专项四 拓展题-【红卷】2023-2024学年八年级下册数学期末复习卷（北师大版）

nullE. D为项点的四边形是平行四边形 .A0CD为直角三角形,/ODC=90 18. 解:(1):△ABC中任意一点P(x.v)经平移后对应 . BBDC= BD0+ $DC=60*+90$=1$1$ 0$$$ 点为P(x-5.y+2). (2)0A^}+2 0B^{}=0C^{}时,乙0DC=90$$ 1. △ABC的平移规律;向左平移5个单位长度,再向 证明:·△BA0绕点B顺时针旋转后得到△BCD. 上平移2个单位长度 . OBD=$ ABC=90*$B0=BD.$CD=A$$$$ ·A(4.3),B(3.1),C(1.2). .人0BD为等腰直角三角形 .点4.的坐标为(-1.5),点B.的坐标为(-2.3),点 :.0D=/20B C.的坐标为(-4.4). :当CD+OD}=OC}时,△OCD为真角三角形 (2)如图,△A.B.C.即为所求 20DC=90. 5 :.OA}+20B=0C 2 .当0A.0B.0C满足0A}+20B{}=0C^{}时,乙0DC =900. 21.解:(1)是 # (2)若点F刚好落在直线1.上.C(-b+1). -4-3-2-10 123456& .△4BC向右平移的距离为1 19.解:(1)如图1所示:1.2.3位置涂上阴影,此时4个 小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称 .点D的横坐标为2 图形. .△0DE的面积为4. (2)如图2所示:1.2位置涂上阴影,此时4个小正 ,。 方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形 .b=-5或3 当--5时,:(1-). ,B(-1,-5),此时点 阁1 图2 B不是直线1.的“密接点”. 20.解:(1)①60*②4 ③:△BOD为等边三角形 :. 乙BD0=60 不是直线1,的“密接点”. .八BA2绕点B顺时针旋转后得到入BCD. 综上所述,点B不是直线1.的“密接点” :.CD=A0=3. 专项四 拓展题 在△0CD中.CD=3.0D=4.0C=5. .3+42=53. 1.解;(1):△ABC是边长为6的等边三角形. :Cp+op=OC .乙ACB=60o. .19. .乙B0D=30* ·EB+AE=BE+BF=AB$$$ . 乙0PC=90*. 设AP=x.则P$C=6-x.B=$$$ 等边△ABC的边长为6. .OC=B+BC=6+ . DE=3. 在Rt△OCP中,乙BOD=30*. .点P.0同时运动且速度相同时,线段DF的长度不 , 会改变. .AP-2. 2.(1)证明:如图1.连接AP (2)当点P.0同时运动且速度相同时,线段DE的长 度不会改变 理由:如图,作0F1AB,交直线AB于点F,连接 图1 OE,PF. :AB=AC.P是BC的中点. ### .. AP1BC.BP=CP 在R△ABP中,AB=BP}+AP :.AB-AP=BP PE工AB干点E ·BP=CP. .. 乙DFO= AEP=90 :. BP·CP=BP} .点P.0速度相同. .AB-AP=BP·CP ..AP=B0 (2)解:成立. ·△ABC是等边三角形. 如图2.连接AP.作AD1BC.交BC于点D '. A= ABC= FB$O=6 0 AEP= BF0=90* . 乙APE=乙BOF 在入APE和△BOF中。 [AEP=乙BFO. .AB=AC.ADIBC. 3乙A=/FB0. *.BD=CD. AP=BQ. 在Rt△ABD中,AB}=AD*+BD. 同理AP=AD+DP. '△APE△BOF(AAS). $.AB-AP$}=AD}+BD-(AD}+DP=B-$$$ $. AE=BF,PE=OF且 PE/OF ·PB=BD+DP PC=CD-DP=BD-DP ·.