第08讲 三角形全等的判定（5个知识点+8个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第08讲 三角形全等的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【题型1 利用SSS证明三角形全等】 【例1】如图，是上一点，．求证：．    【变式1-1】如图，已知在同一条直线上，，，． 求证：． 【变式1-2】如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【变式1-3】如图，在线段上有两点E，F，在线段的异侧有两点A，D，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【题型2 利用SAS证明三角形全等】 【例2】如图，在和中，，，延长相交于点F，且．求证：． 【变式2-1】如图，，，，，，连接，点恰好在上，求的度数． 【变式2-2】如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【变式2-3】如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 【题型3 利用ASA证明三角形全等】 【例3】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【变式3-1】如图，已知，，求证：． 【变式3-2】如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 【变式3-3】如图，已在与中，，，，，求证：． 【题型4 利用AAS证明三角形全等】 【例4】如图，在四边形中，，，，．求证：． 【变式4-1】如图，点在射线上，．点在射线上，，． (1)求证：． (2)试判断线段的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】如图，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长． 【变式4-3】如图， 在四边形中， ，，垂足为，的延长线交于点， ． (1)请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)连接，交于点 ，若，求 的度数． 【题型5 利用HL证明三角形全等】 【例5】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【变式5-1】如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【变式5-2】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 【变式5-3】如图，在中，，，D是上一点，E在的延长线上，且，的延长线与交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你的猜想．    【题型6 添加条件使三角形全等】 【例6】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【变式6-1】如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 【变式6-2】如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 【变式6-3】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【题型7 两次证明全等】 【例7】如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 【变式7-1】如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：．    【变式7-2】如图，于E，于F，、相交于点D，且．求证：． 【变式7-3】如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【题型8 全等三角形的实际应用】 【例8】如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）       A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的C处接住他后用力一推，爸爸在B处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，，，，，，则 7．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 8．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 9．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 10．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 11．如图，在中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且 ．求证：． 12．如图，点E在的边上，点D、F分别在、的延长线上，连接、，，，求证：． 13．已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 14．如图，是的中线，，于，于．求证：． 15．如图，在中，，分别是，两条边上的高，点D在上满足，点在的延长线上满足，连接，． (1)求证：； (2)若连接，请判断的形状，并直接写出结论． 16．如图，在中，高，交于点F，且， (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的长． 17．如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 18．如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 三角形全等的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：8大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 判定两个三角形全等的基本事实（边边边）】 1.三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，AC=A′C′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点2 判定两个三角形全等的基本事实（边角边）】 1.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点3 判定两个三角形全等的基本事实（角边角）】 1.两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠B=∠B′，BC=B′C′，∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点4 判定两个三角形全等的基本事实（角角边）】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）． 2.数学语言表达：如图所示，∠A=∠A′，∠B=∠B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【知识点5 直角三角形全等的判定（斜边、直角边）】 1.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 2.数学语言表达：如图所示，AB=A′B′，BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′. 【题型1 利用SSS证明三角形全等】 【例1】如图，是上一点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】由已知可得，由可证明． 【详解】证明：， ， 即． 在中， ， ． 【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定()这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握． 【变式1-1】如图，已知在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据三角形全等的判定定理，即可得到结论． 【详解】∵， ∴AE+EF=CF+EF，即：AF=CE， 在与中， ∵， ∴（SSS） 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定定理，掌握SSS判定三角形全等，是解题的关键． 【变式1-2】如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，判断与的数量关系并加以说明． 【答案】，见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，连接，先证，得到，结合角平分线性质求解即可得到证明； 【详解】证明：，证明： 连接， 在与中， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】如图，在线段上有两点E，F，在线段的异侧有两点A，D，且满足，，，连接．    (1)求证：； (2)若，，平分时，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解答 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理． （1）利用即可证明； （2）根据三角形内角和定理即可解决问题． 解决本题的关键是得到． 【详解】（1）证明， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， 平分， ， ． 【题型2 利用SAS证明三角形全等】 【例2】如图，在和中，，，延长相交于点F，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【变式2-1】如图，，，，，，连接，点恰好在上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和三角形外角性质，证明，利用全等三角形的性质和三角形外角性质计算即可． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2-2】如图，已知在中，，，在中，，，连接，，延长交于点F．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．先证出，再利用定理即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式2-3】如图，在中，，垂足分别为，点在的延长线上，点在线段，且，连接．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键． （1）由余角的性质得到，根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）根据全等三角形的性质得：，根据余角的性质得到，进而得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明： 、 ， ， ， 在和中 ； （2）由（1）得， ，， , , , 即， 又 ， 是等腰直角三角形， ． 【题型3 利用ASA证明三角形全等】 【例3】如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，已知，，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 首先利用以及对顶角相等，利用三角形内角和得出．然后通过，在等式两边同时加上，从而得出，最后利用判定． 【详解】证明：∵，， ∴． 又∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴． 【变式3-2】如图，在四边形中，，连接，点E在上，，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用互补的性质可得，据此证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，已在与中，，，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题中条件证明出三角形全等是解题的关键．根据，，，从而得出，，结合，即可得出，进而可以解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【题型4 利用AAS证明三角形全等】 【例4】如图，在四边形中，，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据线段之间和差关系，角度之间和差关系证得，，利用即可证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】证明：∵，， 则， ∴， ∵， 则， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，点在射线上，．点在射线上，，． (1)求证：． (2)试判断线段的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中 ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【变式4-2】如图，，，，，垂足分别为D，E，，．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，根据条件可以得出，利用得出，就可以得出，就可以求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式4-3】如图， 在四边形中， ，，垂足为，的延长线交于点， ． (1)请你在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)连接，交于点 ，若，求 的度数． 【答案】(1)，理由解析； (2)． 【分析】（）根据同角的余角相等得出，再由全等三角形的判定方法证全等即可； （）由第一问全等可得是等腰直角三角形，推出，再用三角形内角和即可求解； 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，同角的余角相等，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）由（）知，理由如下, ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型5 利用HL证明三角形全等】 【例5】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ， ． 【变式5-1】如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 【变式5-2】如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，E，F为垂足，且； 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余，证明是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应角相等可得结论； （2）根据直角三角形的两个锐角互余证明即可得结论． 【详解】（1）证明：∵于E点，于F点 ∴在与中 ∴ ∴； （2）证明：在直角三角形中， ∴ ∴ ∵E、C，F三点共线 ∴ ∴． 【变式5-3】如图，在中，，，D是上一点，E在的延长线上，且，的延长线与交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索与有何特殊的位置关系，并证明你的猜想．    【答案】，证明见详解 【分析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和．先由，得，结合，，则证明，故，结合三角形内角和以及对顶角相等，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ 即 故 【题型6 添加条件使三角形全等】 【例6】如图，在中，、两点分别在、边上，且，现增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是下列中的 ． ①；②；③；④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判断．关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根据全等三角形的判定方法结合添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合题意； ②由，推出，而，可得，结合，由判定，故②符合题意； ③如图，记交点为， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴由判定，故③符合题意； ④增加添加，不能判定，故④不符合题意． 增加一个条件，使得一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 【变式6-1】如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故答案为：①③④． 【变式6-2】如图，在和中，为公共边，且，O为、的交点．要证明，需补充一个条件，在给出的以下四个条件中：①；②；③；④，能作为添加条件的是 ．（填写序号） 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握判定三角形全等的方法．根据全等三角形的判定与性质逐一进行判断即可． 【详解】解： ， 在和中 ，故正确； ， ． 在和中 ，故正确； 在和中 ． ． 在和中 ，故正确； 在和中， ． ． 在和中 ，故正确； 能作为添加条件的是． 故答案为：． 【变式6-3】如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 【题型7 两次证明全等】 【例7】如图所示，已知，，，交于点，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键 证明，则．证明，可得 ． 【详解】解：在和中， ∵， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴． 【变式7-1】如图，在五边形中，，，，点D是上一点，连接、，有，求证：．    【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 连接，首先证明出，得到，然后证明出，得到． 【详解】解：连接，      在和中， 有 ∴， ∴． 在和中， 有 ∴， ∴． 【变式7-2】如图，于E，于F，、相交于点D，且．求证：． 【答案】证明见解答 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，证明，推导出，进而证明是解题的关键．由于E，于F，得，而，，可根据“AAS”证明≌，得，则，再根据“”证明，则． 【详解】证明：于E，于F，、相交于点D， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 【变式7-3】如图，在中，，于点D，，且，过C作． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键； （1）证明，即可得到结论； （2）先证明，再证明即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型8 全等三角形的实际应用】 【例8】如图，为了测量水池两边A，B间的距离，可以先过点A作射线，再过点B作于点D，在延长线上截取，连接，则的长就是A，B间的距离，以此来判断的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据，，，利用判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：B． 