精品解析：江苏省徐州市铜山区2024-2025学年下学期期中质量自测八年级数学试题

2024—2025学年度第二学期期中质量自测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为120分，考试时间100分钟； 2．答案全部涂、写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、精心选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案： 方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游； 方案二：在云龙湖景区随机调查400名游客； 方案三：在戏马台景区随机调查400名游客； 方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客． 在这四种调查方案中，最合理的是（ ） A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 方案四 3. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 4. 风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 7. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 8. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 二、细心填一填：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 已知一组数据含有20个数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，如果分成5组，那么这一小组的频率为________． 11. 在平行四边形中，，的度数是________． 12. 分式与的最简公分母是________________． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则________． 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 15. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为______． 16. 春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发的开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在______领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 17. 若关于的方程无解，则的值为______． 18. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 三、用心做一做：（本大题共8题，共66分．请把答案写在答题卡相应位置，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 23. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：，用电低谷时段（简称谷时）：—次日，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为38.5元，谷时电费为24.5元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 24. 阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？ 已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：…… 【任务】： （1）上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是：________； （2）补全材料中的证明过程． 25. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形． 26. 【模型建立】 （1）如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是_________． 【迁移应用】 小明在研究完这个模型后提出如下命题：如图1，在正方形中，点，，，分别在正方形的边上，若，则．经小组合作学习，大家发现该命题为假命题． （2）请你在图1中画出该命题的一个反例；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （3）①如图2，将边长为2的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕________； ②已知点，，，的位置如图3所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，求作该正方形过点的边所在的直线． 要求：①用刻度尺和三角板作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中质量自测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分为120分，考试时间100分钟； 2．答案全部涂、写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、精心选一选：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 年蛇年春晚主标识是基于甲骨文的“巳”字进行创作的，将两个“巳”对称放在一起组成“巳巳如意纹”，经二方连续、四方连续展现出无限可能，象征着生生不息．下列是相关图案，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，某班实践活动小组的同学给出了以下几种调查方案： 方案一：在多家旅游公司随机调查400名导游； 方案二：在云龙湖景区随机调查400名游客； 方案三：在戏马台景区随机调查400名游客； 方案四：在上述四个景区各随机调查400名游客． 在这四种调查方案中，最合理的是（ ） A. 方案一 B. 方案二 C. 方案三 D. 方案四 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了调查收集数据的过程与方法，正确掌握数据收集代表性是解题关键．根据调查收集数据应注重代表性以及全面性，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：为了解游客对云龙湖、戏马台、龟山汉墓和淮海战役纪念塔四个旅游景区的满意率情况，应在上述四个景区各随机调查400名游客． 故选：D． 3. 一个不透明袋子中装有除颜色外均相同的5个小球，其中3个红球，2个黄球，小明一次从中摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 摸出3个黄球 B. 摸出3个红球 C. 摸出2个黄球，1个红球 D. 摸出2个红球，1个黄球 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了事件的分类，熟练掌握不可能事件是解题的关键．根据不可能事件的定义判断即可． 【详解】解：A．摸出3个黄球，为不可能事件，故本选项符合题意； B．摸出3个红球，为可能事件，故本选项不合题意； C．摸出2个黄球，1个红球，为可能事件，故本选项不合题意； D．摸出2个红球，1个黄球，为可能事件，故本选项不合题意； 故选：A． 4. 风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质解答即可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， 而得不到， 故选：D． 5. 下列等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； D. 