， 对于A、B，当时，， 因为，所以， 即，又与无公共点，所以，故A错误；B正确； 对于C、D，而平面，且平面，故直线平面. 假设存在符合题意的λ， 设平面的法向量为， 则由，可得 于是可取， 同理设平面的一个法向量为， 则，可得， 可得平面的一个法向量为， 则， 即，解得. 故存在，使平面平面； 故选：BCD. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 （答案不唯一） ． 【解题思路】求出，由，求解即可． 【解答过程】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则， 故答案为：（答案不唯一）. 13．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【解题思路】利用向量平行的坐标表示即可求解． 【解答过程】根据题意，若，则，又，， 所以，解得，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 【解题思路】据题意，建立空间直角坐标系，然后根据题意写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据，即可求解. 【解答过程】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，， 设，则，， 因为，所以， 即，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 【解题思路】以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即为直线的一个方向向量，表示即可求出平面的一个法向量. 【解答过程】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，即直线的一个方向向量为. 设平面的法向量为. 因为，所以. 由得，所以. 令，则. 所以平面的一个法向量为. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【解题思路】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【解答过程】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 18．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【解题思路】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【解答过程】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 19．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【解答过程】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间向量的应用（一）：用空间向量研究直线、平面的位置关系 【人教A版2019】 模块一 空间中点、直线和平面的向量表示 1．空间中点、直线和平面的向量表示 (1)空间中点的位置向量：如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量． (2)空间中直线的向量表示式：直线l的方向向量为 ，且过点A.如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t①，把＝代入①式得＝＋t②， ①式和②式都称为空间直线的向量表示式． (3)平面的法向量定义： 直线l⊥α，取直线l的方向向量 ，我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合. 【注】一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 【题型1 求平面的法向量】 【例1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（　　） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二上·安徽芜湖·期中）已知平行六面体.设，则平面的一个法向量为（   ）    A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二上·陕西铜川·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，以D为原点，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（    ） A． B． C． D． 模块二 用空间向量研究直线、平面的平行关系 1．空间中直线、平面的平行 (1)线线平行的向量表示：设分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔⇔∃λ∈R，使得. (2)线面平行的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔⊥⇔·＝0. (3)面面平行的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔⇔∃λ∈R，使得. 2．利用向量证明线线平行的思路： 证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可． 3．证明线面平行问题的方法： (1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内； (2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内； (3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内． 4．证明面面平行问题的方法： (1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行． (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明． 【题型2 利用空间向量证明线线平行】 【例2】（24-25高二上·吉林松原·阶段练习）已知，若直线的方向向量与直线的方向向量平行，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2.1】（24-25高二上·河南·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直 【变式2.2】（24-25高二上·全国·课后作业）长方体中，，分别是面对角线，上的点，且，．求证：． 【变式2.3】（2025高二·全国·专题练习）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． 证明：. 【题型3 利用空间向量证明线面平行】 【例3】（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式3.1】（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（   ） A． B．5 C． D．1 【变式3.2】（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【变式3.3】（2025高二上·全国·专题练习）如图，在长方体中，分别是的中点，分别是的中点，．求证：平面； 【题型4 利用空间向量证明面面平行】 【例4】（24-25高二上·吉林·期中）设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（    ） A．2 B．-4 C．4 D．-2 【变式4.1】（24-25高二上·重庆黔江·阶段练习）平面的法向量为，平面的法向量为，，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【变式4.2】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【变式4.3】（24-25高二·全国·课后作业）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 模块三 用空间向量研究直线、平面的垂直关系 1．空间中直线、平面的垂直 (1)线线垂直的向量表示：设 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则l1⊥l2⇔⇔. (2)线面垂直的向量表示：设是直线 l 的方向向量，是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔∥⇔∃λ∈R，使得＝λ. (3)面面垂直的向量表示：设分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔⇔. 2．证明两直线垂直的基本步骤： 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直． 3．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤： (1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直． (2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行． 4．证明面面垂直的两种方法： (1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明． (2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直． 【题型5 利用空间向量证明线线垂直】 【例5】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）如图，在下列各正方体中，为正方体的一条体对角线，、分别为所在棱的中点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式5.1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【变式5.2】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，. (1)求证：； (2)求线段AO的长度. 【变式5.3】（24-25高二上·北京·期中）直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【题型6 利用空间向量证明线面垂直】 【例6】（24-25高二上·山东淄博·阶段练习）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【变式6.1】（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若平面，则（   ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【变式6.3】（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，为的中点，于点．求证：平面．    【题型7 利用空间向量证明面面垂直】 【例7】（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，分别是平面，的法向量，且，则t的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式7.1】（24-25高二·全国·课后作业）若平面的法向量分别为，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【变式7.2】（24-25高二下·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，分别为棱的中点．证明：平面平面． 【变式7.3】（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【题型8 平行、垂直综合的向量证明】 【例8】（2025·山东菏泽·二模）如图，在正方体中，，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面内存在与平行的直线 【变式8.1】（24-25高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，分别为的中点，则（    ）    A．平面 B．平面 C．∥平面 D．∥平面 【变式8.2】（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【变式8.3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西景德镇·期末）若在直线上，则直线的一个方向向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期末）已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（24-25高二上·广东潮州·期末）是直线的方向向量，是平面的法向量，若 ，则（    ） A． B． C． D．15 5．（24-25高二上·福建泉州·期末）已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 6．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，以等腰直角三角形斜边上的高为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论：①；②；③；④平面的法向量和平面的法向量互相垂直．错误的结论是（    ）    A．① B．② C．③ D．④ 7．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 8．（24-25高二上·福建泉州·期末）如图，在正四棱柱中，，点分别是的中点，点是线段上的动点，则下列说法错误的是（    ）    A．当时，存在，使得平面 B．存在，使得平面 C．存在，使得平面平面 D．存在，使得平面平面 二、多选题 9．（24-25高二上·广东东莞·期中）已知平面与平面平行，若是平面的一个法向量，则平面的法向量可能为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·吉林白城·期末）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（   ） A．两条不重合直线的方向向量分别是，则 B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则 D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则 11．（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别是棱的中点，点P，Q分别在棱上移动，且. 则（   ） A．不存在λ的值，使得直线平面； B．当时，直线平面； C．当时，平面平面； D．当时，平面平面； 三、填空题 12．（24-25高二上·四川凉山·期末）平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 13．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 14．（24-25高二上·全国·课后作业）在四棱锥中，底面为的中点，为上一点，当时， . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点，，，，试求直线的一个方向向量和平面的一个法向量. 16．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 17．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 18．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 19．（24-25高二上·贵州·期中）如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$