【变式8-1】要测量A，B间的距离（无法直接测出），两位同学提供了测量方案： 方案Ⅰ：①如图1，选定点O；②连接，并延长到点C，使，连接图1：，并延长到点D，使；③连接，测量的长度即可． 方案Ⅱ：①如图2，选定点O；②连接，，并分别延长到点F，E，使，；③连接，测量的长度即可． 对于方案Ⅰ、Ⅱ，下列说法正确的是（　　）       A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行 C．Ⅰ、Ⅱ都不可行 D．Ⅰ、Ⅱ都可行 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：方案Ⅰ：在与中， ， ∴， ∴； 方案Ⅱ：在与中， ， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8-2】小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标1、2、3、4），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带第 块去，这利用了三角形全等中的 原理． 【答案】 4 ASA 【分析】根据全等三角形的判断方法解答． 【详解】解：由图可知，带第4块去，符合“角边角”，可以配一块与原来大小一样的三角形玻璃． 故答案为：4；ASA 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，是基础题，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 【变式8-3】小明与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的C处接住他后用力一推，爸爸在B处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？ 【答案】(1)全等，理由见解析 (2)爸爸是在距离地面的地方接住小明的 【分析】（1）由题意可知，，，即得出，从而可利用“”证明； （2）由全等的性质可得出，，从而可求出，进而即可求出． 【详解】（1）与全等． 证明：由题意可知，． ∵， ∴． ∴． 在和中，， ∴； （2）∵， ∴，． ∵分别为和， ∴． ∵， ∴． 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小明的． 1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．如图，已知，，，以下结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握全等三角形的判定和性质． 利用“”证，依据全等三角形对应角相等，得．分析线段关系，判断不成立．由全等得，进而推出．根据全等三角形面积相等，得，统计正确结论个数． 【详解】∵， ∴，即． ∵，， ∴， ∴①正确． ∵， ∴， ∴②正确． 由前面已证，仅根据已知条件无法得出， ∴③错误． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴④正确． 由于，根据全等三角形的性质：全等三角形面积相等， ∴， ∴⑤正确． 综上，①②④⑤正确，正确的个数是4个， 故选：B． 3．如图，已知为小明根据所作的图形，若，则他作图的根据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，读懂图形的信息是解题的关键，根据判定三角形全等即可． 【详解】解∶由作图知∶，，， ∴， 故选：D． 4．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先题意得到，再证明得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是三角形的外角的性质、全等三角形的判定等知识点，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键． 根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：A．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； B．满足两边对应相等且夹角相等，故剪下的两个三角形全等；不符合题意； C．如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴根据可知剪下的两个三角形全等；不符合题意； D．如图: 同理可得：，而， 但两三角形对应边不一定相等，则两个三角形不一定全等，符合题意． 故选：D． 6．如图所示，，，，，，则 【答案】/55度 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质．先由得到，即可证明，得到，再由三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 7．如图，已知，，要使，还需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】，，（其中一个即可）． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴添加，或其中一个，即可推出， 故答案为：，，（其中一个即可）． 8．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 9．如图，在中，D是边上一点，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点；②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点E．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，作图-基本作图，平行线的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理是解决此题的关键．由作图可得，于是证得，得出，再根据三角形内角和定理求出的度数，问题即可得解. 【详解】解：由作图可得， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：76． 10．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 【答案】/58度 【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 11．如图，在中，点D,E,F分别在边AB,BC,AC上，且 ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及到三角形外角的性质，角边角等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．先证明，再证明三角形和△CEF全等即可． 【详解】证明：是的外角， ， 又， ， 在和中， ， ． 12．如图，点E在的边上，点D、F分别在、的延长线上，连接、，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，先证明，再结合，，从而可得结论． 【详解】证明：， ，                          在和中，， ，                     ∴． 13．已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2），． 证明如下：由（1）知， ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 14．如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 15．如图，在中，，分别是，两条边上的高，点D在上满足，点在的延长线上满足，连接，． (1)求证：； (2)若连接，请判断的形状，并直接写出结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰直角三角形的判定， （1）根据三角形高的定义得，继而得到，再结合已知，，根据“”即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，，证明，可得结论； 【详解】（1）证明：∵，分别是，两条边上的高， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 16．如图，在中，高，交于点F，且， (1)判断，的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）运用同角的余角相等证明，从而运用证明，从而得解； （2）先证明得出，继而求出，再由得出，从而得解． 【详解】（1），理由如下： 因为，， 所以， 所以，， 所以， 在和中， ， 所以， 所以； （2）因为平分， 所以， 在和中， ， 所以， 所以， 所以， 由（1）知， 所以． 17．如图，在四边形中，，过点作交于点．若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作合适的辅助线是解题关键． 过点作于点，得，通过平行线的判定与性质得，结合题意则可证得，可得，通过即可求解的长． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 18．如图，已知在中，， 射线交于点O，， 点E、F在射线上， 且．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判断和性质、等腰三角形的性质，解题的关键是添加正确的辅助线，在射线作点M， ，先根据等腰三角形的性质和已知条件证明和，从而证明，即可得到． 【详解】解：，理由如下， 如下图所示，在射线作点M， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$