当时，，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，菱形的对角线交于点O，点M为的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，中位线的性质，由相关定理确定线段间的数量关系是解题的关键． 由菱形性质，结合勾股定理求得，根据中位线定理求． 【详解】解：由菱形知， ∴，，， ∴， ∵点M为的中点，O为的中点， ∴； 故选：A． 7. 如图，为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向右拉动框架，给出如下的判断：①四边形为平行四边形；②对角线的长度不变；③四边形的面积不变；④四边形的周长不变，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①正确，根据平行四边形的判定方法即可判断； ②错误，观察图象即可判断； ③错误，面积是变小了； ④正确，根据平行四边形性质即可判断． 【详解】解：∵两组对边的长度分别相等， ∴四边形ABCD是平行四边形，故①正确； ∵向右扭动框架， ∴BD的长度变大，故②错误； ∵平行四边形ABCD的底不变，高变小了， ∴平行四边形ABCD的面积变小，故③错误； ∵平行四边形ABCD的四条边不变， ∴四边形ABCD的周长不变，故④正确． 故所有正确的结论是①④． 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质、平行四边形的周长、面积等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题． 8. 如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿向点运动；点同时以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动．设运动时间为．秒，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，①当四边形是平行四边形时，由平行四边形的性质得，，即可求解；②当四边形是平行四边形时，同理可求；能利用平行四边形的性质进行求解及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】解：是的中点， ， 根据题意得：，， ①当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； ②当四边形是平行四边形时， ， ， ， 解得：； 综上所述：的值为1或； 故选：C． 二、细心填一填：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零成为解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴，解得：． 故答案为：． 10. 已知一组数据含有20个数据：68，69，70，66，68，65，64，65，69，62，67，66，65，67，63，65，64，61，65，66，如果分成5组，那么这一小组的频率为________． 【答案】0.4 【解析】 【分析】本题考查了频率，频率是频数与总数之比，首先求出出现数据的次数为次，然后根据频率计算公式求解即可． 【详解】解：在这一小组中，65出现5次，66出现3次， 出现数据的次数为次， ∴频率为． 故答案为：0.4． 11. 在平行四边形中，，的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的性质．由平行四边形的对角相等可得，结合，即可得出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：． 12. 分式与的最简公分母是________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三定法，系数：最小公倍数，字母：所有字母，次数：最高次幂，确定最简公分母即可． 【详解】解：分式与的最简公分母是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查最简公分母．熟练掌握三定法求最简公分母，是解题的关键． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．根据矩形性质得，再根据得为等边三角形，则，由此可得的长． 【详解】解：四边形为矩形，对角线，相交于点，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 故答案为：4． 14. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 15. 如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值为，则原分式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，用代替分式中的即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∴， 即原分式的值为， 故答案为：． 16. 春节前夕，杭州深度求索公司推出了其自主研发的开源模型——，在多项性能评测中表现出色，引起世界关注．入图是该模型与美国模型在百科、数学及代码等领域的相关测试数据，通常用的值表示对的相对优势．那么由图中数据可知比，在______领域的相对优势更大．（填“百科”、“数学”或“代码”） 【答案】代码 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，数据的收集和整理，解题的关键是理解题意．先根据公式分别算出各个领域内对的相对优势的百分比，再比较即可求解． 【详解】解：百科领域：， 数学领域：， 代码领域：， ， 比，在代码领域的相对优势更大， 故答案为：代码． 17. 若关于的方程无解，则的值为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，先解分式方程得到，再根据分式方程无解得到或，解关于k的方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵关于的方程无解， ∴当或时，分式方程无解， 解得：或（经检验是原方程的解）， 即或，无解． 故答案为：或2． 18. 如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________． 【答案】1 【解析】 【分析】连接AG，EG，根据线段垂直平分线性质可得AG=EG，由点E是CD的中点，得CE=4，设BG=x，则CG=8-x，由勾股定理，可得出（8-x）2+42=82+x2，求解即可． 【详解】解：连接AG，EG，如图， ∵HG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∵正方形ABCD的边长为8， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD=8， ∵点E是CD的中点， ∴CE=4， 设BG=x，则CG=8-x， 由勾股定理，得 EG2=CG2+CE2=（8-x）2+42，AG2=AB2+BG2=82+x2， ∴（8-x）2+42=82+x2， 解得：x=1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 三、用心做一做：（本大题共8题，共66分．请把答案写在答题卡相应位置，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键； （1）先通分，然后根据分式的减法进行计算即可求解； （2）先根据完全平方公式因式分解，同时将除法转化为乘法，进而根据分式的性质约分，即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解： 方程两边同乘，得， 解这个一元一次方程，得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 解这个一元一次方程，得， 检验：当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 21. 某商场在促销活动中设立了一个可以自由转动的转盘，转盘等分为10份，如图所示．