四边形PF0F是平行四边形 .PB·PC=(BD+DP)(BD-DP)=BD-$$$ '.AB-AP=PB·PC .20. (3)解:AP-AB}=BP.CP 证明:如图1.延长BP至E.使PE=PC,连接CE 如图3.P是BC延长线上任意点,连接AP,并作AD1 BC.交BC于点D. 图1 ###) ..乙BPC=120o. AB=AC.A/D1BC :. 乙CPE=600 .BD=CD '.PE=PC. 在Rt△ABD中.AB}=AD}+BD{. . △CPE为等边三角形 在Rt△ADP中.AP=AD+DP. '. CP=PE=CE. PCE=60 .AP-AB=AD+DP$)-(AD}+DB)=PD-B$D$$$ ·△ABC为等边三角形. PB=BD+DP $PC=DP-CD=DP-BD$$ '.AC=BC.乙BCA=60 :. PB·PC=(BD+DP)(DP-BD)=DP-BD} . 乙ACB=/PCE '.AP-AB=PB·PC '. LACB+ BCP= PCE+ BCP 3.(1)解::CM1AM.乙DCM=a. 即乙ACP=乙BCE . CDM= ADB= B=90*- 在△ACP和△BCE中. [CP=CE. '. BAD=180*-2 ABD=180*-2(90*-$)= $$$$ ACP=/BCE. (2)证明:如图,延长AV到F使MF三AV.则有 AC=BC, AC=CF. .. △ACP△BCE(SAS). .AP=BE, . BE=BP+PE. ..AP=BP+PC. .AD平分乙CAB (2)证明:如图2.在AD外侧作等边三角形ABD.则 点P在三角形AB'D外,连接PB',B'C. :. 乙CAF=乙BAF=/F .CF/AB --B ' FCD= ABD= ADB= CDF 2 .CF=DF .AD+DF=2AM. .乙APD=120. :.AB+AC=2AM :.由(1)可知.PB'=AP+PD 4.(1)猜想:AP=BP+PC 在△PB'C中.PB'+PC>CB'. .21· : PA+PD+PCCB' 动的路程为2+4=6(cm),此时1为6s.△BCP为等 △AB'D、△ABC是等边三角形 腰三角形; $.AC=ABAB'=AD. BAC= DAB$=6 0$$$ ii)如图4.若CP=BC=3cm.过点C作CD1AB于点 乙DAB'+/CAD=乙BAC+ CAD D.根据面积法求得高为2.4cm 即7CAB'三/BAD 在Rt△P[CD中.PPD=$PC-CD=3-2.4=1.8(m) 在△ABC和△ADB中. . BP=2PD=3.6 cm [AC=AB, .点P运动的路程为9-3.6=5.4(cm),此时1为 乙CAB'=乙BAD. 5.4s.△BCP为等腰三角形; AB'=AD. iì)如图5.若BP=CP.此时P应该为斜边AB的中 .△AB'C△ADB(SAS). 点,P运动的路程为4+2.5=6.5(cm).此时:为6.5s .CB'=BD. △BCP为等腰三角形. . PA+PD+PC>BD 综上所述当.为3s.5.4s.6s.6.5;时.BCP为等 腰三角形. 5. 解:(1)如图1.由/C=90*.AB=5cm.BC=3cm. (3)如图6,当点P在AC上,点0在AB上时,则PC= ..AC=4cm. 1.B0=2t-3. 动点P从点C开始,按C→A→B→C的路径运动,且 ·直线P0把△ABC的周长分成相等的两部分 速度为1cm/s. .t+2-3=3.即(=2 :.出发2s后CP=2cm 如图7.当点P在AB上,点2在AC上,则AP=t-4 .'乙C=90o. A0=2t-8, ·PB=2+3=13(cm) ·直线P0把△ABC的周长分成相等的两部分 .△ABP的周长为AP+PB+AB=2+5+ 13=(7+ :.1-4+2t-8=6.即1=6 13)(cm). .当:为2s或6s时,直线P0把△ABC的周长分成 相等的两部分 # 图 图6 (2)①如图2.若点P在边AC上时.BC=CP=3cm.此 时:为3s.△BCP为等腰三角形 6. 解:此命题是真命题 理由如下: ##### 如图,延长BC至点D.使CD=BC.连接AD. 图2 图 图4 图5 ②若P在AB边上时,有三种情况; i)如图3.若使BP=CB=3cm.此时AP=2cm.P运 ---) .22. . ACB=90$CD=B$C$ . ABBD= FBE=6 0$$$$ .AC是线段BD的垂直平分线 . ABF= GBE$$$ .AB=AD 在△ABF和△GBE中. [AB=GB, $ ABF= GBE,$$ :. BD=AB. BF=BE, . △ABD是等边三角形 .△ABF△GBE(SAS). :. 乙BAD=60°$ $. AF=GE. AC1BD. 8.解:(1):BD1AF 1 .乙BAC= 2 乙BAD=30". . 乙AFB= MFB=90 7.(1)解::四边形ABCD为平行四边形. 在△ABF和△MBF中. :.AD//BC.AB/CD (乙AFB= MFB. * 7BDC=60*$.BD1.BC$ BF=BF, . ABG=6 0$$ ADB=90$$$ 乙ABF= MBF. BG=AB, .△ABF△MBF(ASA) DAB=1$80$- ADB- ABG=30$$ C.MB-AB. '.AF=MF. 同理CN=AC.AG=NG ·FG是△AMN的中位线 .AB=6. (2)证明:如图,连接BF 1 -(MB+BC+CN) 2(AB+BC+AC). ·AE,BE分别平分乙BAD.乙DBC BAE= 1 BBAD=15*$ DBE= 一乙DBC=45”. 2 证明:如图2.延长AF.AG.与直线BC相交于点M.N ' 乙ABE+CBAE+ AFB=180$$$ .. 乙AEB=60 .EF=BE. :. △BFE为等边三角形 .AF 1 BD. ABF= MBF : BE=BF /7FBE=60$$ '.乙BAF=CBMF .23. 在△ABF和△MBF中. [CBH= EDG [AFB= MFB,$ $ CHB= EGD$ $F=BF$ CH=EG. 乙ABF= MBF, .△BCH△DEG(AAS). . △ABF△MBF(ASA). .. BC=DE. :. MB=AB$AF=MF$$ .四边形BCDE是平行四边形 同理CN=AC.AG=NG (2)解:由(1)得DE=BC=4.四边形BCDE是平行 .FGC-MN - 四边形, :. BE=CD=6.BE//CD 1 -(BM+CN-BC) . $D[CF=$ A=30$$ $CFD=$ ACB= 0$$$ 。 (AB+AC-BC). 2 $.EF=DE-DF=4-3=1. 'CFE=180*- CFD=90° 9.解:(1)是. CE=CF+EF^}=(3③)+1=27 理由:在△CHB中. 11.(1)解::四边形ABCD为平行四边形。 :CH}+BH}=(2.4)^}+(1.8) ^}=9.BC=9$ .AB/CD.AD/BC. “.CHr+BH=BC} . CAD= ACB= BCN=6 0$$$ .CH1AB .AC1CD. .CH是从村庄C到河边的最近路 :.AB1.AC (2)设AC=xkm. . 乙B=30. 在Rt△ACH中,由已知得AC=xkm,AH=(x- 在Rt△ABC中,E为BC的中点. 1.8) km.CH=2.4 km. :. BC=2AE=10 由勾股定理,得AC}=AF^{}+CH^{} .=(x-1.8)}+2.4^解得x=2.5.即AC=2.5km$ 答:原来的路线AC的长为2.5km :.AB=BC-AC*=5/3 10.(1)证明::乙BCE=乙DEC. 11 1 253 .. BC/DE .S= '. CCBH= EDG (2)证明:如图.延长CN至点G.使GC=AC : CH1BD.EGBD . CHB= EGD=90 在△BCH和△DEG中 .24. 由(1)知.乙ACM=乙GCM '.AB=FF=5 $ 在△ACM和△GCM中. $.AE=BF=2$$$$ [AC=GC, '.AF=AC=3 乙ACM=乙GCM. .AB//CD.AC1CD. MC-MC. .AB1AC .△ACM△GCM(SAS). .CF=AC$+AF$=3.BC=AB+AC=$ 5+9 '.AM=GM.$ MAC= G.$ ACM= GCM$$$$ =V34. .AM=MN. . △BCF的周长等于BF+BC+CF=2+32+34 . GM=MN (2)证明:如图.在AD上取一点M.使得AM=AG.连 . G= MNG= MAC= MAE+ EAC$$$ 接CM. 由(1)可得EC=EA. #4# '. 乙EAC=乙ACE= NCM ·乙MNG= NCM+CNMC '. 乙NMC=乙MAE ·四边形ABCD.四边形EFCD都是平行四边形, 在MC上截取MF=AE. AB=CD=EF.AD=BC AD//BC.AB/$C$D 易得△MAE△NMF .AH1BC. .ME-FN .AH1.AD. .AC1AB. :MC=ME+CE=WF+CF MC=FA+CN.FA=WF -CE. :. 乙BAC= GAM=90 :. 乙FAG=乙CAM '. ME=CN=FN=CF 在△FAG和△CAV中 . △NCF为等边三角形 [AF=AC. * 乙VCV=60* 乙FAG=乙CAM .. 乙ACB=60o AG=AM. ' 乙ABC=30 .. △FAG△CAM(SAS). . AB_-2 3 BC. ' ACM= AFG=45*$FG=CM .乙ACD= BAC=90* . 乙DCM=45*= EFG :.AB=/3AE 在△EFG和△DCM中 12.(1)解::四边形ABCD.四边形CDEF是平行四 [EF=DC, 边形, 乙 FFG=/DCM .AB=CD=5.CD=EF.AB/CD FG=CV. .25. . △EFG△DCM(SAS). .四边形FKGI是长方形 $. EG=DM '. 乙KF/=90 $.AG+EG=AM+DM=AD=B$C$ : DFB=90{$$ 即 BC=AG+FG '. 乙KFH= BFJ. 13.(1)证明:·四边形ABCD是平行四边形. · K=$ FJ$B=9 0$FFH=$FB$$$ $. AD=BC.AB=CD.AB/CD 易得△FKH△FJB(AAS). .FK=F7. .BD=BC. .FK1GK.FI1G/. .AD=BD. :.FG平分乙KGJ . AF=FB. . 乙FGH= FGJ=45 '.DF1AB. DGT= FGJ=45^$$ GDT=90$$$ .DF1DC. . DG=D7 .CG1BD. 乙FDC= GDT=90*$ . CDH= $CGD= DFB=90$$$ . 乙FDG= CDT '. BDF+ $CDG=90$$HCD+ $CDG=90 .DF=DC. . 乙BDF=/HCD 易得AFDG△CDT(SAS). 在△DFB和△CD中 .FG=CT.LDFN= TCN 7.DFB=/CDH. . 乙DNF=LCNT. 乙BDF=乙HCD . FDN=乙CTN=90 DB=CHI. * TGC= FGK=45^*$$$ .△DFB△CDH(AAS). :. TG=CT$CG=$②CT=②$FG$ : DH-BF CD-DF . BD=CH=GH+CG=GH+$2 F$G$$$$ .AB=DF. .DB=②FG+HG . AB=2BF, 专项五 全国视野新颖题 · DF=2DH=2 :. FH=DH=1. 1. 如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方 (2)解:如图,过点F作FJ1BD于点J.FK1CH交 那么这个三角形是直角三角形 CH的延长线于点K.过点D作DT1BD.交FG的延 2.3+3/3 3.x-1 长线于点T.连接CT.设FT交CD于点N 4.解:(1)如图,延长AC交0B于点D ) K= F G= $GJ=90$ $ .26.