同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 指针落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 指针落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：a＝　　　，b＝　　　　；　 （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近　　　，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率是　　　　；（ 结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，求，，的大小关系．（ 用“”连接） 【答案】（1）、 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． （1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：、； 【小问2详解】 解：若继续不停转动转盘，当n很大时，指针落在“谢谢参与”区域的频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：，，， ． 22. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 【答案】 证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 【解析】 【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明，题中已经给了一组平行的对边，只需要证明另一组对边平行即可． 【详解】略 【点睛】本题考查平行四边形的判定，能够根据题中所给的条件选择合适的判定方法时解决本题的关键． 23. 为了健全分时电价机制，引导电动汽车在用电低谷时段充电，某市实施峰谷分时电价制度，用电高峰时段（简称峰时）：，用电低谷时段（简称谷时）：—次日，峰时电价比谷时电价高0.2元/度．市民小萌的电动汽车用家用充电桩充电，某月的峰时电费为38.5元，谷时电费为24.5元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，求该市谷时电价． 【答案】该市谷时电价为0.35元/度 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该市谷时电价为元/度，则该市峰时电价为元/度，根据某月的峰时电费为38.5元，谷时电费为24.5元，并且峰时用电量与谷时用电量相等，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设该市谷时电价为元/度，则该市峰时电价为元/度． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：该市谷时电价为0.35元/度． 24. 阅读与思考 请阅读下列材料，完成相应的任务． ×年×月×日星期日 只用卷尺也能判断矩形 今天，我在一本数学课外丛书上看到这样一个有趣的问题，工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等；其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形．我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？ 已知在四边形中，，，． 求证：四边形是矩形． 证明：…… 【任务】： （1）上述做法的依据是矩形的一个判定定理，其具体文字表述是：________； （2）补全材料中的证明过程． 【答案】（1）对角线相等的平行四边形是矩形 （2） ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可 【小问1详解】 解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形； 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形； 【小问2详解】 略 25. 如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （2）当AD，AB满足什么条件时，四边形MENF是正方形． 【答案】（1） 菱形，证明：四边形MENF是菱形． ∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴，NE=CM，MF=CM， ∴NE=FM，， ∴四边形MENF是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵M为AD中点， ∴AM=DM， ∴△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME=MF， ∴平行四边形MENF是菱形． （2）AD=2AB 【解析】 【分析】（1）由N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，可得NE∥CM，NE=CM，MF=CM，NE=FM，NE∥FM，可得四边形MENF是平行四边形，根据四边形ABCD是矩形，可得AB=DC，∠A=∠D=90°，证明△ABM≌△DCM，可得BM=CM，根据E、F分别是BM、CM的中点，可得ME=MF，则平行四边形MENF是菱形； （2）由四边形MENF是正方形，则∠EMF=90°，又△ABM≌△DCM，则△ABM、△DCM为等腰直角三角形，可得AM=DM=AB，AD=2AB，即可得证当AD=2AB时，四边形MENF是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当AD＝2AB时，四边形MENF是正方形． ∵四边形MENF是正方形，则∠EMF=90°， 又∵△ABM≌△DCM， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形， ∴AM=DM=AB， ∴AD=2AB， ∴当AD=2AB时，四边形MENF是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质与判定，正方形的性质与判定，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键． 26. 【模型建立】 （1）如图1，正方形中，点，，，分别在正方形的四条边上，若，则线段，的数量关系是_________． 【迁移应用】 小明在研究完这个模型后提出如下命题：如图1，在正方形中，点，，，分别在正方形的边上，若，则．经小组合作学习，大家发现该命题为假命题． （2）请你在图1中画出该命题的一个反例；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【拓展提升】 （3）①如图2，将边长为2的正方形折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则折痕________； ②已知点，，，的位置如图3所示，若它们分别在一个正方形的四条边上，求作该正方形过点的边所在的直线． 要求：①用刻度尺和三角板作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】（1）； （2）如图所示， （3）①； ②如图所示， 作图步骤： ①作； ②截取； ③作直线； ④作． 则就是求作的直线． 【解析】 【分析】（1）如图所示，过点D作交于点W，过点C作交于点V，设，交于点R，首先求出，然后得到四边形和四边形是平行四边形，证明出，即可得到； （2）作，交于点E，交于，以点E为圆心，为半径画弧，交于F，则，但和不垂直； （3）①如图所示，连接，由折叠得，，然后根据勾股定理求解即可； ②由以上可得，①作；②截取；③作直线；④作即可求解． 【详解】（1）如图所示，过点D作交于点W，过点C作交于点V，设，交于点R ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∴； （2）略 （3）①如图所示，连接 由折叠得， ∴由（1）可知，； ②略 【点睛】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $